Cuantización BRST

Formulación para cuantificar las teorías de campos de calibre en física.

En física teórica , el formalismo BRST , o cuantificación BRST (donde BRST se refiere a los apellidos de Carlo Becchi , Alain Rouet , Raymond Stora e Igor Tyutin ) denota un enfoque matemático relativamente riguroso para cuantificar una teoría de campo con simetría de calibre . Las reglas de cuantificación en marcos anteriores de la teoría cuántica de campos (QFT) se parecían más a "prescripciones" o "heurísticas" que a pruebas, especialmente en QFT no abeliano , donde el uso de " campos fantasmas " con propiedades superficialmente extrañas es casi inevitable por razones técnicas relacionadas con renormalización y cancelación de anomalías .

Rápidamente se entendió que la supersimetría global BRST introducida a mediados de la década de 1970 racionalizaba la introducción de estos fantasmas de Faddeev-Popov y su exclusión de los estados asintóticos "físicos" al realizar cálculos QFT. Fundamentalmente, esta simetría de la integral de trayectoria se conserva en el orden de los bucles y, por lo tanto, evita la introducción de contratérminos que podrían estropear la renormalización de las teorías de calibre. Obra de otros autores ^{[ ¿de quién? – Discutir ]} unos años más tarde relacionó el operador BRST con la existencia de una alternativa rigurosa a las integrales de trayectoria al cuantificar una teoría de calibre .

Sólo a finales de la década de 1980, cuando QFT se reformuló en lenguaje de haces de fibras para su aplicación a problemas en la topología de variedades de baja dimensión ( teoría topológica de campos cuánticos ), se hizo evidente que la "transformación" BRST es fundamentalmente de carácter geométrico. Desde este punto de vista, la "cuantización BRST" se convierte en más que una forma alternativa de llegar a fantasmas que cancelan anomalías. Es una perspectiva diferente sobre lo que representan los campos fantasma, por qué funciona el método Faddeev-Popov y cómo se relaciona con el uso de la mecánica hamiltoniana para construir un marco perturbativo. La relación entre la invariancia de calibre y la "invariancia BRST" obliga a elegir un sistema hamiltoniano cuyos estados estén compuestos de "partículas" según las reglas familiares del formalismo de cuantificación canónico . Por lo tanto, esta condición de consistencia esotérica se acerca bastante a explicar cómo surgen los cuantos y los fermiones en la física.

En ciertos casos, especialmente la gravedad y la supergravedad , la BRST debe ser reemplazada por un formalismo más general, el formalismo de Batalin-Vilkovisky .

Resumen técnico

La cuantización BRST es un enfoque geométrico diferencial para realizar cálculos perturbativos consistentes y libres de anomalías en una teoría de calibre no abeliano. La forma analítica de la "transformación" BRST y su relevancia para la renormalización y la cancelación de anomalías fueron descritas por Carlo Maria Becchi , Alain Rouet y Raymond Stora en una serie de artículos que culminaron en 1976 "Renormalización de las teorías de calibre". La transformación equivalente y muchas de sus propiedades fueron descubiertas de forma independiente por Igor Viktorovich Tyutin . Taichiro Kugo e Izumi Ojima aclararon su importancia para la cuantificación canónica rigurosa de una teoría de Yang-Mills y su correcta aplicación al espacio de Fock de configuraciones de campo instantáneas. Trabajos posteriores de muchos autores, en particular Thomas Schücker y Edward Witten , han aclarado la importancia geométrica del operador BRST y campos relacionados y han enfatizado su importancia para la teoría topológica de campos cuánticos y la teoría de cuerdas .

En el enfoque BRST, se selecciona un procedimiento de fijación de calibres compatible con las perturbaciones para el principio de acción de una teoría de calibres utilizando la geometría diferencial del haz de calibres en el que vive la teoría de campo. Luego se cuantifica la teoría para obtener un sistema hamiltoniano en la imagen de interacción de tal manera que los campos "no físicos" introducidos por el procedimiento de fijación de calibre resuelvan anomalías de calibre sin aparecer en los estados asintóticos de la teoría. El resultado es un conjunto de reglas de Feynman para usar en una expansión perturbativa en serie de Dyson de la matriz S que garantiza que es unitaria y renormalizable en cada orden de bucle ; en resumen, una técnica de aproximación coherente para hacer predicciones físicas sobre los resultados de la dispersión. experimentos.

BRST clásico

Esto está relacionado con una variedad supersimpléctica donde los operadores puros se clasifican mediante números fantasma integrales y tenemos una cohomología BRST .

Transformaciones de calibre en QFT

Desde una perspectiva práctica, una teoría cuántica de campos consta de un principio de acción y un conjunto de procedimientos para realizar cálculos perturbativos . Hay otros tipos de "verificaciones de cordura" que se pueden realizar en una teoría cuántica de campos para determinar si se ajusta a fenómenos cualitativos como el confinamiento de quarks y la libertad asintótica . Sin embargo, la mayoría de los éxitos predictivos de la teoría cuántica de campos, desde la electrodinámica cuántica hasta la actualidad, se han cuantificado comparando los cálculos de la matriz S con los resultados de experimentos de dispersión .

En los primeros días de QFT, uno habría tenido que decir que las prescripciones de cuantificación y renormalización eran tan parte del modelo como la densidad lagrangiana , especialmente cuando se basaban en el poderoso pero matemáticamente mal definido formalismo integral de ruta . Rápidamente quedó claro que la QED era casi "mágica" en su relativa manejabilidad, y que la mayoría de las formas en que uno podría imaginar extenderla no producirían cálculos racionales. Sin embargo, una clase de teorías de campo seguía siendo prometedora: las teorías de calibre, en las que los objetos de la teoría representan clases de equivalencia de configuraciones de campo físicamente indistinguibles, dos de las cuales están relacionadas por una transformación de calibre . Esto generaliza la idea QED de un cambio de fase local a un grupo de Lie más complicado .

La QED en sí misma es una teoría de calibre, al igual que la relatividad general , aunque esta última se ha mostrado resistente a la cuantificación hasta ahora, por razones relacionadas con la renormalización. Otra clase de teorías de calibres con un grupo de calibres no abeliano, comenzando con la teoría de Yang-Mills, se volvió susceptible de cuantificación a finales de los años 1960 y principios de los años 1970, en gran parte debido al trabajo de Ludwig D. Faddeev , Victor Popov , Bryce DeWitt y Gerardus't Hooft . Sin embargo, siguió siendo muy difícil trabajar con ellos hasta la introducción del método BRST. El método BRST proporcionó las técnicas de cálculo y las pruebas de renormalización necesarias para extraer resultados precisos tanto de las teorías de Yang-Mills "ininterrumpidas" como de aquellas en las que el mecanismo de Higgs conduce a una ruptura espontánea de la simetría . Los representantes de estos dos tipos de sistemas Yang-Mills ( cromodinámica cuántica y teoría electrodébil ) aparecen en el modelo estándar de física de partículas .

