En física teórica , una anomalía de calibre es un ejemplo de anomalía : es una característica de la mecánica cuántica (generalmente un diagrama de un bucle ) que invalida la simetría de calibre de una teoría cuántica de campos ; es decir, de una teoría de calibre . [1]
Todas las anomalías del calibre deben cancelarse. Las anomalías en las simetrías de calibre [2] conducen a una inconsistencia, ya que se requiere una simetría de calibre para cancelar grados de libertad con una norma negativa que no son físicos (como un fotón polarizado en la dirección del tiempo). De hecho, la cancelación se produce en el Modelo Estándar .
El término anomalía de calibre se utiliza generalmente para anomalías de calibre vectorial. Otro tipo de anomalía de calibre es la anomalía gravitacional , porque la reparametrización de coordenadas (llamada difeomorfismo ) es la simetría de calibre de la gravitación .
Las anomalías ocurren sólo en dimensiones espacio-temporales pares. Por ejemplo, las anomalías en las cuatro dimensiones habituales del espacio-tiempo surgen de los diagramas triangulares de Feynman.
En las anomalías de calibre vectoriales (en simetrías de calibre cuyo bosón de calibre es un vector), la anomalía es una anomalía quiral y se puede calcular exactamente en un nivel de bucle, mediante un diagrama de Feynman con un fermión quiral corriendo en el bucle con n bosones de calibre externos . adjunto al bucle donde está la dimensión del espacio-tiempo .
Veamos la acción (semi)efectiva que obtenemos después de integrar los fermiones quirales . Si hay una anomalía en el calibre, la acción resultante no será invariante en el calibre. Si denotamos por el operador correspondiente a una transformación de calibre infinitesimal por ε, entonces la condición de consistencia de Frobenius requiere que
para cualquier funcional , incluida la acción (semi)efectiva S donde [,] es el corchete de Lie . Como es lineal en ε, podemos escribir
donde Ω (d) es la forma d como funcional de los campos no integrados y es lineal en ε. Hagamos la suposición adicional (que resulta válida en todos los casos de interés) de que este funcional es local (es decir, Ω (d) (x) sólo depende de los valores de los campos y sus derivadas en x) y que se puede expresar como el producto exterior de p-formas. Si el espacio-tiempo M d es cerrado (es decir, sin límite) y orientado, entonces es el límite de alguna variedad orientada d+1 dimensión M d+1 . Si luego extendemos arbitrariamente los campos (incluido ε) como se define en M d a M d+1 con la única condición de que coincidan en los límites y la expresión Ω (d) , siendo el producto exterior de las formas p, puede ser extendido y definido en el interior, luego
La condición de consistencia de Frobenius ahora se convierte en
Como la ecuación anterior es válida para cualquier extensión arbitraria de los campos hacia el interior,
Debido a la condición de consistencia de Frobenius, esto significa que existe una forma d+1 Ω (d+1) (que no depende de ε) definida sobre M d+1 que satisface
Ω (d+1) a menudo se denomina forma de Chern-Simons .
Una vez más, si asumimos que Ω (d+1) puede expresarse como un producto exterior y que puede extenderse a una forma d+1 en una variedad orientada a dimensiones d+2, podemos definir
en d+2 dimensiones. Ω (d+2) es invariante de calibre:
como d y δ ε conmutan.
![{\displaystyle \left[\delta _ {\epsilon _ {1}},\delta _ {\epsilon _ {2}}\right]{\mathcal {F}}=\delta _ {\left[\epsilon _ {1},\epsilon _{2}\right]}{\mathcal {F}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f651884ae85c4c41d2a55b5650d59a0ad834619)
![{\displaystyle \left[\delta _{\epsilon _{1}},\delta _{\epsilon _{2}}\right]S=\int _{M^{d+1}}\left[\ delta _{\epsilon _{1}}d\Omega ^{(d)}(\epsilon _{2})-\delta _{\epsilon _{2}}d\Omega ^{(d)}(\ épsilon _{1})\right]=\int _{M^{d+1}}d\Omega ^{(d)}(\left[\epsilon _{1},\epsilon _{2}\right ]).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0969358eee2d98771fd14fa11c9c95da5b3220b)
![{\displaystyle \delta _{\epsilon _{1}}d\Omega ^{(d)}(\epsilon _{2})-\delta _{\epsilon _{2}}d\Omega ^{(d )}(\epsilon _{1})=d\Omega ^{(d)}(\left[\epsilon _{1},\epsilon _{2}\right]).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a6c2256a69a419c4408206ec60a79aeecc515c1)
