álgebra de mentiras

Estructura algebraica utilizada en el análisis.

En matemáticas , un álgebra de Lie (pronunciada / l iː / LEE ) es un espacio vectorial junto con una operación llamada corchete de Lie , un mapa bilineal alterno , que satisface la identidad de Jacobi . En otras palabras, un álgebra de Lie es un álgebra sobre un campo para el cual la operación de multiplicación (llamada paréntesis de Lie) es alterna y satisface la identidad de Jacobi. El corchete de Lie de dos vectores y se denota . Un álgebra de Lie suele ser un álgebra no asociativa . Sin embargo, cada álgebra asociativa da lugar a un álgebra de Lie, que consta del mismo espacio vectorial con el soporte de Lie del conmutador . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle [x,y]}$ ${\displaystyle [x,y]=xy-yx}$

Las álgebras de Lie están estrechamente relacionadas con los grupos de Lie , que son grupos que también son variedades suaves : cada grupo de Lie da lugar a un álgebra de Lie, que es el espacio tangente en la identidad. (En este caso, el corchete de Lie mide la falla de la conmutatividad para el grupo de Lie.) A la inversa, para cualquier álgebra de Lie de dimensión finita sobre números reales o complejos , existe un grupo de Lie conectado correspondiente , único hasta cubrir espacios ( el grupo de Lie tercer teorema ). Esta correspondencia permite estudiar la estructura y clasificación de los grupos de Lie en términos de álgebras de Lie, que son objetos más simples del álgebra lineal.

Más detalladamente: para cualquier grupo de Lie, la operación de multiplicación cerca del elemento identidad 1 es conmutativa de primer orden. En otras palabras, todo grupo de Lie G es (de primer orden) aproximadamente un espacio vectorial real, es decir, el espacio tangente a G en la identidad. De segundo orden, la operación de grupo puede ser no conmutativa, y los términos de segundo orden que describen la no conmutatividad de G cerca de la identidad dan la estructura de un álgebra de Lie. Es un hecho notable que estos términos de segundo orden (el álgebra de Lie) determinan completamente la estructura de grupo de G cerca de la identidad. Incluso determinan G globalmente, hasta cubrir espacios. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

En física, los grupos de Lie aparecen como grupos de simetría de sistemas físicos, y sus álgebras de Lie (vectores tangentes cerca de la identidad) pueden considerarse movimientos de simetría infinitesimales. Así, las álgebras de Lie y sus representaciones se utilizan ampliamente en física, especialmente en mecánica cuántica y física de partículas.

Un ejemplo elemental (que no proviene directamente de un álgebra asociativa) es el espacio tridimensional con corchete de Lie definido por el producto cruzado. Esto es simétrico sesgado ya que , y en lugar de asociatividad, satisface la identidad de Jacobi: ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle [x,y]=x\times y.}$ ${\displaystyle x\times y=-y\times x}$

${\displaystyle x\times (y\times z)+\ y\times (z\times x)+\ z\times (x\times y)\ =\ 0.}$

Esta es el álgebra de Lie del grupo de Lie de rotaciones del espacio , y cada vector puede representarse como una rotación infinitesimal alrededor del eje , con velocidad angular igual a la magnitud de . El corchete de Lie es una medida de la no conmutatividad entre dos rotaciones. Como una rotación conmuta consigo misma, tiene la propiedad de alternancia . ${\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle [x,x]=x\times x=0}$

Historia

Las álgebras de Lie fueron introducidas para estudiar el concepto de transformaciones infinitesimales por Sophus Lie en la década de 1870, ^[1] y descubiertas de forma independiente por Wilhelm Killing ^[2] en la década de 1880. El nombre de álgebra de Lie fue dado por Hermann Weyl en la década de 1930; en textos más antiguos se utilizaba el término grupo infinitesimal .

Definición de álgebra de mentira

Un álgebra de Lie es un espacio vectorial sobre un campo junto con una operación binaria llamada corchete de Lie, que satisface los siguientes axiomas: ^[a] ${\displaystyle \,{\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle [\,\cdot \,,\cdot \,]:{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$

• bilinealidad ,

${\displaystyle [ax+by,z]=a[x,z]+b[y,z],}$

${\displaystyle [z,ax+by]=a[z,x]+b[z,y]}$

para todos los escalares en y todos los elementos en . ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle x,y,z}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

• La propiedad alterna ,

${\displaystyle [x,x]=0\ }$

para todos dentro . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

• La identidad Jacobi ,

${\displaystyle [x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0\ }$

para todos dentro . ${\displaystyle x,y,z}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Dado un grupo de Lie, la identidad de Jacobi para su álgebra de Lie se deriva de la asociatividad de la operación del grupo.

El uso de la bilinealidad para expandir el corchete de Lie y el uso de la propiedad alterna muestra que para todos en . Así, la bilinealidad y la propiedad alternante juntas implican ${\displaystyle [x+y,x+y]}$ ${\displaystyle [x,y]+[y,x]=0}$ ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

• Anticonmutatividad ,

${\displaystyle [x,y]=-[y,x],\ }$

para todos dentro . Si el campo no tiene la característica 2, entonces la anticonmutatividad implica la propiedad de alternancia, ya que implica ^[3] ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle [x,x]=-[x,x].}$

Es habitual denotar un álgebra de Lie con una letra fraktur minúscula como , por ejemplo . Si un álgebra de Lie está asociada con un grupo de Lie, entonces el álgebra se denota por la versión fraktur del nombre del grupo: por ejemplo, el álgebra de Lie de SU( n ) es . ${\displaystyle {\mathfrak {g,h,b,n}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)}$

Generadores y dimensión.

La dimensión de un álgebra de Lie sobre un campo significa su dimensión como espacio vectorial . En física, una base de espacio vectorial del álgebra de Lie de un grupo de Lie G puede denominarse conjunto de generadores de G. (Son "generadores infinitesimales" para G , por así decirlo.) En matemáticas, un conjunto S de generadores para un álgebra de Lie significa un subconjunto de tal que cualquier subálgebra de Lie (como se define a continuación) que contenga S debe ser todo de . De manera equivalente, está abarcado (como un espacio vectorial) por todos los corchetes iterados de elementos de S. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Ejemplos básicos

Álgebras de mentira abelianas

Cualquier espacio vectorial dotado del corchete de Lie idénticamente cero se convierte en un álgebra de Lie. Tal álgebra de Lie se llama abeliana . Todo álgebra de Lie unidimensional es abeliano, por la propiedad alternante del corchete de Lie. ${\displaystyle V}$

El álgebra de mentiras de las matrices.

• En un álgebra asociativa sobre un campo con multiplicación escrita como , el conmutador puede definir un corchete de Lie . Con este paréntesis, es un álgebra de Lie. (La identidad de Jacobi se deriva de la asociatividad de la multiplicación en .) ^[4] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle xy}$ ${\displaystyle [x,y]=xy-yx}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$
• Se denota el anillo de endomorfismo de un espacio vectorial con el corchete de Lie anterior . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)}$
• Para un campo F y un entero positivo n , el espacio de n × n matrices sobre F , denotado o , es un álgebra de Lie con corchete dado por el conmutador de matrices :. ^[5] Este es un caso especial del ejemplo anterior; es un ejemplo clave de álgebra de Lie. Se llama álgebra de Lie lineal general . ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,F)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}(F)}$ ${\displaystyle [X,Y]=XY-YX}$

Cuando F son los números reales, es el álgebra de Lie del grupo lineal general , el grupo de matrices reales invertibles n x n (o equivalentemente, matrices con determinante distinto de cero ), donde la operación del grupo es la multiplicación de matrices. Asimismo, es el álgebra de Lie del grupo de Lie complejo . El corchete de Lie describe el fallo de la conmutatividad para la multiplicación de matrices o, de forma equivalente, para la composición de mapas lineales . Para cualquier campo F , puede verse como el álgebra de Lie del grupo algebraico . ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,F)}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (n)_{F}}$

Definiciones

Subálgebras, ideales y homomorfismos.