Ha resultado bastante más difícil demostrar la existencia de una teoría cuántica de campos no abeliana en un sentido riguroso que obtener predicciones precisas utilizando esquemas de cálculo semiheurísticos. Esto se debe a que analizar una teoría cuántica de campos requiere dos perspectivas matemáticamente entrelazadas: un sistema lagrangiano basado en la acción funcional, compuesto por campos con valores distintos en cada punto del espacio-tiempo y operadores locales que actúan sobre ellos, y un sistema hamiltoniano en el cuadro de Dirac. , compuesto por estados que caracterizan todo el sistema en un momento dado y operadores de campo que actúan sobre ellos. Lo que hace que esto sea tan difícil en una teoría de calibre es que los objetos de la teoría no son realmente campos locales en el espacio-tiempo; son campos locales invariantes a la derecha en el haz de calibre principal, y diferentes secciones locales a través de una porción del haz de calibre, relacionadas mediante transformaciones pasivas , producen diferentes imágenes de Dirac.

Es más, una descripción del sistema como un todo en términos de un conjunto de campos contiene muchos grados de libertad redundantes; las distintas configuraciones de la teoría son clases de equivalencia de configuraciones de campo, de modo que dos descripciones que están relacionadas entre sí mediante una transformación de calibre también son en realidad la misma configuración física. Las "soluciones" de una teoría de calibre cuantificada no existen en un espacio sencillo de campos con valores en cada punto del espacio-tiempo sino en un espacio de cociente (o cohomología) cuyos elementos son clases de equivalencia de configuraciones de campo. Escondido en el formalismo BRST se encuentra un sistema para parametrizar las variaciones asociadas con todas las posibles transformaciones de calibre activas y tener en cuenta correctamente su irrelevancia física durante la conversión de un sistema lagrangiano a un sistema hamiltoniano.

Fijación de calibres y teoría de perturbaciones.

El principio de invariancia de calibre es esencial para construir una teoría cuántica de campos viable. Pero generalmente no es factible realizar un cálculo perturbativo en una teoría de calibre sin "arreglar primero el calibre", agregando términos a la densidad lagrangiana del principio de acción que "rompen la simetría del calibre" para suprimir estos grados de libertad "no físicos". La idea de fijar el calibre se remonta al enfoque del electromagnetismo del calibre de Lorenz , que suprime la mayoría de los grados de libertad excesivos en los cuatro potenciales manteniendo al mismo tiempo la invariancia manifiesta de Lorentz . El calibre de Lorenz es una gran simplificación en relación con el enfoque de intensidad de campo de Maxwell para la electrodinámica clásica , e ilustra por qué es útil abordar el exceso de grados de libertad en la representación de los objetos en una teoría en la etapa lagrangiana, antes de pasar a la hamiltoniana. Mecánica a través de la transformación de Legendre .

La densidad hamiltoniana está relacionada con la derivada de Lie de la densidad lagrangiana con respecto a un campo vectorial horizontal unitario similar al tiempo en el paquete de calibre. En un contexto de mecánica cuántica, convencionalmente se vuelve a escalar mediante un factor . Al integrarlo por partes sobre una sección transversal espacial se recupera la forma del integrando familiar de la cuantificación canónica . Porque la definición del hamiltoniano implica un campo vectorial unitario de tiempo en el espacio base, una elevación horizontal al espacio del paquete y una superficie espacial "normal" (en la métrica de Minkowski ) al campo vectorial unitario de tiempo en cada punto de la base. múltiple, depende tanto de la conexión como de la elección del marco de Lorentz , y está lejos de estar definido globalmente. Pero es un ingrediente esencial en el marco perturbativo de la teoría cuántica de campos, en el que entra el hamiltoniano cuantificado a través de la serie de Dyson . ${\displaystyle i\hbar }$

Para propósitos perturbativos, reunimos la configuración de todos los campos de nuestra teoría en una sección transversal tridimensional completa de P en forma de espacio horizontal en un objeto (un estado de Fock ), y luego describimos la "evolución" de este estado a lo largo del tiempo usando el imagen de interacción . El espacio de Fock está abarcado por los estados propios de múltiples partículas de la porción "no perturbada" o de "no interacción" del hamiltoniano . Por lo tanto, la descripción instantánea de cualquier estado de Fock es una suma compleja de estados propios ponderada en amplitud de . En la imagen de interacción, relacionamos los estados de Fock en diferentes momentos prescribiendo que cada estado propio del hamiltoniano no perturbado experimenta una tasa constante de rotación de fase proporcional a su energía (el valor propio correspondiente del hamiltoniano no perturbado). ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{0}}$

Por lo tanto, en la aproximación de orden cero, el conjunto de pesos que caracterizan un estado de Fock no cambia con el tiempo, pero la configuración del campo correspondiente sí. En aproximaciones superiores, los pesos también cambian; Los experimentos con colisionadores en física de altas energías equivalen a mediciones de la tasa de cambio en estos pesos (o más bien integrales de ellos sobre distribuciones que representan incertidumbre en las condiciones iniciales y finales de un evento de dispersión). La serie de Dyson captura el efecto de la discrepancia entre el hamiltoniano verdadero , en forma de serie de potencias en la constante de acoplamiento g ; es la herramienta principal para hacer predicciones cuantitativas a partir de una teoría cuántica de campos. ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

Para utilizar la serie Dyson para calcular cualquier cosa, se necesita más que una densidad lagrangiana invariante de calibre; también se necesitan las prescripciones de cuantificación y fijación de calibres que entran en las reglas de la teoría de Feynman. La serie de Dyson produce integrales infinitas de varios tipos cuando se aplica al hamiltoniano de un QFT particular. Esto se debe en parte a que todas las teorías cuánticas de campos utilizables hasta la fecha deben considerarse teorías de campos efectivas , que describen sólo interacciones en un cierto rango de escalas de energía que podemos sondear experimentalmente y, por lo tanto, vulnerables a las divergencias ultravioleta . Estos son tolerables siempre que puedan manejarse mediante técnicas estándar de renormalización ; no son tan tolerables cuando dan como resultado una serie infinita de renormalizaciones infinitas o, peor aún, en una predicción obviamente no física, como una anomalía de calibre no cancelada . Existe una relación profunda entre la renormalizabilidad y la invariancia del calibre, que se pierde fácilmente en el curso de los intentos de obtener reglas manejables de Feynman fijando el calibre.

