Espacio vectorial simpléctico

En matemáticas , un espacio vectorial simpléctico es un espacio vectorial V sobre un campo F (por ejemplo los números reales R ) equipado con una forma bilineal simpléctica .

Una forma bilineal simpléctica es una aplicación ω  : V × V → F es decir

bilineal

Lineal en cada argumento por separado;

Alterno

ω ( v , v ) = 0 es válido para todo v ∈ V ; y

No degenerado

ω ( u , v ) = 0 para todo v ∈ V implica que u = 0 .

Si el campo subyacente tiene una característica distinta de 2, la alternancia es equivalente a simetría sesgada . Si la característica es 2, la simetría sesgada está implícita en alternancia, pero no implica. En este caso toda forma simpléctica es una forma simétrica , pero no al revés.

Trabajando sobre una base fija , ω se puede representar mediante una matriz . Las condiciones anteriores son equivalentes a que esta matriz sea asimétrica , no singular y hueca (todas las entradas diagonales son cero). Esto no debe confundirse con una matriz simpléctica , que representa una transformación simpléctica del espacio. Si V es de dimensión finita , entonces su dimensión debe ser necesariamente par, ya que toda matriz hueca, simétrica y sesgada, de tamaño impar tiene determinante cero. Observe que la condición de que la matriz sea hueca no es redundante si la característica del campo es 2. Una forma simpléctica se comporta de manera muy diferente a una forma simétrica, por ejemplo, el producto escalar en espacios vectoriales euclidianos.

Espacio simplético estándar

El espacio simpléctico estándar es R ^{2 n} con la forma simpléctica dada por una matriz no singular y simétrica sesgada . Normalmente se elige ω como matriz de bloques.

${\displaystyle \omega ={\begin{bmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\end{bmatrix}}}$

donde In _es la matriz identidad n × n . En términos de vectores base ( x ₁ , ..., x _n , y ₁ , ..., y _n ) :

${\displaystyle {\begin{aligned}\omega (x_{i},y_{j})=-\omega (y_{j},x_{i})&=\delta _{ij},\\\omega (x_{i},x_{j})=\omega (y_{i},y_{j})&=0.\end{aligned}}}$

Una versión modificada del proceso de Gram-Schmidt muestra que cualquier espacio vectorial simpléctico de dimensión finita tiene una base tal que ω toma esta forma, a menudo llamada base de Darboux o base simpléctica .

Bosquejo del proceso:

Comience con una base arbitraria y represente el dual de cada vector de base mediante la base dual :. Esto nos da una matriz con entradas . Resuelva para su espacio nulo. Ahora, para cualquiera en el espacio nulo, tenemos , por lo que el espacio nulo nos da el subespacio degenerado . ${\displaystyle v_{1},...,v_{n}}$ ${\displaystyle \omega (v_{i},\cdot )=\sum _{j}\omega (v_{i},v_{j})v_{j}^{*}}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \omega (v_{i},v_{j})}$ ${\displaystyle (\lambda _{1},...,\lambda _{n})}$ ${\displaystyle \sum _{i}\omega (v_{i},\cdot )=0}$ ${\displaystyle V_{0}}$

Ahora elija arbitrariamente un complementario tal que , y sea una base de . Desde y , WLOG . Ahora escale para que . Luego defina para cada uno de . Iterar. ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V=V_{0}\oplus W}$ ${\displaystyle w_{1},...,w_{m}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \omega (w_{1},\cdot )\neq 0}$ ${\displaystyle \omega (w_{1},w_{1})=0}$ ${\displaystyle \omega (w_{1},w_{2})\neq 0}$ ${\displaystyle w_{2}}$ ${\displaystyle \omega (w_{1},w_{2})=1}$ ${\displaystyle w'=w-\omega (w,w_{2})w_{1}+\omega (w,w_{1})w_{2}}$ ${\displaystyle w=w_{3},w_{4},...,w_{m}}$

Observe que este método se aplica al espacio vectorial simpléctico sobre cualquier campo, no sólo el campo de números reales.

Caso de campo real o complejo:

Cuando el espacio está sobre el cuerpo de los números reales, entonces podemos modificar el proceso de Gram-Schmidt modificado de la siguiente manera: Empiece de la misma manera. Sea una base ortonormal (con respecto al producto interno habitual en ) de . Desde y , WLOG . Ahora multiplica por un signo, de modo que . Luego defina para cada uno de ellos , luego escale cada uno para que tenga la norma uno. Iterar. ${\displaystyle w_{1},...,w_{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \omega (w_{1},\cdot )\neq 0}$ ${\displaystyle \omega (w_{1},w_{1})=0}$ ${\displaystyle \omega (w_{1},w_{2})\neq 0}$ ${\displaystyle w_{2}}$ ${\displaystyle \omega (w_{1},w_{2})\geq 0}$ ${\displaystyle w'=w-\omega (w,w_{2})w_{1}+\omega (w,w_{1})w_{2}}$ ${\displaystyle w=w_{3},w_{4},...,w_{m}}$ ${\displaystyle w'}$

