Nilsemigrupo

En matemáticas, y más precisamente en teoría de semigrupos , un nilsemigrupo o semigrupo nilpotente es un semigrupo cuyos elementos son nilpotentes .

Definiciones

Formalmente, un semigrupo S es un nilsemigrupo si:

• S contiene 0 y
• para cada elemento a ∈ S , existe un entero positivo k tal que a ^k = 0 .

Nilsemigrupos finitos

Existen definiciones equivalentes para semigrupo finito. Un semigrupo finito S es nilpotente si, de manera equivalente:

• ${\displaystyle x_{1}\dots x_{n}=y_{1}\dots y_{n}}$para cada uno , donde está la cardinalidad de S. ${\displaystyle x_{i},y_{i}\in S}$ ${\displaystyle n}$
• El cero es el único idempotente de S.

Ejemplos

El semigrupo trivial de un solo elemento es trivialmente un nilsemigrupo.

El conjunto de matrices triangulares estrictamente superiores , con multiplicación de matrices, es nilpotente.

Sea un intervalo acotado de números reales positivos. Para x , y perteneciente a I , defina como . Ahora demostramos que es un nilsemigrupo cuyo cero es n . Para cada número natural k , kx es igual a . Para k al menos igual a , kx es igual a n . Este ejemplo generaliza para cualquier intervalo acotado de un semigrupo ordenado de Arquímedes . ${\displaystyle I_{n}=[a,n]}$ ${\displaystyle x\star _{n}y}$ ${\displaystyle \min(x+y,n)}$ ${\displaystyle \langle I,\star _{n}\rangle }$ ${\displaystyle \min(kx,n)}$ ${\displaystyle \left\lceil {\frac {n-x}{x}}\right\rceil }$

Propiedades

Un nilsemigrupo no trivial no contiene un elemento de identidad. De ello se deduce que el único monoide nilpotente es el monoide trivial.

La clase de nilsemigrupos es:

• cerrado tomando subsemigrupos
• cerrado tomando cocientes
• cerrado bajo productos finitos
• pero no está cerrado bajo producto directo arbitrario . De hecho, tome el semigrupo , donde se define como arriba. El semigrupo S es un producto directo de los nilsemigrupos, sin embargo, no contiene ningún elemento nilpotente. ${\displaystyle S=\prod _{i\in \mathbb {N} }\langle I_{n},\star _{n}\rangle }$ ${\displaystyle \langle I_{n},\star _{n}\rangle }$

De ello se deduce que la clase de nilsemigrupos no es una variedad del álgebra universal . Sin embargo, el conjunto de nilsemigrupos finitos es una variedad de semigrupos finitos . La variedad de nilsemigrupos finitos está definida por las igualdades finitas . ${\displaystyle x^{\omega }y=x^{\omega }=yx^{\omega }}$

Referencias

• Pin, Jean-Éric (15 de junio de 2018). Fundamentos matemáticos de la teoría de los autómatas (PDF) . pag. 198.
• Grillet, Pensilvania (1995). Semigrupos . Prensa CRC . pag. 110.ISBN​ 978-0-8247-9662-4.