Enfoques anteriores al BRST para la fijación de calibres

Las prescripciones tradicionales de fijación de calibres de la electrodinámica continua seleccionan un representante único de cada clase de equivalencia relacionada con la transformación de calibres utilizando una ecuación de restricción como la calibre de Lorenz . Este tipo de prescripción se puede aplicar a una teoría de calibre abeliana como la QED , aunque resulta difícil explicar por qué las identidades de Ward de la teoría clásica se trasladan a la teoría cuántica; en otras palabras, por qué los diagramas de Feynman contienen diagramas internos polarizados longitudinalmente. Los fotones virtuales no contribuyen a los cálculos de la matriz S. Este enfoque tampoco se generaliza bien a grupos de calibres no abelianos, como el SU (2) x U (1) de la teoría electrodébil de Yang-Mills y el SU (3) de la cromodinámica cuántica. Adolece de ambigüedades de Gribov y de la dificultad de definir una restricción de fijación de calibre que sea en cierto sentido "ortogonal" a cambios físicamente significativos en la configuración del campo. ${\displaystyle \partial ^{\mu }A_{\mu }=0}$

Los enfoques más sofisticados no intentan aplicar una restricción de función delta a los grados de libertad de la transformación de calibre. En lugar de "fijar" el calibre a una "superficie de restricción" particular en el espacio de configuración, se puede romper la libertad de calibre con un término adicional, no invariante de calibre, agregado a la densidad lagrangiana. Para reproducir los éxitos de la fijación del calibre, se elige que este término sea mínimo para la elección del calibre que corresponda a la restricción deseada y que dependa cuadráticamente de la desviación del calibre de la superficie de restricción. Según la aproximación de fase estacionaria en la que se basa la integral de trayectoria de Feynman , la contribución dominante a los cálculos perturbativos provendrá de las configuraciones de campo en las proximidades de la superficie de restricción.

La expansión perturbativa asociada con este lagrangiano, utilizando el método de cuantificación funcional, generalmente se denomina calibre R _ξ . En el caso de un calibre abeliano U(1), se reduce al mismo conjunto de reglas de Feynman que se obtienen en el método de cuantificación canónica . Pero hay una diferencia importante: la libertad de calibre rota aparece en la integral funcional como un factor adicional en la normalización general. Este factor sólo puede extraerse de la expansión perturbativa (e ignorarse) cuando la contribución al lagrangiano de una perturbación a lo largo de los grados de libertad de calibre es independiente de la configuración del campo "físico" particular. Esta es la condición que no se cumple para los grupos de calibre no abelianos. Si uno ignora el problema e intenta utilizar las reglas de Feynman obtenidas de una cuantificación funcional "ingenua", encontrará que sus cálculos contienen anomalías insuperables.

El problema de los cálculos perturbativos en QCD se resolvió mediante la introducción de campos adicionales conocidos como fantasmas de Faddeev-Popov, cuya contribución al lagrangiano de calibre fijo compensa la anomalía introducida por el acoplamiento de perturbaciones "físicas" y "no físicas" del calibre no abeliano. campo. Desde la perspectiva de la cuantificación funcional, las perturbaciones "no físicas" de la configuración del campo (las transformaciones de calibre) forman un subespacio del espacio de todas las perturbaciones (infinitesimales); en el caso no abeliano, la inclusión de este subespacio en el espacio mayor depende de la configuración alrededor de la cual tiene lugar la perturbación. El término fantasma en el lagrangiano representa el determinante funcional del jacobiano de esta incrustación, y las propiedades del campo fantasma están dictadas por el exponente deseado en el determinante para corregir la medida funcional en los ejes de perturbación "físicos" restantes.

Haces de calibres y el ideal vertical.

La intuición del formalismo BRST se proporciona describiéndolo geométricamente, en el contexto de haces de fibras . Este entorno geométrico contrasta e ilumina la imagen tradicional más antigua, la de los campos valorados en álgebra en el espacio de Minkowski , proporcionada en textos (anteriores) de teoría cuántica de campos.

En este contexto, un campo de calibre se puede entender de dos maneras diferentes. En uno, el campo de calibre es una sección local del haz de fibras. En el otro, el campo de calibre es poco más que la conexión entre fibras adyacentes, definida en toda la longitud de la fibra. En correspondencia con estos dos conceptos, hay dos formas de considerar una transformación de calibre. En el primer caso, una transformación de ancho es simplemente un cambio de sección local. En la relatividad general , esto se conoce como transformación pasiva . En la segunda vista, una transformación de calibre es un cambio de coordenadas a lo largo de toda la fibra (que surge de la multiplicación por un elemento del grupo g ) que induce un difeomorfismo vertical del paquete principal .

Este segundo punto de vista proporciona la base geométrica del método BRST. A diferencia de una transformación pasiva, está bien definida globalmente en un paquete principal, con cualquier grupo de estructura sobre una variedad arbitraria. Es decir, el formalismo BRST se puede desarrollar para describir la cuantificación de cualquier paquete de principios en cualquier variedad. Para mayor concreción y relevancia para QFT convencional, gran parte de este artículo se centra en el caso de un haz de calibre principal con fibra compacta sobre un espacio de Minkowski de 4 dimensiones.

Un paquete de calibre principal P sobre una variedad de 4 M es localmente isomorfo a U  ×  F , donde U  ⊂  R ⁴ y la fibra F es isomorfa a un grupo de Lie G , el grupo de calibre de la teoría de campo (este es un isomorfismo de variedad estructuras, no de estructuras de grupo, no existe una superficie especial en P correspondiente a 1 en G , por lo que es más apropiado decir que la fibra F es un G - torsor ). La propiedad más básica como haz de fibras es la "proyección al espacio base" π :  P  →  M , que define las direcciones verticales en P (aquellas que se encuentran dentro de la fibra π ⁻¹ ( p ) sobre cada punto p en M ). Como haz de calibre tiene una acción izquierda de G sobre P que respeta la estructura de la fibra, y como haz principal también tiene una acción derecha de G sobre P que también respeta la estructura de la fibra y conmuta con la acción izquierda.

La acción izquierda del grupo estructural G sobre P corresponde a un cambio de sistema de coordenadas en una fibra individual. La acción correcta (global) R _g  :  P  →  P para un g fijo en G corresponde a un automorfismo real de cada fibra y, por tanto, a un mapa de P consigo mismo. Para que P califique como un paquete G principal , la acción correcta global de cada g en G debe ser un automorfismo con respecto a la estructura múltiple de P con una suave dependencia de g , es decir, un difeomorfismo P  ×  G  →  PAG .

La existencia de la acción global derecha del grupo de estructuras selecciona una clase especial de objetos geométricos invariantes rectos en P , aquellos que no cambian cuando se los arrastra hacia atrás a lo largo de R _g para todos los valores de g en G . Los objetos invariantes derechos más importantes en un paquete principal son los campos vectoriales invariantes derechos , que forman un ideal del álgebra de Lie de difeomorfismos infinitesimales en P. Aquellos campos vectoriales en P que son invariantes rectos y verticales forman un ideal de , que tiene una relación con el paquete completo P análoga a la del álgebra de Lie del grupo de calibre G con la fibra G -torsor individual F . ${\displaystyle {\mathfrak {E}}}$ ${\displaystyle V{\mathfrak {E}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {E}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