No es necesario que el corchete de Lie sea asociativo , lo que significa que no es necesario que sea igual a . No obstante, gran parte de la terminología para anillos y álgebras asociativas (y también para grupos) tiene analogías para las álgebras de Lie. Una subálgebra de Lie es un subespacio lineal que está cerrado bajo el corchete de Lie. Un ideal es un subespacio lineal que satisface la condición más fuerte: ^[6] ${\displaystyle [[x,y],z]}$ ${\displaystyle [x,[y,z]]}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}\subseteq {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {i}}\subseteq {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {i}}]\subseteq {\mathfrak {i}}.}$

En la correspondencia entre grupos de Lie y álgebras de Lie, los subgrupos corresponden a subálgebras de Lie y los subgrupos normales corresponden a ideales.

Un homomorfismo de álgebra de Lie es un mapa lineal compatible con los respectivos corchetes de Lie:

${\displaystyle \phi \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {h}},\quad \phi ([x,y])=[\phi (x),\phi (y)]\ {\text{for all}}\ x,y\in {\mathfrak {g}}.}$

Un isomorfismo de las álgebras de Lie es un homomorfismo biyectivo .

Como ocurre con los subgrupos normales en grupos, los ideales en las álgebras de Lie son precisamente el núcleo de los homomorfismos. Dada un álgebra de Lie y un ideal en ella, se define el álgebra de Lie cociente , con un homomorfismo sobreyectivo de las álgebras de Lie. El primer teorema de isomorfismo es válido para las álgebras de Lie: para cualquier homomorfismo de las álgebras de Lie, la imagen de es una subálgebra de Lie que es isomorfa a . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {i}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {i}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {i}}}$ ${\displaystyle \phi \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\text{ker}}(\phi )}$

Para el álgebra de Lie de un grupo de Lie, el corchete de Lie es una especie de conmutador infinitesimal. Como resultado, para cualquier álgebra de Lie, se dice que dos elementos conmutan si su paréntesis desaparece: . ${\displaystyle x,y\in {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle [x,y]=0}$

La subálgebra centralizadora de un subconjunto es el conjunto de elementos que conmutan con : es decir, . El centralizador de sí mismo es el centro . De manera similar, para un subespacio S , la subálgebra normalizadora de es . ^[7] Si es una subálgebra de Lie, es la subálgebra más grande que es un ideal de . ${\displaystyle S\subset {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathfrak {z}}_{\mathfrak {g}}(S)=\{x\in {\mathfrak {g}}:[x,s]=0\ {\text{ for all }}s\in S\}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {z}}({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathfrak {n}}_{\mathfrak {g}}(S)=\{x\in {\mathfrak {g}}:[x,s]\in S\ {\text{ for all}}\ s\in S\}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathfrak {n}}_{\mathfrak {g}}(S)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathfrak {n}}_{\mathfrak {g}}(S)}$

Ejemplo

El subespacio de matrices diagonales es una subálgebra de Lie abeliana. (Es una subálgebra de Cartan de , análoga a un toro máximo en la teoría de grupos compactos de Lie .) Aquí no hay un ideal en para . Por ejemplo, cuando , del cálculo se deduce lo siguiente: ${\displaystyle {\mathfrak {t}}_{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,F)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {t}}_{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n)}$ ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle n=2}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}x&0\\0&y\end{bmatrix}}\right]&={\begin{bmatrix}ax&by\\cx&dy\\\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}ax&bx\\cy&dy\\\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}0&b(y-x)\\c(x-y)&0\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

(que no siempre está en ). ${\displaystyle {\mathfrak {t}}_{2}}$

Cada subespacio lineal unidimensional de un álgebra de Lie es una subálgebra de Lie abeliana, pero no tiene por qué ser un ideal. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Producto y producto semidirecto.

Para dos álgebras de Lie y , el producto del álgebra de Lie es el espacio vectorial que consta de todos los pares ordenados , con corchetes de Lie ^[8] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g'}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g'}}}$ ${\displaystyle (x,x'),\,x\in {\mathfrak {g}},\ x'\in {\mathfrak {g'}}}$

${\displaystyle [(x,x'),(y,y')]=([x,y],[x',y']).}$

Este es el producto de la categoría de álgebras de Lie. Tenga en cuenta que las copias de y conmutan entre sí: ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}'}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g'}}}$ ${\displaystyle [(x,0),(0,x')]=0.}$

Sea un álgebra de Lie y un ideal de . Si el mapa canónico se divide (es decir, admite una sección , como homomorfismo de álgebras de Lie), entonces se dice que es un producto semidirecto de y ,. Véase también suma semidirecta de álgebras de Lie . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {i}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {i}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {i}}\to {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {i}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {i}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}/{\mathfrak {i}}\ltimes {\mathfrak {i}}}$

Derivaciones

Para un álgebra A sobre un campo F , una derivación de A sobre F es una aplicación lineal que satisface la regla de Leibniz ${\displaystyle D\colon A\to A}$

${\displaystyle D(xy)=D(x)y+xD(y)}$

para todos . (La definición tiene sentido para un álgebra posiblemente no asociativa ). Dadas dos derivaciones y , su conmutador es nuevamente una derivación. Esta operación convierte el espacio de todas las derivaciones de A sobre F en un álgebra de Lie. ^[9] ${\displaystyle x,y\in A}$ ${\displaystyle D_{1}}$ ${\displaystyle D_{2}}$ ${\displaystyle [D_{1},D_{2}]:=D_{1}D_{2}-D_{2}D_{1}}$ ${\displaystyle {\text{Der}}_{k}(A)}$

Hablando informalmente, el espacio de derivaciones de A es el álgebra de Lie del grupo de automorfismos de A. (Esto es literalmente cierto cuando el grupo de automorfismos es un grupo de Lie, por ejemplo, cuando F son los números reales y A tiene una dimensión finita como espacio vectorial). Por esta razón, los espacios de derivaciones son una forma natural de construir álgebras de Lie: son los "automorfismos infinitesimales" de A . De hecho, escribir la condición de que

${\displaystyle (1+\epsilon D)(xy)\equiv (1+\epsilon D)(x)\cdot (1+\epsilon D)(y){\pmod {\epsilon ^{2}}}}$

(donde 1 denota el mapa de identidad en A ) da exactamente la definición de que D es una derivación.