De manera similar, para el cuerpo de números complejos, podemos elegir una base unitaria. Esto prueba la teoría espectral de las matrices antisimétricas .

forma lagrangiana

Hay otra forma de interpretar esta forma simpléctica estándar. Dado que el espacio modelo R ^{2 n} usado anteriormente tiene mucha estructura canónica que fácilmente podría llevar a interpretaciones erróneas, usaremos espacios vectoriales "anónimos" en su lugar. Sea V un espacio vectorial real de dimensión n y V ^∗ su espacio dual . Consideremos ahora la suma directa W = V ⊕ V ^∗ de estos espacios dotados de la siguiente forma:

${\displaystyle \omega (x\oplus \eta ,y\oplus \xi )=\xi (x)-\eta (y).}$

Ahora elija cualquier base ( v ₁ , ..., v _n ) de V y considere su base dual

${\displaystyle \left(v_{1}^{*},\ldots ,v_{n}^{*}\right).}$

Podemos interpretar que los vectores base se encuentran en W si escribimos x _i = ( v _i , 0) y y _i = (0, v _i ^∗ ) . En conjunto, estos forman una base completa de W ,

${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{n}).}$

Se puede demostrar que la forma ω definida aquí tiene las mismas propiedades que al principio de esta sección. Por otro lado, toda estructura simpléctica es isomorfa a una de la forma V ⊕ V ^∗ . El subespacio V no es único y la elección del subespacio V se denomina polarización . Los subespacios que dan tal isomorfismo se denominan subespacios lagrangianos o simplemente lagrangianos .

Explícitamente, dado un subespacio lagrangiano como se define a continuación, entonces la elección de la base ( x ₁ , ..., x _n ) define una base dual para un complemento, por ω ( x _i , y _j ) = δ _ij .

Analogía con estructuras complejas

Así como toda estructura simpléctica es isomorfa a una de la forma V ⊕ V ^∗ , toda estructura compleja en un espacio vectorial es isomorfa a una de la forma V ⊕ V . Usando estas estructuras, el paquete tangente de una variedad n , considerada como una variedad 2 n , tiene una estructura casi compleja , y el paquete cotangente de una variedad n , considerada como una variedad 2 n , tiene una estructura simpléctica. : T _∗ ( T ^∗ M ) _p = T _p ( M ) ⊕ ( T _p ( M )) ^∗ .

El análogo complejo de un subespacio lagrangiano es un subespacio real , un subespacio cuya complejización es el espacio completo: W = V ⊕ J V. Como se puede ver en la forma simpléctica estándar anterior, cada forma simpléctica en R ^{2 n} es isomorfa a la parte imaginaria del producto interno complejo estándar (hermitiano) en C ⁿ (siendo antilineal la convención del primer argumento).

forma de volumen

Sea ω una forma bilineal alterna en un espacio vectorial real de n dimensiones V , ω ∈ Λ ² ( V ) . Entonces ω es no degenerado si y sólo si n es par y ω ^{n /2} = ω ∧... ∧ ω es una forma de volumen . Una forma de volumen en un espacio vectorial de n dimensiones V es un múltiplo distinto de cero de la forma de n e ₁ ^∗ ∧ ... ∧ e _n ^∗ donde e ₁ , e ₂ , ..., e _n es una base de V.​

Para la base estándar definida en el apartado anterior, tenemos

${\displaystyle \omega ^{n}=(-1)^{\frac {n}{2}}x_{1}^{*}\wedge \dotsb \wedge x_{n}^{*}\wedge y_{1}^{*}\wedge \dotsb \wedge y_{n}^{*}.}$

Al reordenar, se puede escribir

${\displaystyle \omega ^{n}=x_{1}^{*}\wedge y_{1}^{*}\wedge \dotsb \wedge x_{n}^{*}\wedge y_{n}^{*}.}$

Los autores definen de diversas formas ω ⁿ o (−1) ^{n /2} ω ⁿ como la forma de volumen estándar . Un factor ocasional de n ! También puede aparecer, dependiendo de si la definición del producto alterno contiene un factor de n ! O no. La forma del volumen define una orientación en el espacio vectorial simpléctico ( V , ω ) .

mapa simpléctico

Supongamos que ( V , ω ) y ( W , ρ ) son espacios vectoriales simplécticos. Entonces un mapa lineal f  : V → W se llama mapa simpléctico si el retroceso preserva la forma simpléctica, es decir, f ^∗ ρ = ω , donde la forma de retroceso se define por ( f ^∗ ρ )( u , v ) = ρ ( f ( tu ), f ( v )) . Los mapas simplécticos preservan el volumen y la orientación.

grupo simpléctico

Si V = W , entonces un mapa simpléctico se llama transformación simpléctica lineal de V. En particular, en este caso se tiene que ω ( f ( u ), f ( v )) = ω ( u , v ) , por lo que la transformación lineal f conserva la forma simpléctica. El conjunto de todas las transformaciones simplécticas forma un grupo y, en particular, un grupo de Lie , llamado grupo simpléctico y denotado por Sp( V ) o, a veces, Sp( V , ω ) . En forma matricial, las transformaciones simplécticas vienen dadas por matrices simplécticas .