La "teoría de campos" de interés se define en términos de un conjunto de "campos" (mapas suaves en varios espacios vectoriales) definidos en un paquete de calibre principal P. Diferentes campos llevan diferentes representaciones del grupo de calibre G , y quizás de otros grupos de simetría de la variedad como el grupo de Poincaré . Se puede definir el espacio de polinomios locales en estos campos y sus derivadas. Se supone que la densidad lagrangiana fundamental de nuestra teoría reside en el subespacio de polinomios que tienen valores reales e invariantes bajo cualquier grupo de simetría ininterrumpido y sin calibre. También se supone que es invariante no sólo bajo la acción izquierda (transformaciones de coordenadas pasivas) y la acción global derecha del grupo de calibre, sino también bajo transformaciones de calibre locales: retroceso a lo largo del difeomorfismo infinitesimal asociado con una elección arbitraria de vector vertical invariante a la derecha. campo . ${\displaystyle Pl}$ ${\displaystyle Pl_{0}}$ ${\displaystyle \epsilon \in V{\mathfrak {E}}}$

La identificación de transformaciones de calibre locales con un subespacio particular de campos vectoriales en la variedad P proporciona un mejor marco para tratar con infinitesimales de dimensión infinita: geometría diferencial y cálculo exterior . El cambio en un campo escalar bajo retroceso a lo largo de un automorfismo infinitesimal se captura en la derivada de Lie , y la noción de retener sólo el término lineal en el campo vectorial se implementa separándolo en la derivada interior y la derivada exterior . En este contexto, las "formas" y el cálculo exterior se refieren exclusivamente a grados de libertad que son duales a campos vectoriales en el haz de calibre , no a grados de libertad expresados ​​en índices tensoriales (griegos) en la variedad base o índices matriciales (romanos). en el álgebra de calibre.

La derivada de Lie en una variedad es una operación globalmente bien definida de una manera que la derivada parcial no lo es. La generalización adecuada del teorema de Clairaut a la estructura múltiple no trivial de P viene dada por el corchete de Lie de campos vectoriales y la nilpotencia de la derivada exterior . Esto proporciona una herramienta esencial para el cálculo: el teorema generalizado de Stokes , que permite la integración por partes y luego la eliminación del término de superficie, siempre que el integrando caiga lo suficientemente rápido en direcciones donde hay un límite abierto. (Esta no es una suposición trivial, pero puede solucionarse mediante técnicas de renormalización , como la regularización dimensional, siempre que el término de superficie pueda hacerse invariante de calibre).

El operador BRST y el espacio de Fock asintótico

Un elemento central del formalismo BRST es el operador BRST , definido como la tangente al operador Ward . El operador Ward en cada campo puede identificarse (hasta una convención de signos) con la derivada de Lie a lo largo del campo vectorial vertical asociado con la transformación de calibre local que aparece como un parámetro del operador Ward. El operador BRST en campos se parece a la derivada exterior en el haz de calibres, o más bien a su restricción a un espacio reducido de formas alternas que se definen sólo en campos vectoriales verticales. Los operadores Ward y BRST están relacionados (hasta una convención de fase introducida por Kugo y Ojima, cuya notación seguiremos en el tratamiento de los vectores de estado más adelante) por . Aquí hay una forma cero (escalar). El espacio es el espacio de polinomios de valores reales en los campos y sus derivadas que son invariantes bajo cualquier grupo de simetría sin calibre (ininterrumpido). ${\displaystyle s_{B}}$ ${\displaystyle W(\delta \lambda )}$ ${\displaystyle \delta \lambda }$ ${\displaystyle s_{B}}$ ${\displaystyle W(\delta \lambda )X=\delta \lambda \;s_{B}X}$ ${\displaystyle X\in {Pl}_{0}}$ ${\displaystyle {Pl}_{0}}$

Al igual que la derivada exterior, el operador BRST es nilpotente de grado 2, es decir, . La variación de cualquier " forma exacta BRST " con respecto a una transformación de calibre local viene dada por la derivada interior . ${\displaystyle (s_{B})^{2}=0}$ ${\displaystyle s_{B}X}$ ${\displaystyle \delta \lambda }$ ${\displaystyle \iota _{\delta \lambda }.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[\iota _{\delta \lambda },s_{B}\right]s_{B}X&=\iota _{\delta \lambda }(s_{B}s_{B}X)+s_{B}\left(\iota _{\delta \lambda }(s_{B}X)\right)\\&=s_{B}\left(\iota _{\delta \lambda }(s_{B}X)\right)\end{aligned}}}$

Tenga en cuenta que esto también es exacto.

El formalismo perturbativo hamiltoniano no se lleva a cabo en el haz de fibras, sino en una sección local. En este formalismo, agregar un término BRST exacto a una densidad lagrangiana invariante de calibre preserva la relación. Esto implica que hay un operador relacionado en el espacio de estados para el cual. Es decir, el operador BRST en los estados de Fock es una carga conservada del sistema hamiltoniano. . Esto implica que el operador de evolución temporal en un cálculo en serie de Dyson no evolucionará una configuración de campo que obedece a una configuración posterior con (o viceversa). ${\displaystyle s_{B}X=0.}$ ${\displaystyle Q_{B}}$ ${\displaystyle [Q_{B},{\mathcal {H}}]=0.}$ ${\displaystyle Q_{B}|\Psi _{i}\rangle =0}$ ${\displaystyle Q_{B}|\Psi _{f}\rangle \neq 0}$

Se puede entender que la nilpotencia del operador BRST dice que su imagen (el espacio de formas exactas de BRST ) se encuentra completamente dentro de su núcleo (el espacio de formas cerradas de BRST ). El lagrangiano "verdadero", que se presume invariante bajo transformaciones de calibre locales, está en el núcleo del operador BRST pero no en su imagen. Esto implica que el universo de condiciones iniciales y finales puede limitarse a "estados" asintóticos o configuraciones de campo en el tiempo como infinito, donde la interacción lagrangiana está "apagada". Estos estados se encuentran en el núcleo de pero como la construcción es invariante, la matriz de dispersión permanece unitaria. Los estados exactos y cerrados de BRST se definen de manera similar a los campos exactos y cerrados de BRST; los estados cerrados son aniquilados, mientras que los estados exactos son aquellos que se pueden obtener aplicando alguna configuración de campo arbitraria. ${\displaystyle Q_{B},}$ ${\displaystyle Q_{B},}$ ${\displaystyle Q_{B}}$

Al definir los estados asintóticos, también se pueden suprimir los estados que se encuentran dentro de la imagen de, pero el razonamiento es un poco más sutil. Habiendo postulado que el "verdadero" lagrangiano de la teoría es invariante de calibre, los verdaderos "estados" del sistema hamiltoniano son clases de equivalencia bajo transformación de calibre local; en otras palabras, dos estados iniciales o finales en la imagen hamiltoniana que difieren sólo por un estado exacto BRST son físicamente equivalentes. Sin embargo, el uso de una prescripción de ruptura de calibre exacta BRST no garantiza que la interacción hamiltoniana conserve cualquier subespacio particular de configuraciones de campo cerrado que sean ortogonales al espacio de configuraciones exactas. Este es un punto crucial, a menudo mal tratado en los libros de texto QFT. No existe un producto interno a priori sobre las configuraciones de campo integradas en el principio de acción; Dicho producto interno se construye como parte del aparato perturbativo hamiltoniano. ${\displaystyle Q_{B}}$

La prescripción de cuantificación en la imagen de interacción es construir un espacio vectorial de configuraciones cerradas BRST en un momento particular, de modo que pueda convertirse en un espacio de Fock de estados intermedios adecuado para la perturbación hamiltoniana. Como es convencional para la segunda cuantificación , el espacio de Fock está provisto de operadores de escalera para las configuraciones propias (partículas) de momento-energía de cada campo, completo con reglas (anti)conmutación apropiadas, así como un producto interno semidefinido positivo . Se requiere que el producto interno sea singular exclusivamente a lo largo de direcciones que correspondan a estados propios BRST exactos del hamiltoniano no perturbado. Esto garantiza que cualquier par de estados de Fock cerrados BRST pueda elegirse libremente entre las dos clases de equivalencia de configuraciones de campo asintótico correspondientes a estados propios iniciales y finales particulares del hamiltoniano de campo libre (ininterrumpido).