Ejemplo: el álgebra de Lie de campos vectoriales. Sea A el anillo de funciones suaves en una variedad suave X. Entonces una derivación de A sobre es equivalente a un campo vectorial en X . (Un campo vectorial v proporciona una derivación del espacio de funciones suaves al diferenciar funciones en la dirección de v ). Esto convierte el espacio de campos vectoriales en un álgebra de Lie (ver Corchete de Lie de campos vectoriales ). ^[10] Hablando informalmente, es el álgebra de Lie del grupo de difeomorfismo de X. Entonces, el corchete de Lie de campos vectoriales describe la no conmutatividad del grupo de difeomorfismo. Una acción de un grupo de Lie G sobre una variedad X determina un homomorfismo de las álgebras de Lie . (A continuación se ilustra un ejemplo). ${\displaystyle C^{\infty }(X)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\text{Vect}}(X)}$ ${\displaystyle {\text{Vect}}(X)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to {\text{Vect}}(X)}$

Un álgebra de Lie puede verse como un álgebra no asociativa, por lo que cada álgebra de Lie sobre un campo F determina su álgebra de derivaciones de Lie . Es decir, una derivación de es un mapa lineal tal que ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\text{Der}}_{F}({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle D\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle D([x,y])=[D(x),y]+[x,D(y)]}$.

La derivación interna asociada a cualquiera es el mapeo adjunto definido por . (Esta es una derivación como consecuencia de la identidad de Jacobi). Eso da un homomorfismo de las álgebras de Lie ,. La imagen es un ideal en , y el álgebra de Lie de derivaciones externas se define como el álgebra de Lie del cociente, . (Esto es exactamente análogo al grupo de automorfismo externo de un grupo). Para un álgebra de Lie semisimple (definida a continuación) sobre un campo de característica cero, cada derivación es interna. ^[11] Esto está relacionado con el teorema de que el grupo de automorfismo externo de un grupo de Lie semisimple es finito. ^[12] ${\displaystyle x\in {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \mathrm {ad} _{x}}$ ${\displaystyle \mathrm {ad} _{x}(y):=[x,y]}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} \colon {\mathfrak {g}}\to {\text{Der}}_{F}({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\text{Inn}}_{F}({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\text{Der}}_{F}({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\text{Out}}_{F}({\mathfrak {g}})={\text{Der}}_{F}({\mathfrak {g}})/{\text{Inn}}_{F}({\mathfrak {g}})}$

Por el contrario, un álgebra de Lie abeliana tiene muchas derivaciones externas. Es decir, para un espacio vectorial con corchete de Lie cero, el álgebra de Lie se puede identificar con . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\text{Out}}_{F}(V)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)}$

Ejemplos

Álgebras de mentira matricial

Un grupo de matrices es un grupo de Lie que consta de matrices invertibles, donde la operación de grupo de G es la multiplicación de matrices. El álgebra de Lie correspondiente es el espacio de matrices que son vectores tangentes a G dentro del espacio lineal : consiste en derivadas de curvas suaves en G en la matriz identidad : ${\displaystyle G\subset \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle M_{n}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle I}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\{X=c'(0)\in M_{n}(\mathbb {R} ):{\text{ smooth }}c:\mathbb {R} \to G,\ c(0)=I\}.}$

El corchete de Lie está dado por el conmutador de matrices, . Dada un álgebra de Lie , se puede recuperar el grupo de Lie como el subgrupo generado por la matriz exponencial de elementos de . ^[13] (Para ser precisos, esto da el componente identidad de G , si G no es conexo.) Aquí el mapeo exponencial está definido por , que converge para cada matriz . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle [X,Y]=XY-YX}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\subset {\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \exp :M_{n}(\mathbb {R} )\to M_{n}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \exp(X)=I+X+{\tfrac {1}{2!}}X^{2}+{\tfrac {1}{3!}}X^{3}+\cdots }$ ${\displaystyle X}$

Los mismos comentarios se aplican a los subgrupos complejos de Lie y a la matriz compleja exponencial (definida por la misma fórmula). ${\displaystyle GL(n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \exp :M_{n}(\mathbb {C} )\to M_{n}(\mathbb {C} )}$

A continuación se muestran algunos grupos matriciales de Lie y sus álgebras de Lie. ^[14]

• Para un entero positivo n , el grupo lineal especial consta de todas las matrices reales n  ×  n con determinante 1. Este es el grupo de aplicaciones lineales desde hacia sí mismo que preservan el volumen y la orientación . De manera más abstracta, es el subgrupo conmutador del grupo lineal general . Su álgebra de Lie consta de todas las matrices reales n  ×  n con traza 0. De manera similar, se puede definir el grupo de Lie complejo análogo y su álgebra de Lie . ${\displaystyle \mathrm {SL} (n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} (n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle {\rm {SL}}(n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n,\mathbb {C} )}$
• El grupo ortogonal juega un papel básico en geometría: es el grupo de aplicaciones lineales de sí mismo que preservan la longitud de los vectores. Por ejemplo, las rotaciones y reflexiones pertenecen a . De manera equivalente, este es el grupo de matrices ortogonales n x n , lo que significa que , donde denota la transpuesta de una matriz. El grupo ortogonal tiene dos componentes conectados; el componente de identidad se llama grupo ortogonal especial , que consta de matrices ortogonales con determinante 1. Ambos grupos tienen la misma álgebra de Lie , el subespacio de matrices simétricas sesgadas en ( ). Véase también rotaciones infinitesimales con matrices simétricas sesgadas . ${\displaystyle \mathrm {O} (n)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathrm {O} (n)}$ ${\displaystyle A^{\mathrm {T} }=A^{-1}}$ ${\displaystyle A^{\mathrm {T} }}$ ${\displaystyle \mathrm {SO} (n)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(n)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle X^{\rm {T}}=-X}$

El grupo ortogonal complejo , su componente identidad y el álgebra de Lie vienen dados por las mismas fórmulas aplicadas a matrices complejas n x n . De manera equivalente, es el subgrupo de que conserva la forma bilineal simétrica estándar en . ${\displaystyle \mathrm {O} (n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathrm {SO} (n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathrm {O} (n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

• El grupo unitario es el subgrupo de que conserva la longitud de los vectores en (con respecto al producto interno hermitiano estándar ). De manera equivalente, este es el grupo de n  ×  n matrices unitarias (que satisfacen , donde denota la transpuesta conjugada de una matriz). Su álgebra de Lie consta de las matrices sesgadas-hermitianas en ( ). Esto es un álgebra de Lie terminada , no terminada . (De hecho, i multiplicado por una matriz sesgada-hermitiana es hermitiana, en lugar de sesgada-hermitiana). Asimismo, el grupo unitario es un subgrupo de Lie real del grupo de Lie complejo . Por ejemplo, es el grupo circular y su álgebra de Lie (desde este punto de vista) es . ${\displaystyle \mathrm {U} (n)}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle A^{*}=A^{-1}}$ ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {u}}(n)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle X^{*}=-X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathrm {U} (n)}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathrm {U} (1)}$ ${\displaystyle i\mathbb {R} \subset \mathbb {C} ={\mathfrak {gl}}(1,\mathbb {C} )}$
• El grupo unitario especial es el subgrupo de matrices con determinante 1 en . Su álgebra de Lie consta de matrices sesgadas-hermitianas con traza cero. ${\displaystyle \mathrm {SU} (n)}$ ${\displaystyle \mathrm {U} (n)}$ ${\displaystyle \mathrm {su} (n)}$
• El grupo simpléctico es el subgrupo de que conserva la forma bilineal alterna estándar en . Su álgebra de Lie es el álgebra de Lie simpléctica . ${\displaystyle \mathrm {Sp} (2n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (2n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(2n,\mathbb {R} )}$
• Las álgebras de Lie clásicas son las enumeradas anteriormente, junto con variantes sobre cualquier campo.