Subespacios

Sea W un subespacio lineal de V . Defina el complemento simpléctico de W como el subespacio

${\displaystyle W^{\perp }=\{v\in V\mid \omega (v,w)=0{\mbox{ for all }}w\in W\}.}$

El complemento simpléctico satisface:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(W^{\perp }\right)^{\perp }&=W\\\dim W+\dim W^{\perp }&=\dim V.\end{aligned}}}$

Sin embargo, a diferencia de los complementos ortogonales , W ^⊥ ∩ W no necesita ser 0. Distinguimos cuatro casos:

• W es simpléctico si W ^⊥ ∩ W = {0 }. Esto es cierto si y sólo si ω se restringe a una forma no degenerada en W. Un subespacio simpléctico con forma restringida es un espacio vectorial simpléctico por derecho propio.
• W es isotrópico si W ⊆ W ^⊥ . Esto es cierto si y sólo si ω se restringe a 0 en W. Cualquier subespacio unidimensional es isotrópico.
• W es coisotrópico si W ^⊥ ⊆ W . W es coisotrópico si y sólo si ω desciende a una forma no degenerada en el espacio cociente W / W ^⊥ . De manera equivalente, W es coisotrópico si y solo si W ^⊥ es isotrópico. Cualquier codimensión de un subespacio es coisotrópica.
• W es lagrangiano si W = W ^⊥ . Un subespacio es lagrangiano si y sólo si es isotrópico y coisotrópico. En un espacio vectorial de dimensión finita , un subespacio lagrangiano es isotrópico cuya dimensión es la mitad que la de V. Todo subespacio isotrópico puede ampliarse a uno lagrangiano.

Refiriéndose al espacio vectorial canónico R ^{2 n} anterior,

• el subespacio abarcado por { x ₁ , y ₁ } es simpléctico
• el subespacio abarcado por { x ₁ , x ₂ } es isotrópico
• el subespacio abarcado por { x ₁ , x ₂ , ..., x _n , y ₁ } es coisotrópico
• el subespacio abarcado por { x ₁ , x ₂ , ..., x _n } es lagrangiano.

grupo heisenberg

Un grupo de Heisenberg se puede definir para cualquier espacio vectorial simpléctico, y esta es la forma típica en que surgen los grupos de Heisenberg .

Un espacio vectorial puede considerarse como un grupo de Lie conmutativo (bajo suma), o de manera equivalente como un álgebra de Lie conmutativa , es decir, con un corchete de Lie trivial. El grupo de Heisenberg es una extensión central de dicho grupo/álgebra de Lie conmutativo: la forma simpléctica define la conmutación, de manera análoga a las relaciones de conmutación canónicas (CCR), y una base de Darboux corresponde a coordenadas canónicas  (en términos físicos, a operadores de momento y operadores de posición .

De hecho, según el teorema de Stone-von Neumann , toda representación que satisfaga el CCR (toda representación del grupo de Heisenberg) es de esta forma, o más propiamente conjugada unitariamente con la estándar.

Además, el álgebra de grupo de (el dual a) un espacio vectorial es el álgebra simétrica , y el álgebra de grupo del grupo de Heisenberg (del dual) es el álgebra de Weyl : se puede pensar que la extensión central corresponde a la cuantificación o deformación. .

Formalmente, el álgebra simétrica de un espacio vectorial V sobre un campo F es el álgebra de grupo del dual, Sym( V ) := F [ V ^∗ ] , y el álgebra de Weyl es el álgebra de grupo del grupo (dual) de Heisenberg W ( V ) = F [ H ( V ^∗ )] . Dado que pasar a álgebras de grupo es un funtor contravariante , el mapa de extensión central H ( V ) → V se convierte en una inclusión Sym( V ) → W ( V ) .

Ver también

• Una variedad simpléctica es una variedad suave con una forma simpléctica cerrada que varía suavemente en cada espacio tangente .
• índice de Maslov
• Una representación simpléctica es una representación grupal donde cada elemento del grupo actúa como una transformación simpléctica.

Referencias

• Claude Godbillon (1969) "Géométrie différentielle et mécanique analytique", Hermann
• Abraham, Ralph ; Marsden, Jerrold E. (1978). "Sistemas hamiltoniano y lagrangiano". Fundamentos de la Mecánica (2ª ed.). Londres: Benjamin-Cummings. págs. 161-252. ISBN 0-8053-0102-X.PDF
• Paulette Libermann y Charles-Michel Marle (1987) "Geometría simpléctica y mecánica analítica", D. Reidel
• Jean-Marie Souriau (1997) "Estructura de los sistemas dinámicos, una visión simpléctica de la física", Springer