Las prescripciones de cuantificación deseadas proporcionan un cociente en el espacio de Fock isomorfo a la cohomología BRST , en el que cada clase de equivalencia cerrada de estados intermedios BRST (que difieren solo por un estado exacto) está representada por exactamente un estado que no contiene cuantos de los campos exactos BRST. . Este es el espacio de Fock apropiado para los estados asintóticos de la teoría. La singularidad del producto interno a lo largo de grados de libertad exactos BRST garantiza que la matriz de dispersión física contenga solo campos físicos. Esto contrasta con la dinámica lagrangiana (ingenua y de calibre fijo), en la que partículas no físicas se propagan a estados asintóticos. Al trabajar en la cohomología, se garantiza que cada estado asintótico tendrá un (y sólo uno) estado físico correspondiente (libre de fantasmas).

El operador es hermitiano y distinto de cero, pero su cuadrado es cero. Esto implica que el espacio de Fock de todos los estados anteriores a la reducción cohomológica tiene una norma indefinida y, por tanto, no es un espacio de Hilbert. Esto requiere un espacio Kerin para los estados de Fock intermedios cerrados de BRST, con el operador de inversión de tiempo desempeñando el papel de "simetría fundamental" que relaciona los productos internos semidefinidos positivos e invariantes de Lorentz. El espacio de estados asintótico es entonces el espacio de Hilbert obtenido cociente de estados exactos BRST a partir del espacio de Kerin. ${\displaystyle Q_{B}}$

En resumen: ningún campo introducido como parte de un procedimiento de fijación de calibre BRST aparecerá en estados asintóticos de la teoría de calibre fijo. ¡Sin embargo, esto no implica que estos campos "no físicos" estén ausentes en los estados intermedios de un cálculo perturbativo! Esto se debe a que los cálculos perturbativos se realizan en la imagen de interacción . Implican implícitamente estados iniciales y finales del hamiltoniano de no interacción , transformados gradualmente en estados del hamiltoniano completo de acuerdo con el teorema adiabático "activando" el hamiltoniano de interacción (el acoplamiento de calibre). La expansión de la serie de Dyson en términos de diagramas de Feynman incluirá vértices que acoplan partículas "físicas" (aquellas que pueden aparecer en estados asintóticos del hamiltoniano libre) con partículas "no físicas" (estados de campos que viven fuera o dentro del núcleo de la imagen de ) y vértices que acoplan partículas "no físicas" entre sí. ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{0}}$ ${\displaystyle s_{B}}$ ${\displaystyle s_{B}}$

La respuesta Kugo-Ojima a las preguntas sobre la unitaridad

A T. Kugo y I. Ojima se les atribuye comúnmente el descubrimiento del principal criterio de confinamiento del color QCD . Su papel en la obtención de una versión correcta del formalismo BRST en el marco lagrangiano parece ser menos apreciado. Es esclarecedor inspeccionar su variante de la transformación BRST, que enfatiza las propiedades hermitianas de los campos recién introducidos, antes de proceder desde un ángulo enteramente geométrico.

Las condiciones de fijación del gálibo valoradas se consideran donde un número positivo determina el gálibo. Hay otras posibles fijaciones de calibre, pero están fuera del presente alcance. Los campos que aparecen en el lagrangiano son: ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G=\xi \partial ^{\mu }A_{\mu },}$ ${\displaystyle \xi }$

• El campo de color QCD, es decir, el formulario de conexión con valores. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle A_{\mu }.}$
• El fantasma de Faddeev-Popov , que es un campo escalar valorado con estadísticas fermiónicas. ${\displaystyle c^{i}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$
• El antifantasma , también un campo escalar valorado con estadísticas fermiónicas. ${\displaystyle b_{i}={\bar {c}}_{i}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$
• El campo auxiliar , que es un campo escalar de valor con estadísticas bosónicas. ${\displaystyle B_{i}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

El campo se utiliza para tratar las transformaciones de calibre, las zonas y las fijaciones de calibre. En realidad, existen algunas sutilezas asociadas con la fijación del calibre debido a las ambigüedades de Gribov , pero no se tratarán aquí. ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle B}$

La densidad lagrangiana de BRST es

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\mathcal {L}}_{\textrm {matter}}(\psi ,\,A_{\mu }^{a})-{1 \over 4g^{2}}\operatorname {Tr} [F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }]+{1 \over 2g^{2}}\operatorname {Tr} [BB]-{1 \over g^{2}}\operatorname {Tr} [BG]-{\xi \over g^{2}}\operatorname {Tr} [\partial ^{\mu }bD_{\mu }c]}$

Aquí, está la derivada covariante con respecto al campo de calibre (conexión). El campo fantasma de Faddeev-Popov tiene una interpretación geométrica como una versión de la forma de Maurer-Cartan en , que relaciona cada campo vectorial vertical invariante a la derecha con su representación (arriba a una fase) como un campo valorado. Este campo debe entrar en las fórmulas para transformaciones de calibre infinitesimales en objetos (como fermiones , bosones de calibre y el propio fantasma) que llevan una representación no trivial del grupo de calibre. ${\displaystyle D_{\mu }}$ ${\displaystyle A_{\mu }.}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle V{\mathfrak {E}}}$ ${\displaystyle \delta \lambda \in V{\mathfrak {E}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle A_{\mu }}$ ${\displaystyle c}$

Si bien la densidad lagrangiana no es invariante BRST, es integral en todo el espacio-tiempo, la acción sí lo es. La transformación de los campos bajo una transformación de calibre infinitesimal viene dada por ${\displaystyle \delta \lambda }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta \psi _{i}&=\delta \lambda D_{i}c\\\delta A_{\mu }&=\delta \lambda D_{\mu }c\\\delta c&=\delta \lambda {\tfrac {i}{2}}[c,c]\\\delta b=\delta {\bar {c}}&=\delta \lambda B\\\delta B&=0\end{aligned}}}$

Tenga en cuenta que es el soporte de mentira , NO el conmutador . Estos pueden escribirse en una forma equivalente, utilizando el operador de carga en lugar de . El operador de carga BRST se define como ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$ ${\displaystyle Q_{B}}$ ${\displaystyle \delta \lambda }$ ${\displaystyle Q_{B}}$