Dos dimensiones

Aquí se describen algunas álgebras de Lie de baja dimensión. Consulte la clasificación de álgebras de Lie reales de baja dimensión para obtener más ejemplos.

• Existe un álgebra de Lie nobeliana única de dimensión 2 sobre cualquier campo F , hasta el isomorfismo. ^[15] Aquí tiene una base para la cual el corchete viene dado por . (Esto determina completamente el corchete de Lie, porque los axiomas implican que y .) Sobre los números reales, puede verse como el álgebra de Lie del grupo de Lie de transformaciones afines de la recta real, . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle \left[X,Y\right]=Y}$ ${\displaystyle [X,X]=0}$ ${\displaystyle [Y,Y]=0}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G=\mathrm {Aff} (1,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle x\mapsto ax+b}$

El grupo afín G se puede identificar con el grupo de matrices.

${\displaystyle \left({\begin{array}{cc}a&b\\0&1\end{array}}\right)}$

bajo multiplicación de matrices, con , . Su álgebra de Lie es la subálgebra de Lie que consta de todas las matrices. ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle a\neq 0}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(2,\mathbb {R} )}$

${\displaystyle \left({\begin{array}{cc}c&d\\0&0\end{array}}\right).}$

En estos términos, la base anterior viene dada por las matrices ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle X=\left({\begin{array}{cc}1&0\\0&0\end{array}}\right),\qquad Y=\left({\begin{array}{cc}0&1\\0&0\end{array}}\right).}$

Para cualquier campo , el subespacio unidimensional es un ideal en el álgebra de Lie bidimensional , según la fórmula . Ambas álgebras de Lie y son abelianas (porque unidimensionales). En este sentido, se puede dividir en "piezas" abelianas, lo que significa que es solucionable (aunque no nilpotente), en la terminología siguiente. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F\cdot Y}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle [X,Y]=Y\in F\cdot Y}$ ${\displaystyle F\cdot Y}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}/(F\cdot Y)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Tres dimensiones

• El álgebra de Heisenberg sobre un campo F es el álgebra de Lie tridimensional con una base tal que ^[16] ${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{3}(F)}$ ${\displaystyle X,Y,Z}$

${\displaystyle [X,Y]=Z,\quad [X,Z]=0,\quad [Y,Z]=0}$.

Puede verse como el álgebra de Lie de matrices estrictamente triangulares superiores de 3 × 3 , con el soporte de Lie del conmutador y la base.

${\displaystyle X=\left({\begin{array}{ccc}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{array}}\right),\quad Y=\left({\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&0&1\\0&0&0\end{array}}\right),\quad Z=\left({\begin{array}{ccc}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\end{array}}\right)~.\quad }$

Sobre los números reales, está el álgebra de Lie del grupo de Heisenberg , es decir, el grupo de matrices ${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{3}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathrm {H} _{3}(\mathbb {R} )}$

${\displaystyle \left({\begin{array}{ccc}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\end{array}}\right)}$

bajo multiplicación de matrices.

Para cualquier campo F , el centro de es el ideal unidimensional y el cociente es abeliano, isomorfo a . En la terminología siguiente, se deduce que es nilpotente (aunque no abeliano). ${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{3}(F)}$ ${\displaystyle F\cdot Z}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{3}(F)/(F\cdot Z)}$ ${\displaystyle F^{2}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{3}(F)}$

• El álgebra de Lie del grupo de rotación SO (3) es el espacio de matrices simétricas sesgadas de 3 x 3 sobre . Una base está dada por las tres matrices ^[17] ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle F_{1}=\left({\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{array}}\right),\quad F_{2}=\left({\begin{array}{ccc}0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\end{array}}\right),\quad F_{3}=\left({\begin{array}{ccc}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{array}}\right)~.\quad }$

Las relaciones de conmutación entre estos generadores son

${\displaystyle [F_{1},F_{2}]=F_{3},}$

${\displaystyle [F_{2},F_{3}]=F_{1},}$

${\displaystyle [F_{3},F_{1}]=F_{2}.}$

El producto cruzado de los vectores en viene dado por la misma fórmula en términos de la base estándar; de modo que el álgebra de Lie es isomorfa a . Además, es equivalente a los operadores de componentes de momento angular de espín (física) para partículas de espín-1 en mecánica cuántica . ^[18] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$

El álgebra de Lie no se puede dividir en pedazos como lo hacen los ejemplos anteriores: es simple , lo que significa que no es abeliano y sus únicos ideales son 0 y todo de . ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$

• Otro álgebra de Lie simple de dimensión 3, en este caso sobre , es el espacio de matrices de 2 x 2 de traza cero. Una base está dada por las tres matrices. ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$

${\displaystyle H=\left({\begin{array}{cc}1&0\\0&-1\end{array}}\right),\ E=\left({\begin{array}{cc}0&1\\0&0\end{array}}\right),\ F=\left({\begin{array}{cc}0&0\\1&0\end{array}}\right).}$

La acción de sobre la esfera de Riemann . En particular, los corchetes de Lie de los campos vectoriales mostrados son: , , . ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$ ${\displaystyle [H,E]=2E}$ ${\displaystyle [H,F]=-2F}$ ${\displaystyle [E,F]=H}$

El corchete de Lie viene dado por:

${\displaystyle [H,E]=2E,}$

${\displaystyle [H,F]=-2F,}$

${\displaystyle [E,F]=H.}$

Usando estas fórmulas, se puede demostrar que el álgebra de Lie es simple y clasificar sus representaciones de dimensión finita (definidas a continuación). ^[19] En la terminología de la mecánica cuántica, se puede pensar en E y F como operadores de subida y bajada . De hecho, para cualquier representación de , las relaciones anteriores implican que E asigna el c -espacio propio de H (para un número complejo c ) al -eigenespacio, mientras que F asigna el c -eigenespacio al -eigenespacio. ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle (c+2)}$ ${\displaystyle (c-2)}$

El álgebra de Lie es isomorfa a la complejización de , es decir, el producto tensorial . Las fórmulas para el grupo de Lie son más fáciles de analizar en el caso de . Como resultado, es común analizar representaciones complejas del grupo relacionándolas con representaciones del álgebra de Lie . ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathrm {SO} (3)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$

Dimensiones infinitas

• El álgebra de Lie de campos vectoriales en una variedad suave de dimensión positiva es un álgebra de Lie de dimensión infinita sobre . ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• Las álgebras de Kac-Moody son una gran clase de álgebras de Lie de dimensión infinita, por ejemplo , con una estructura muy parecida a la de las álgebras de Lie simples de dimensión finita (como ). ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n,\mathbb {C} )}$
• El álgebra de Moyal es un álgebra de Lie de dimensión infinita que contiene todas las álgebras de Lie clásicas como subálgebras.
• El álgebra de Virasoro es importante en la teoría de cuerdas .
• El funtor que lleva un álgebra de Lie sobre un campo F al espacio vectorial subyacente tiene un adjunto izquierdo , llamado álgebra de Lie libre en un espacio vectorial V. Está abarcado por todos los corchetes de Lie iterados de elementos de V , módulo solo las relaciones que provienen de la definición de un álgebra de Lie. El álgebra de Lie libre es de dimensión infinita para V de dimensión al menos 2. ^[20] ${\displaystyle V\mapsto L(V)}$ ${\displaystyle L(V)}$

