En matemáticas , un grupo prop (para algún número primo p ) es un grupo profinito tal que para cualquier subgrupo normal abierto el grupo cociente es un grupo p . Tenga en cuenta que, como los grupos profinitos son compactos , los subgrupos abiertos son exactamente los subgrupos cerrados de índice finito , de modo que el grupo cociente discreto siempre es finito.
Alternativamente, se puede definir un grupo prop como el límite inverso de un sistema inverso de grupos p finitos discretos .
La clase de grupos prop -p mejor entendida (e históricamente más importante) son los grupos analíticos p -ádicos : grupos con la estructura de una variedad analítica tal que la multiplicación y la inversión de grupos son funciones analíticas. El trabajo de Lubotzky y Mann, combinado con la solución de Michel Lazard al quinto problema de Hilbert sobre los números p -ádicos, muestra que un grupo prop- p es p -ádico analítico si y sólo si tiene rango finito , es decir, existe un entero positivo tal que cualquier subgrupo cerrado tiene un conjunto generador topológico con no más que elementos. De manera más general, se demostró que un grupo profinito generado finitamente es un grupo de Lie p-ádico compacto si y sólo si tiene un subgrupo abierto que sea un grupo pro-p uniformemente poderoso.
Los teoremas de coclase fueron demostrados en 1994 por A. Shalev e independientemente por CR Leedham-Green. El teorema D es uno de estos teoremas y afirma que, para cualquier número primo p y cualquier entero positivo r , sólo existen un número finito de grupos prop de coclase r . Este resultado de finitud es fundamental para la clasificación de p -grupos finitos mediante gráficos de coclase dirigidos .