${\displaystyle Q_{B}=c^{i}\left(L_{i}-{\frac {1}{2}}{{f_{i}}^{j}}_{k}b_{j}c^{k}\right)}$

¿Dónde están los generadores infinitesimales del grupo de Lie y sus constantes de estructura ? Usando esto, la transformación se da como ${\displaystyle L_{i}}$ ${\displaystyle f_{ij}{}^{k}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}Q_{B}A_{\mu }&=D_{\mu }c\\Q_{B}c&={i \over 2}[c,c]\\Q_{B}b&=B\\Q_{B}B&=0\end{aligned}}}$

Los detalles del sector de la materia no se especifican, al igual que la forma del operador de Ward en él; estos no son importantes siempre que la representación del álgebra de calibre en los campos de materia sea consistente con su acoplamiento a . Las propiedades de los otros campos son fundamentalmente analíticas más que geométricas. La tendencia es hacia conexiones que dependen del calibre y no tienen ningún significado geométrico particular. El anti-fantasma no es más que un multiplicador de Lagrange para el término de fijación de calibre, y las propiedades del campo escalar están enteramente dictadas por la relación . Estos campos son todos hermitianos en las convenciones de Kugo-Ojima, pero el parámetro es un " número c anti-conmutación " anti-hermitiano. Esto resulta en cierta incomodidad innecesaria con respecto a las fases y al paso de parámetros infinitesimales a través de los operadores; Esto se puede resolver con un cambio de convenciones. ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \delta A_{\mu }}$ ${\displaystyle \partial ^{\mu }A_{\mu }=0}$ ${\displaystyle b={\bar {c}}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \delta {\bar {c}}=i\delta \lambda B}$ ${\displaystyle \delta \lambda }$

Ya sabemos, por la relación del operador BRST con la derivada exterior y el fantasma de Faddeev-Popov con la forma Maurer-Cartan, que el fantasma corresponde (hasta una fase) a una forma 1 con valor en . Para que la integración de un término como sea significativa, el antifantasma debe tener representaciones de estas dos álgebras de Lie (el ideal vertical y el álgebra de calibre ) duales a las que lleva el fantasma. En términos geométricos, debe ser dual en términos de fibra y estar a un rango de ser una forma superior en . Asimismo, el campo auxiliar debe llevar la misma representación de (hasta una fase) que , así como la representación de dual a su representación trivial en Es decir, es una forma superior dual de fibra en . ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle V{\mathfrak {E}}}$ ${\displaystyle -i(\partial ^{\mu }{\bar {c}})D_{\mu }c}$ ${\displaystyle {\bar {c}}}$ ${\displaystyle V{\mathfrak {E}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\bar {c}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle V{\mathfrak {E}}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\bar {c}}}$ ${\displaystyle V{\mathfrak {E}}}$ ${\displaystyle A_{\mu }.}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle V{\mathfrak {E}}}$

Los estados de una partícula de la teoría se analizan en el límite adiabáticamente desacoplado g  → 0. Hay dos tipos de cuantos en el espacio de Fock del hamiltoniano de calibre fijo que se encuentran completamente fuera del núcleo del operador BRST: los del operador Faddeev –Popov anti-fantasma y el bosón de calibre polarizado hacia adelante. Esto se debe a que ninguna combinación de campos que contengan es aniquilada por y el lagrangiano tiene un término de ruptura de calibre que es igual, hasta una divergencia, a ${\displaystyle {\bar {c}}}$ ${\displaystyle {\bar {c}}}$ ${\displaystyle s_{B}}$

${\displaystyle s_{B}\left({\bar {c}}\left(i\partial ^{\mu }A_{\mu }-{\tfrac {1}{2}}\xi s_{B}{\bar {c}}\right)\right).}$

Asimismo, hay dos tipos de cuantos que recaerán enteramente en la imagen del operador BRST: los del fantasma de Faddeev-Popov y el campo escalar , que se "devora" al completar el cuadrado en la integral funcional para convertirse en el campo polarizado hacia atrás. bosón de calibre. Estos son los cuatro tipos de cuantos "no físicos" que no aparecen en los estados asintóticos de un cálculo perturbativo. ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle B}$

El anti-fantasma se considera un escalar de Lorentz por el bien de la invariancia de Poincaré en . Sin embargo, su ley (anti)conmutación relativa, es decir, su prescripción de cuantificación, que ignora el teorema de la estadística de espín al dar estadísticas de Fermi-Dirac a una partícula de espín-0, estará dada por el requisito de que el producto interno en nuestro espacio de Fock de estados asintóticos sean singulares a lo largo de las direcciones correspondientes a los operadores de subida y bajada de alguna combinación de campos BRST no cerrados y BRST exactos. Esta última afirmación es la clave para la "cuantización BRST", a diferencia de la mera "simetría BRST" o la "transformación BRST". ${\displaystyle -i(\partial ^{\mu }{\bar {c}})D_{\mu }c}$ ${\displaystyle c}$

(Debe completarse en el lenguaje de la cohomología BRST, con referencia al tratamiento de Kugo-Ojima del espacio asintótico de Fock).

Enfoque matemático de BRST

Esta sección sólo se aplica a las teorías de calibre clásicas. es decir , aquellos que pueden describirse con restricciones de primera clase . El formalismo más general se describe utilizando el formalismo de Batalin-Vilkovisky .

La construcción BRST ^[1] se aplica a una situación de acción hamiltoniana de un grupo calibre en un espacio de fase . Sea el álgebra de Lie y un valor regular del mapa de momentos . Dejar . Suponga que la acción -on es libre y adecuada, y considere el espacio de -órbitas on . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle 0\in {\mathfrak {g}}^{*}}$ ${\displaystyle \Phi :M\to {\mathfrak {g}}^{*}}$ ${\displaystyle M_{0}=\Phi ^{-1}(0)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M_{0}}$ ${\displaystyle {\tilde {M}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M_{0}}$

La mecánica hamiltoniana de una teoría de calibre se describe mediante restricciones de primera clase que actúan sobre un espacio simpléctico . es la subvariedad que satisface las restricciones de primera clase. La acción de la simetría de calibre se divide en órbitas de calibre . La reducción simpléctica es el cociente de las órbitas de calibre. ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \Phi _{i}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M_{0}}$ ${\displaystyle M_{0}}$ ${\displaystyle M_{0}}$

Según la geometría algebraica , el conjunto de funciones suaves sobre un espacio es un anillo. El complejo Koszul-Tate (las restricciones de primera clase no son regulares en general) describe el álgebra asociada con la reducción simpléctica en términos del álgebra . ${\displaystyle C^{\infty }(M)}$

Primero, usando las ecuaciones que definen el interior , construya un complejo de Koszul. ${\displaystyle M_{0}}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle ...\to K^{1}(\Phi )\to C^{\infty }(M)\to 0}$

para eso y para . ${\displaystyle H^{0}(K(\Phi ))=C^{\infty }(M_{0})}$ ${\displaystyle H^{p}(K(\Phi ))=0}$ ${\displaystyle p\neq 0}$