Representaciones

Definiciones

Dado un espacio vectorial V , denotemos el álgebra de Lie que consta de todos los mapas lineales de V a sí mismo, con corchetes dados por . Una representación de un álgebra de Lie en V es un homomorfismo de álgebra de Lie ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)}$ ${\displaystyle [X,Y]=XY-YX}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \pi \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V).}$

Es decir, envía cada elemento de a una aplicación lineal desde V hacia sí mismo, de tal forma que el corchete de Lie on corresponde al conmutador de aplicaciones lineales. ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Se dice que una representación es fiel si su núcleo es cero. El teorema de Ado establece que todo álgebra de Lie de dimensión finita sobre un campo de característica cero tiene una representación fiel en un espacio vectorial de dimensión finita. Kenkichi Iwasawa extendió este resultado a álgebras de Lie de dimensión finita sobre un campo de cualquier característica. ^[21] De manera equivalente, cada álgebra de Lie de dimensión finita sobre un campo F es isomorfa a una subálgebra de Lie de para algún entero positivo n . ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,F)}$

Representación adjunta

Para cualquier álgebra de Lie , la representación adjunta es la representación ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \operatorname {ad} \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})}$

dada por . (Esta es una representación de la identidad Jacobi). ${\displaystyle \operatorname {ad} (x)(y)=[x,y]}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Objetivos de la teoría de la representación.

Un aspecto importante del estudio de las álgebras de Lie (especialmente las álgebras de Lie semisimples, como se definen a continuación) es el estudio de sus representaciones. Aunque el teorema de Ado es un resultado importante, el objetivo principal de la teoría de la representación no es encontrar una representación fiel de un álgebra de Lie determinada . De hecho, en el caso semisimple, la representación adjunta ya es fiel. Más bien, el objetivo es comprender todas las representaciones posibles de . Para un álgebra de Lie semisimple sobre un campo de característica cero, el teorema de Weyl ^[22] dice que cada representación de dimensión finita es una suma directa de representaciones irreducibles (aquellas que no tienen subespacios invariantes no triviales). Las representaciones irreductibles de dimensión finita se entienden bien desde varios puntos de vista; consulte la teoría de la representación de álgebras de Lie semisimples y la fórmula del carácter de Weyl . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Álgebra envolvente universal

El funtor que toma un álgebra asociativa A sobre un campo F a A como un álgebra de Lie (by ) tiene un adjunto izquierdo , llamado álgebra envolvente universal . Para construir esto: dada un álgebra de Lie sobre F , sea ${\displaystyle [X,Y]:=XY-YX}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\mapsto U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle T({\mathfrak {g}})=F\oplus {\mathfrak {g}}\oplus ({\mathfrak {g}}\otimes {\mathfrak {g}})\oplus ({\mathfrak {g}}\otimes {\mathfrak {g}}\otimes {\mathfrak {g}})\oplus \cdots }$

Sea el álgebra tensorial , también llamada álgebra asociativa libre en el espacio vectorial . Aquí se denota el producto tensorial de F -espacios vectoriales. Sea I el ideal bilateral generado por los elementos para ; entonces el álgebra envolvente universal es el anillo cociente . Satisface el teorema de Poincaré-Birkhoff-Witt : si es una base para un espacio vectorial F , entonces una base para está dada por todos los productos ordenados con números naturales. En particular, el mapa es inyectivo . ^[23] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle T({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle XY-YX-[X,Y]}$ ${\displaystyle X,Y\in {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})=T({\mathfrak {g}})/I}$ ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle e_{1}^{i_{1}}\cdots e_{n}^{i_{n}}}$ ${\displaystyle i_{1},\ldots ,i_{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to U({\mathfrak {g}})}$

Las representaciones de son equivalentes a módulos sobre el álgebra envolvente universal. El hecho de que sea inyectivo implica que cada álgebra de Lie (posiblemente de dimensión infinita) tiene una representación fiel (de dimensión infinita), es decir, su representación en . Esto también muestra que cada álgebra de Lie está contenida en el álgebra de Lie asociada a algún álgebra asociativa. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$

Teoría de la representación en física.

La teoría de la representación de las álgebras de Lie juega un papel importante en varias partes de la física teórica. Allí se consideran operadores en el espacio de estados que satisfacen ciertas relaciones de conmutación naturales. Estas relaciones de conmutación normalmente provienen de una simetría del problema; específicamente, son las relaciones del álgebra de Lie del grupo de simetría relevante. Un ejemplo son los operadores de momento angular , cuyas relaciones de conmutación son las del álgebra de Lie del grupo de rotación . Normalmente, el espacio de estados está lejos de ser irreductible bajo los operadores pertinentes, pero se puede intentar descomponerlo en partes irreductibles. Al hacerlo, es necesario conocer las representaciones irreducibles del álgebra de Lie dada. En el estudio del átomo de hidrógeno , por ejemplo, los libros de texto de mecánica cuántica clasifican (más o menos explícitamente) las representaciones irreducibles de dimensión finita del álgebra de Lie . ^[18] ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ ${\displaystyle \mathrm {SO} (3)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$

Teoría y clasificación de estructuras.

Las álgebras de mentira se pueden clasificar hasta cierto punto. Este es un enfoque poderoso para la clasificación de grupos de Lie.

Abeliano, nilpotente y solucionable

De manera análoga a los grupos abelianos , nilpotentes y solubles , se pueden definir álgebras de Lie abelianas, nilpotentes y solubles.

El álgebra de una mentira es abeliana. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$si el corchete de Mentira desaparece; es decir, [ x , y ] = 0 para todos los xey en . En particular, el álgebra de Lie de un grupo de Lie abeliano (como el grupo de la suma o el grupo del toro ) es abeliano. Cada álgebra de Lie abeliana de dimensión finita sobre un campo es isomorfa para algunos , es decir, un espacio vectorial de n dimensiones con corchete de Lie cero. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F^{n}}$ ${\displaystyle n\geq 0}$

Una clase más general de álgebras de Lie se define por la desaparición de todos los conmutadores de una longitud determinada. Primero, la subálgebra del conmutador (o subálgebra derivada ) de un álgebra de Lie es , es decir, el subespacio lineal abarcado por todos los corchetes con . La subálgebra del conmutador es un ideal en , de hecho, el ideal más pequeño tal que el cociente del álgebra de Lie es abeliano. Es análogo al subgrupo de conmutadores de un grupo. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$ ${\displaystyle [x,y]}$ ${\displaystyle x,y\in {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Un álgebra de Lie es nilpotente si la serie central inferior ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}\supseteq [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]\supseteq [[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],{\mathfrak {g}}]\supseteq [[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],{\mathfrak {g}}],{\mathfrak {g}}]\supseteq \cdots }$

se vuelve cero después de un número finito de pasos. De manera equivalente, es nilpotente si hay una secuencia finita de ideales en , ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle 0={\mathfrak {a}}_{0}\subseteq {\mathfrak {a}}_{1}\subseteq \cdots \subseteq {\mathfrak {a}}_{r}={\mathfrak {g}},}$

tal que es central para cada j . Según el teorema de Engel , un álgebra de Lie sobre cualquier campo es nilpotente si y sólo si para cada u en el endomorfismo adjunto ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{j}/{\mathfrak {a}}_{j-1}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {a}}_{j-1}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \operatorname {ad} (u):{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}},\quad \operatorname {ad} (u)v=[u,v]}$

es nilpotente . ^[24]

De manera más general, se dice que un álgebra de Lie tiene solución si la serie derivada : ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}\supseteq [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]\supseteq [[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]]\supseteq [[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]],[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]]]\supseteq \cdots }$

se vuelve cero después de un número finito de pasos. De manera equivalente, tiene solución si existe una secuencia finita de subálgebras de Lie, ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle 0={\mathfrak {m}}_{0}\subseteq {\mathfrak {m}}_{1}\subseteq \cdots \subseteq {\mathfrak {m}}_{r}={\mathfrak {g}},}$

tal que sea un ideal con abeliano para cada j . ^[25] ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{j-1}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{j}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{j}/{\mathfrak {m}}_{j-1}}$

Cada álgebra de Lie de dimensión finita sobre un campo tiene un ideal máximo único que se puede resolver, llamado radical . ^[26] Según la correspondencia de Lie, los grupos de Lie nilpotentes (respectivamente, solubles) corresponden a álgebras de Lie nilpotentes (respectivamente, solubles) sobre . ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Por ejemplo, para un entero positivo n y un campo F de característica cero, el radical de es su centro, el subespacio unidimensional abarcado por la matriz identidad. Un ejemplo de álgebra de Lie con solución es el espacio de matrices triangulares superiores en ; esto no es nilpotente cuando . Un ejemplo de álgebra de Lie nilpotente es el espacio de matrices estrictamente triangulares superiores en ; esto no es abeliano cuando . ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,F)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}_{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n)}$ ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle {\mathfrak {u}}_{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n)}$ ${\displaystyle n\geq 3}$

Simple y semisimple

Un álgebra de Lie se llama simple si no es abeliano y los únicos ideales son 0 y . (En particular, un álgebra de Lie unidimensional, necesariamente abeliana, por definición no es simple, aunque sus únicos ideales sean 0 y .) Un álgebra de Lie de dimensión finita se llama semisimple si el único ideal resoluble es 0. En característica cero, un álgebra de Lie es semisimple si y sólo si es isomorfa a un producto de álgebras de Lie simples, . ^[27] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\cong {\mathfrak {g}}_{1}\times \cdots \times {\mathfrak {g}}_{r}}$

Por ejemplo, el álgebra de Lie es simple para todos y cada uno de los campos F de característica cero (o simplemente de característica que no divide n ). El álgebra de Lie es simple para todos . El álgebra de Lie es simple si o . ^[28] (Hay "isomorfismos excepcionales" y .) ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n,F)}$ ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(n)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle n=3}$ ${\displaystyle n\geq 5}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)\cong {\mathfrak {su}}(2)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(4)\cong {\mathfrak {su}}(2)\times {\mathfrak {su}}(2)}$

El concepto de semisimplicidad de las álgebras de Lie está estrechamente relacionado con la completa reducibilidad (semisimplicidad) de sus representaciones. Cuando el campo fundamental F tiene característica cero, cada representación de dimensión finita de un álgebra de Lie semisimple es semisimple (es decir, una suma directa de representaciones irreducibles). ^[22]

Un álgebra de Lie de dimensión finita sobre un campo de característica cero se llama reductiva si su representación adjunta es semisimple. Cada álgebra de Lie reductiva es isomorfa al producto de un álgebra de Lie abeliana y un álgebra de Lie semisimple. ^[29]

Por ejemplo, es reductivo para F de característica cero: para , es isomorfo al producto ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,F)}$ ${\displaystyle n\geq 2}$

${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,F)\cong F\times {\mathfrak {sl}}(n,F),}$

donde F denota el centro de , el subespacio unidimensional abarcado por la matriz identidad. Dado que el álgebra lineal especial de Lie es simple, contiene pocos ideales: solo 0, el centro F , y todos los de . ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,F)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n,F)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,F)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n,F)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,F)}$

El criterio de Cartan

El criterio de Cartan (por Élie Cartan ) da condiciones para que un álgebra de Lie de dimensión finita de característica cero sea solucionable o semisimple. Se expresa en términos de la forma Killing , la forma bilineal simétrica definida por ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle K(u,v)=\operatorname {tr} (\operatorname {ad} (u)\operatorname {ad} (v)),}$

donde tr denota la traza de un operador lineal. Es decir: un álgebra de Lie es semisimple si y sólo si la forma Killing no es degenerada . Un álgebra de Lie tiene solución si y sólo si ^[30] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle K({\mathfrak {g}},[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}])=0.}$

Clasificación

La descomposición de Levi afirma que cada álgebra de Lie de dimensión finita sobre un campo de característica cero es un producto semidirecto de su radical soluble y un álgebra de Lie semisimple. ^[31] Además, un álgebra de Lie semisimple en característica cero es un producto de álgebras de Lie simples, como se mencionó anteriormente. Esto centra la atención en el problema de clasificar las álgebras de Lie simples.

Las álgebras de Lie simples de dimensión finita sobre un campo algebraicamente cerrado F de característica cero fueron clasificadas por Killing y Cartan en las décadas de 1880 y 1890, utilizando sistemas de raíces . Es decir, cada álgebra de Lie simple es de tipo _An , _Bn , _Cn , _Dn , _E6 , _E7 , _E8 , _F4 o _G2 . ^[32] Aquí el álgebra de Lie simple de tipo _An es , _Bn es , _Cn es y _Dn es . Las otras cinco se conocen como álgebras de Lie excepcionales . ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n+1,F)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(2n+1,F)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(2n,F)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(2n,F)}$

La clasificación de álgebras de Lie simples de dimensión finita es más complicada, pero Cartan también la resolvió (ver grupo de Lie simple para una clasificación equivalente). Se puede analizar un álgebra de Lie considerando su complejización . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$

En los años previos a 2004, Richard Earl Block , Robert Lee Wilson, Alexander Premet y Helmut Strade clasificaron las álgebras de Lie simples de dimensión finita sobre un campo de características algebraicamente cerrado. (Ver álgebra de Lie restringida # Clasificación de álgebras de Lie simples ). Resulta que hay muchas más álgebras de Lie simples en característica positiva que en característica cero. ${\displaystyle p>3}$

Relación con los grupos de mentiras

El espacio tangente de una esfera a un punto . Si fuera el elemento identidad de un grupo de Lie, el espacio tangente sería un álgebra de Lie. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Aunque las álgebras de Lie pueden estudiarse por derecho propio, históricamente surgieron como un medio para estudiar grupos de Lie .

La relación entre los grupos de Lie y las álgebras de Lie se puede resumir de la siguiente manera. Cada grupo de Lie determina un álgebra de Lie (concretamente, el espacio tangente en la identidad). Por el contrario, para cada álgebra de Lie de dimensión finita , existe un grupo de Lie conectado con el álgebra de Lie . Éste es el tercer teorema de Lie ; consulte la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff . Este grupo de Lie no está determinado de forma única; sin embargo, dos grupos de Lie cualesquiera con la misma álgebra de Lie son localmente isomórficos y, más fuertemente, tienen la misma cobertura universal . Por ejemplo, el grupo ortogonal especial SO(3) y el grupo unitario especial SU(2) tienen álgebras de Lie isomórficas, pero SU(2) es una doble cobertura simplemente conexa de SO(3). ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Para grupos de Lie simplemente conectados , existe una correspondencia completa: tomar el álgebra de Lie da una equivalencia de categorías desde grupos de Lie simplemente conectados hasta álgebras de Lie de dimensión finita sobre . ^[33] ${\displaystyle \mathbb {R} }$

La correspondencia entre álgebras de Lie y grupos de Lie se utiliza de varias maneras, incluso en la clasificación de grupos de Lie y la teoría de representación de grupos de Lie. Para representaciones de dimensión finita, existe una equivalencia de categorías entre representaciones de un álgebra de Lie real y representaciones del correspondiente grupo de Lie simplemente conectado. Esto simplifica la teoría de la representación de grupos de Lie: a menudo es más fácil clasificar las representaciones de un álgebra de Lie utilizando álgebra lineal.