Luego, para la fibración se considera el complejo de formas exteriores verticales . Localmente, es isomorfo a , donde es el álgebra exterior del dual de un espacio vectorial . Usando la resolución de Koszul definida anteriormente, se obtiene un complejo bigrado ${\displaystyle M_{0}\to {\tilde {M}}}$ ${\displaystyle (\Omega _{vert}^{\cdot }(M_{0}),d_{vert})}$ ${\displaystyle \Omega _{vert}^{\cdot }(M_{0})}$ ${\displaystyle \Lambda ^{\cdot }V^{*}\otimes C^{\infty }({\tilde {M}})}$ ${\displaystyle \Lambda ^{\cdot }V^{*}}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle K^{i,j}=\Lambda ^{i}V^{*}\otimes \Lambda ^{j}V\otimes C^{\infty }(M).}$

Finalmente (y este es el paso menos trivial), se define un diferencial sobre el cual se eleva hasta y tal que y ${\displaystyle s_{B}}$ ${\displaystyle K=\oplus _{i,j}K^{i,j}}$ ${\displaystyle d_{vert}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle (s_{B})^{2}=0}$

${\displaystyle H_{s_{B}}^{0}=C^{\infty }({\tilde {M}})}$

con respecto a la calificación por el número fantasma  : . ${\displaystyle K^{n}=\oplus _{i-j=n}K^{i,j}}$

Así, el operador BRST o diferencial BRST logra en el nivel de funciones lo que la reducción simpléctica hace en el nivel de variedades. ${\displaystyle s_{B}}$

Hay dos antiderivaciones y que se anticonmutan entre sí. La antiderivación BRST viene dada por . El operador es nilpotente ; ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle s_{B}}$ ${\displaystyle \delta +d+\mathrm {more} }$ ${\displaystyle s_{B}}$ ${\displaystyle s^{2}=(\delta +d)^{2}=\delta ^{2}+d^{2}+(\delta d+d\delta )=0}$

Considere el álgebra supercommutativa generada por y los generadores impares de Grassman , es decir, el producto tensorial de un álgebra de Grassman y . Existe una antiderivación única, satisfactoria y para todos . La homología cero viene dada por . ${\displaystyle C^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{i}}$ ${\displaystyle C^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \delta {\mathcal {P}}_{i}=-\Phi _{i}}$ ${\displaystyle \delta f=0}$ ${\displaystyle f\in C^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle C^{\infty }(M_{0})}$

Un campo vectorial longitudinal es un campo vectorial que es tangente en todas partes a las órbitas del calibre. El corchete de Lie de dos campos vectoriales longitudinales es en sí mismo otro campo vectorial longitudinal. Las formas longitudinales son duales con respecto al álgebra exterior de los vectores. es esencialmente la derivada exterior longitudinal definida por ${\displaystyle M_{0}}$ ${\displaystyle M_{0}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle d}$

${\displaystyle {\begin{aligned}d\omega (V_{0},\ldots ,V_{k})=&\sum _{i}(-1)^{i}d_{{}_{V_{i}}}(\omega (V_{0},\ldots ,{\widehat {V}}_{i},\ldots ,V_{k}))\\&+\sum _{i<j}(-1)^{i+j}\omega ([V_{i},V_{j}],V_{0},\ldots ,{\widehat {V}}_{i},\ldots ,{\widehat {V}}_{j},\ldots ,V_{k})\end{aligned}}}$

La cohomología cero de la derivada exterior longitudinal es el álgebra de funciones invariantes de calibre.

La construcción BRST se aplica cuando se tiene una acción hamiltoniana de un grupo de Lie compacto y conectado en un espacio de fase . ^{[2] [3]} Sea el álgebra de Lie de (a través de la correspondencia entre el grupo de Lie y el álgebra de Lie ) y (el dual de un valor regular del mapa de impulso . Sea ... Supongamos que la acción -on es libre y adecuada, y considere el espacio de órbitas en , que también se conoce como cociente de reducción simpléctica . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle 0\in {\mathfrak {g}}^{*}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle \Phi :M\to {\mathfrak {g}}^{*}}$ ${\displaystyle M_{0}=\Phi ^{-1}(0)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M_{0}}$ ${\displaystyle {\widetilde {M}}=M_{0}/G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M_{0}}$ ${\displaystyle {\widetilde {M}}=M/\!\!/G}$

Primero, utilizando la secuencia regular de funciones que se definen en el interior , construya un complejo de Koszul. ${\displaystyle M_{0}}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle \Lambda ^{\bullet }{\mathfrak {g}}\otimes C^{\infty }(M).}$

El diferencial , en este complejo es una derivación lineal impar (álgebra diferencial) del álgebra graduada . Esta derivación impar se define extendiendo el homomorfismo del álgebra de Lie de la acción hamiltoniana. El complejo de Koszul resultante es el complejo de Koszul del módulo , donde está el álgebra simétrica de , y la estructura del módulo proviene de un homomorfismo de anillo inducido por la acción hamiltoniana . ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle C^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle C^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle \Lambda ^{\bullet }{\mathfrak {g}}\otimes C^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to C^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle S({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle C^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle S({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle S({\mathfrak {g}})\to C^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to C^{\infty }(M)}$

Este complejo de Koszul es una resolución del -módulo , es decir, ${\displaystyle S({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle C^{\infty }(M_{0})}$

${\displaystyle H^{j}(\Lambda ^{\bullet }{\mathfrak {g}}\otimes C^{\infty }(M),\delta )={\begin{cases}C^{\infty }(M_{0})&j=0\\0&j\neq 0\end{cases}}}$

Luego, considere el complejo de Chevalley-Eilenberg para el complejo de Koszul considerado como un módulo graduado diferencial sobre el álgebra de Lie : ${\displaystyle \Lambda ^{\bullet }{\mathfrak {g}}\otimes C^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle K^{\bullet ,\bullet }=C^{\bullet }\left({\mathfrak {g}},\Lambda ^{\bullet }{\mathfrak {g}}\otimes C^{\infty }(M)\right)=\Lambda ^{\bullet }{\mathfrak {g}}^{*}\otimes \Lambda ^{\bullet }{\mathfrak {g}}\otimes C^{\infty }(M).}$

El diferencial "horizontal" se define sobre los coeficientes. ${\displaystyle d:K^{i,\bullet }\to K^{i+1,\bullet }}$

${\displaystyle \Lambda ^{\bullet }{\mathfrak {g}}\otimes C^{\infty }(M)}$

por la acción de y sobre como derivada exterior de formas diferenciales invariantes por la derecha en el grupo de Lie , cuyo álgebra de Lie es . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \Lambda ^{\bullet }{\mathfrak {g}}^{*}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Sea Tot( K ) un complejo tal que

${\displaystyle \operatorname {Tot} (K)^{n}=\bigoplus \nolimits _{i-j=n}K^{i,j}}$

con un diferencial D  =  d  + δ. Los grupos de cohomología de (Tot( K ),  D ) se calculan utilizando una secuencia espectral asociada al doble complejo . ${\displaystyle (K^{\bullet ,\bullet },d,\delta )}$

El primer término de la secuencia espectral calcula la cohomología del diferencial "vertical" : ${\displaystyle \delta }$

${\displaystyle E_{1}^{i,j}=H^{j}(K^{i,\bullet },\delta )=\Lambda ^{i}{\mathfrak {g}}^{*}\otimes C^{\infty }(M_{0})}$, si j = 0 y cero en caso contrario.