Cada grupo de Lie conectado es isomorfo a su módulo de cobertura universal, un subgrupo central discreto . ^[34] Por lo tanto, clasificar los grupos de Lie se convierte simplemente en una cuestión de contar los subgrupos discretos del centro , una vez que se conoce el álgebra de Lie. Por ejemplo, Cartan clasificó las álgebras de Lie semisimples reales, por lo que se comprende bien la clasificación de los grupos de Lie semisimples.

Para álgebras de Lie de dimensión infinita, la teoría de Lie funciona menos bien. El mapa exponencial no tiene por qué ser un homeomorfismo local (por ejemplo, en el grupo de difeomorfismos del círculo, hay difeomorfismos arbitrariamente cercanos a la identidad que no están en la imagen del mapa exponencial). Además, en términos de las nociones existentes de grupos de Lie de dimensión infinita, algunas álgebras de Lie de dimensión infinita no provienen de ningún grupo. ^[35]

La teoría de Lie tampoco funciona tan claramente para representaciones de dimensión infinita de un grupo de dimensión finita. Incluso para el grupo aditivo , normalmente no se puede diferenciar una representación de dimensión infinita para producir una representación de su álgebra de Lie en el mismo espacio, o viceversa. ^[36] La teoría de los módulos de Harish-Chandra es una relación más sutil entre representaciones de dimensión infinita para grupos y álgebras de Lie. ${\displaystyle G=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle G}$

Forma real y complejización.

Dada un álgebra de Lie compleja , se dice que un álgebra de Lie real es una forma real de si la complejización es isomorfa . Una forma real no tiene por qué ser única; por ejemplo, tiene dos formas reales hasta el isomorfismo, y . ^[37] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$

Dada un álgebra de Lie compleja semisimple , una forma dividida es una forma real que se divide; es decir, tiene una subálgebra de Cartan que actúa mediante una representación adjunta con valores propios reales. Existe una forma dividida y es única (hasta el isomorfismo). Una forma compacta es una forma real que es el álgebra de Lie de un grupo de Lie compacto. Existe una forma compacta y también es única hasta el isomorfismo. ^[37] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Álgebra de mentiras con estructuras adicionales.

Un álgebra de Lie puede estar equipado con estructuras adicionales que sean compatibles con el soporte de Lie. Por ejemplo, un álgebra de Lie graduada es un álgebra de Lie (o más generalmente una superálgebra de Lie ) con una calificación compatible. Un álgebra de Lie graduada diferencial también viene con un diferencial, lo que hace que el espacio vectorial subyacente sea un complejo de cadena .

Por ejemplo, los grupos de homotopía de un espacio topológico simplemente conexo forman un álgebra de Lie graduada, utilizando el producto de Whitehead . En una construcción relacionada, Daniel Quillen utilizó álgebras de Lie graduadas diferenciales sobre los números racionales para describir la teoría de la homotopía racional en términos algebraicos. ^[38] ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

anillo de mentira

La definición de un álgebra de Lie sobre un campo se extiende para definir un álgebra de Lie sobre cualquier anillo conmutativo R. Es decir, un álgebra de Lie sobre R es un módulo R con un mapa bilineal R alterno que satisface la identidad de Jacobi. Un álgebra de Lie sobre el anillo de números enteros a veces se denomina anillo de Lie . (Esto no está directamente relacionado con la noción de grupo de Lie). ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle [\ ,\ ]\colon {\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Los anillos de mentira se utilizan en el estudio de grupos p finitos (para un número primo p ) a través de la correspondencia de Lazard . ^[39] Los factores centrales inferiores de un grupo p finito son grupos p abelianos finitos . A la suma directa de los factores centrales inferiores se le da la estructura de un anillo de Lie definiendo el soporte como el conmutador de dos representantes de clase lateral; vea el ejemplo a continuación.

Los grupos de Lie p-ádicos están relacionados con las álgebras de Lie sobre el campo de números p-ádicos , así como sobre el anillo de enteros p-ádicos . ^[40] Parte de la construcción de Claude Chevalley de los grupos finitos de tipo Lie implica mostrar que un álgebra de Lie simple sobre los números complejos proviene de un álgebra de Lie sobre los números enteros, y luego (con más cuidado) un esquema de grupo sobre los números enteros. . ^[41] ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$

Ejemplos

• A continuación se muestra una construcción de anillos de Lie que surge del estudio de grupos abstractos. Para elementos de un grupo, defina el conmutador . Sea una filtración de un grupo , es decir, una cadena de subgrupos tal que está contenida en for all . (Para la correspondencia de Lazard, se considera que la filtración es la serie central inferior de G. ) Entonces ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle [x,y]=x^{-1}y^{-1}xy}$ ${\displaystyle G=G_{1}\supseteq G_{2}\supseteq G_{3}\supseteq \cdots \supseteq G_{n}\supseteq \cdots }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle [G_{i},G_{j}]}$ ${\displaystyle G_{i+j}}$ ${\displaystyle i,j}$

${\displaystyle L=\bigoplus _{i\geq 1}G_{i}/G_{i+1}}$

es un anillo de Lie, con la suma dada por la multiplicación del grupo (que es abeliano en cada grupo de cocientes ), y con un corchete de Lie dado por los conmutadores del grupo: ^[42] ${\displaystyle G_{i}/G_{i+1}}$ ${\displaystyle G_{i}/G_{i+1}\times G_{j}/G_{j+1}\to G_{i+j}/G_{i+j+1}}$

${\displaystyle [xG_{i+1},yG_{j+1}]:=[x,y]G_{i+j+1}.}$

Por ejemplo, el anillo de Lie asociado a la serie central inferior del grupo diédrico de orden 8 es el álgebra de Lie de Heisenberg de dimensión 3 sobre el campo . ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

Definición utilizando notación teórica de categorías

La definición de álgebra de Lie se puede reformular de manera más abstracta en el lenguaje de la teoría de categorías . Es decir, se puede definir un álgebra de Lie en términos de aplicaciones lineales (es decir, morfismos en la categoría de espacios vectoriales ) sin considerar elementos individuales. (En esta sección, se supone que el campo sobre el cual se define el álgebra tiene una característica diferente de 2.)

Para la definición teórica de categorías de las álgebras de Lie, se necesitan dos isomorfismos trenzados . Si A es un espacio vectorial, el isomorfismo de intercambio se define por ${\displaystyle \tau :A\otimes A\to A\otimes A}$

${\displaystyle \tau (x\otimes y)=y\otimes x.}$

El trenzado de permutación cíclica se define como ${\displaystyle \sigma :A\otimes A\otimes A\to A\otimes A\otimes A}$

${\displaystyle \sigma =(\mathrm {id} \otimes \tau )\circ (\tau \otimes \mathrm {id} ),}$

¿Dónde está el morfismo de identidad? De manera equivalente, se define por ${\displaystyle \mathrm {id} }$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle \sigma (x\otimes y\otimes z)=y\otimes z\otimes x.}$

Con esta notación, se puede definir un álgebra de Lie como un objeto en la categoría de espacios vectoriales junto con un morfismo. ${\displaystyle A}$

${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]\colon A\otimes A\rightarrow A}$

que satisface las dos igualdades de morfismo

${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]\circ (\mathrm {id} +\tau )=0,}$

y

${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]\circ ([\cdot ,\cdot ]\otimes \mathrm {id} )\circ (\mathrm {id} +\sigma +\sigma ^{2})=0.}$

Ver también

• Álgebra de mentira afín
• Automorfismo de un álgebra de Lie
• Cohomología de Gelfand-Fuks
• Índice de álgebra de mentira
• Cohomología del álgebra de mentiras
• Extensión de álgebra de mentiras
• Representación del álgebra de mentiras
• mentira bialgebra
• mentira coalgebra
• mentira operada
• Física de partículas y teoría de la representación.
• mentira superalgebra
• Álgebra de Lie simétrica ortogonal
• álgebra de Poisson
• Álgebra previa a la mentira
• Grupos cuánticos
• Álgebra de Moyal
• Álgebra de mentira cuasi-Frobenius
• Álgebra de cuasi-mentira
• Álgebra de mentira restringida
• relaciones serre

Observaciones

1. De manera más general, uno tiene la noción de un álgebra de Lie sobre cualquier anillo conmutativo R : un módulo R con un mapa bilineal R alterno que satisface la identidad de Jacobi (Bourbaki (1989, sección 2)).

Referencias

1. O'Connor y Robertson 2000.
2. O'Connor y Robertson 2005.
3. Humphreys 1978, pag. 1.
4. Bourbaki 1989, §1.2. Ejemplo 1.
5. Bourbaki 1989, §1.2. Ejemplo 2.
6. Por la anticonmutatividad del conmutador, coinciden las nociones de ideal de izquierda y derecha en un álgebra de Lie.
7. Jacobson 1979, pag. 28.
8. Bourbaki 1989, sección I.1.1.
9. Humphreys 1978, pag. 4.
10. Varadarajan 1984, pág. 49.
11. Serre 2006, Parte I, sección VI.3.
12. Fulton y Harris 1991, Proposición D.40.
13. Varadarajan 1984, sección 2.10, Observación 2.
14. Salón 2015, §3.4.
15. Erdmann y Wildon 2006, Teorema 3.1.
16. Erdmann y Wildon 2006, sección 3.2.1.
17. Salón 2015, Ejemplo 3.27.
18. Wigner 1959, capítulos 17 y 20.
19. Erdmann y Wildon 2006, Capítulo 8.
20. Serre 2006, Parte I, Capítulo IV.
21. Jacobson 1979, cap. VI.
22. Hall 2015, Teorema 10.9.
23. Humphreys 1978, sección 17.3.
24. Jacobson 1979, sección II.3.
25. Jacobson 1979, sección I.7.
26. Jacobson 1979, pag. 24.
27. Jacobson 1979, cap. III, § 5.
28. Erdmann y Wildon 2006, Teorema 12.1.
29. Varadarajan 1984, Teorema 3.16.3.
30. Varadarajan 1984, sección 3.9.
31. Jacobson 1979, cap. III, § 9.
32. Jacobson 1979, sección IV.6.
33. Varadarajan 1984, Teoremas 2.7.5 y 3.15.1.
34. Varadarajan 1984, sección 2.6.
35. Milnor 2010, Advertencias 1.6 y 8.5.
36. Knapp 2001, sección III.3, Problema III.5.
37. Fulton y Harris 1991, §26.1.
38. Quillen 1969, Corolario II.6.2.
39. Khukhro 1998, cap. 6.
40. Serre 2006, Parte II, sección V.1.
41. Humphreys 1978, sección 25.
42. Serre 2006, Parte I, Capítulo II.

Fuentes

• Bourbaki, Nicolás (1989). Grupos de mentiras y álgebras de mentiras: capítulos 1-3. Saltador. ISBN 978-3-540-64242-8. SEÑOR  1728312.
• Erdmann, Karin ; Wildon, Mark (2006). Introducción a las álgebras de mentira . Saltador. ISBN 1-84628-040-0. SEÑOR  2218355.
• Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Teoría de la representación. Un primer curso . Textos de Posgrado en Matemáticas , Lecturas en Matemáticas. vol. 129. Nueva York: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. SEÑOR  1153249. OCLC  246650103.
• Salón, Brian C. (2015). Grupos de mentiras, álgebras de mentiras y representaciones: una introducción elemental . Textos de Posgrado en Matemáticas. vol. 222 (2ª ed.). Saltador. doi :10.1007/978-3-319-13467-3. ISBN 978-3319134666. ISSN  0072-5285. SEÑOR  3331229.
• Humphreys, James E. (1978). Introducción a las álgebras de mentira y la teoría de la representación . Textos de Posgrado en Matemáticas. vol. 9 (2ª ed.). Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90053-7. SEÑOR  0499562.
• Jacobson, Nathan (1979) [1962]. Álgebras de mentira . Dover. ISBN 978-0-486-63832-4. SEÑOR  0559927.
• Khukhro, EI (1998), p-Automorfismos de grupos p finitos , Cambridge University Press , doi :10.1017/CBO9780511526008, ISBN 0-521-59717-X, señor  1615819
• Knapp, Anthony W. (2001) [1986], Teoría de la representación de grupos semisimples: una descripción general basada en ejemplos , Princeton University Press , ISBN 0-691-09089-0, señor  1880691
• Milnor, John (2010) [1986], "Observaciones sobre grupos de mentiras de dimensiones infinitas", artículos recopilados de John Milnor , vol. 5, págs. 91-141, ISBN 978-0-8218-4876-0, SEÑOR  0830252
• O'Connor, JJ ; Robertson, EF (2000). "La mentira de Marius Sophus". Archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas.
• O'Connor, JJ ; Robertson, EF (2005). "Asesinato de Wilhelm Karl Joseph". Archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas.
• Quillen, Daniel (1969), "Teoría de la homotopía racional", Annals of Mathematics , 90 (2): 205–295, doi :10.2307/1970725, JSTOR  1970725, MR  0258031
• Serre, Jean-Pierre (2006). Álgebras de mentira y grupos de mentira (2ª ed.). Saltador. ISBN 978-3-540-55008-2. SEÑOR  2179691.
• Varadarajan, Veeravalli S. (1984) [1974]. Grupos de mentiras, álgebras de mentiras y sus representaciones . Saltador. ISBN 978-0-387-90969-1. SEÑOR  0746308.
• Wigner, Eugenio (1959). Teoría de grupos y su aplicación a la mecánica cuántica de los espectros atómicos . Traducido por JJ Griffin. Prensa académica . ISBN 978-0127505503. SEÑOR  0106711.

enlaces externos

• Kac, Víctor G .; et al. Apuntes del curso para MIT 18.745: Introducción a las álgebras de mentira. Archivado desde el original el 20 de abril de 2010.
• "Álgebra de mentiras", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• McKenzie, Douglas (2015). "Una introducción elemental a las álgebras de mentira para físicos".