El primer término de la secuencia espectral puede interpretarse como el complejo de formas diferenciales verticales.

${\displaystyle (\Omega ^{\bullet }{\operatorname {vert} }(M_{0}),d_{\operatorname {vert} })}$

para el haz de fibras . ${\displaystyle M_{0}\to {\widetilde {M}}}$

El segundo término de la secuencia espectral calcula la cohomología del diferencial "horizontal" en : ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle E_{1}^{\bullet ,\bullet }}$

${\displaystyle E_{2}^{i,j}\cong H^{i}(E_{1}^{\bullet ,j},d)=C^{\infty }(M_{0})^{g}=C^{\infty }({\widetilde {M}})}$, si y cero en caso contrario. ${\displaystyle i=j=0}$

La secuencia espectral colapsa en el segundo término, de modo que , que se concentra en el grado cero. ${\displaystyle E_{\infty }^{i,j}=E_{2}^{i,j}}$

Por lo tanto,

${\displaystyle H^{p}(\operatorname {Tot} (K),D)=C^{\infty }(M_{0})^{g}=C^{\infty }({\widetilde {M}})}$, si p = 0 y 0 en caso contrario.

Ver también

• Formalismo de Batalin-Vilkovisky
• Cromodinámica cuántica

Referencias

Citas

1. JMFigueroa-O'Farrill, T. Kimura. Cuantización geométrica BRST: comunicaciones en física matemática, 1991 - Springer
2. Figueroa-O'Farrill y Kimura 1991, págs. 209-229
3. Kostant y Sternberg 1987, págs. 49-113

Tratamientos de libros de texto

• El capítulo 16 de Peskin & Schroeder ( ISBN  0-201-50397-2 o ISBN 0-201-50934-2 ) aplica la "simetría BRST" al razonamiento sobre la cancelación de anomalías en el lagrangiano Faddeev-Popov. Este es un buen comienzo para los no expertos en QFT, aunque se omiten las conexiones con la geometría y el tratamiento del espacio de Fock asintótico es sólo un boceto. 
• El capítulo 12 de M. Göckeler y T. Schücker ( ISBN 0-521-37821-4 o ISBN 0-521-32960-4 ) analiza la relación entre el formalismo BRST y la geometría de los paquetes de calibres. Es sustancialmente similar al artículo de Schücker de 1987. ^[1]  

Tratamiento matemático

• Figueroa-O'Farrill, JM; Kimura, T. (1991). "Cuantización BRST geométrica I. Precuantización". Comunitario. Matemáticas. Física . 136 (2). Springer-Verlag : 209–229. Código bibliográfico : 1991CMaPh.136..209F. doi :10.1007/BF02100022. ISSN  0010-3616. SEÑOR  1096113. S2CID  120119621.
• Kostant, B.; Sternberg, S. (1987). "Reducción simpléctica, cohomología BRS y álgebras de Clifford de dimensión infinita". Ana. Física . 176 (1). Elsevier : 49-113. Código bibliográfico : 1987AnPhy.176...49K. doi :10.1016/0003-4916(87)90178-3.

literatura primaria

Documentos BRST originales:

• Brandt, Friedemann; Barnich, Glenn; Henneaux, Marc (2000), "Cohomología BRST local en teorías de calibre", Physics Reports , 338 (5): 439–569, arXiv : hep-th/0002245 , Bibcode :2000PhR...338..439B, doi :10.1016 /S0370-1573(00)00049-1, ISSN  0370-1573, SEÑOR  1792979, S2CID  119420167
• Becchi, C.; Rouet, A.; Stora, R. (1974). "El modelo abeliano de Higgs Kibble, unitaridad del operador S". Letras de Física B. 52 (3). Elsevier BV: 344–346. Código bibliográfico : 1974PhLB...52..344B. doi :10.1016/0370-2693(74)90058-6. ISSN  0370-2693.
• Becchi, C.; Rouet, A.; Stora, R. (1975). "Renormalización del modelo abeliano de Higgs-Kibble". Comunicaciones en Física Matemática . 42 (2). Springer Science y Business Media LLC: 127–162. Código bibliográfico : 1975CMaPh..42..127B. doi :10.1007/bf01614158. ISSN  0010-3616. S2CID  120552882.
• Becchi, C; Rouet, A; Stora, R (1976). "Renormalización de las teorías de calibre". Anales de Física . 98 (2). Elsevier BV: 287–321. Código bibliográfico : 1976AnPhy..98..287B. doi :10.1016/0003-4916(76)90156-1. ISSN  0003-4916.
• IV Tyutin, "Invariancia de calibre en teoría de campo y física estadística en formalismo de operadores", preimpresión 39 del Instituto de Física Lebedev (1975), arXiv:0812.0580.
• Kugo, Taichiro; Ojima, Izumi (1979). "Formalismo del operador covariante local de teorías de calibre no abelianos y problema de confinamiento de quarks". Suplemento Avances de Física Teórica . 66 . Prensa de la Universidad de Oxford (OUP): 1–130. Código Bib : 1979PThPS..66....1K. doi : 10.1143/ptps.66.1 . ISSN  0375-9687.
• Una versión más accesible de Kugo–Ojima está disponible en línea en una serie de artículos, comenzando con: Kugo, T.; Ojima, I. (1 de diciembre de 1978). "Formulación canónica manifiestamente covariante de las teorías de campo de Yang-Mills. I: - Formalismo general -". Progresos de la Física Teórica . 60 (6). Prensa de la Universidad de Oxford (OUP): 1869–1889. Código bibliográfico : 1978PThPh..60.1869K. doi : 10.1143/ptp.60.1869 . ISSN  0033-068X.Esta es probablemente la mejor referencia para la cuantificación BRST en lenguaje mecánico cuántico (a diferencia de geométrico).
• Se puede encontrar mucha información sobre la relación entre los invariantes topológicos y el operador BRST en: E. Witten, "Topological quantum field teoría", Commun. Matemáticas. Física. 117, 3 (1988), págs. 353–386

Perspectivas alternativas

• Los sistemas BRST se analizan brevemente desde la perspectiva de la teoría del operador en: SS Horuzhy y AV Voronin, "Remarks on Mathematical Structure of BRST Theories", Comm. Matemáticas. Física. 123, 4 (1989) págs. 677–685
• Se puede encontrar una perspectiva teórica de la medida sobre el método BRST en las notas de conferencias de Carlo Becchi de 1996.

enlaces externos

• Primera cohomología en arxiv.org

1. Thomas Schücker. "La construcción cohomológica de las soluciones de Stora". Com. Matemáticas. Física. 109 (1) 167 - 175, 1987.