Condición de coincidencia de anomalía

Principio de la teoría cuántica de campos

En la teoría cuántica de campos , la condición de coincidencia de anomalías ^[1] de Gerard 't Hooft establece que el cálculo de cualquier anomalía quiral para la simetría del sabor no debe depender de la escala elegida para el cálculo si se realiza utilizando los grados de libertad de la teoría en alguna escala de energía. También se conoce como condición de 't Hooft y condición de coincidencia de anomalías UV-IR de 't Hooft . ^[a]

Anomalías de 't Hooft

Hay dos tipos de obstáculos estrechamente relacionados pero diferentes para la formulación de una teoría cuántica de campos , ambos llamados anomalías: anomalías quirales, o de Adler–Bell–Jackiw , y anomalías de 't Hooft .

Si decimos que la simetría de la teoría tiene una anomalía de 't Hooft' , significa que la simetría es exacta como una simetría global de la teoría cuántica, pero hay algún impedimento para usarla como un indicador en la teoría. ^[2]

Como ejemplo de una anomalía de 't Hooft, consideramos la cromodinámica cuántica con fermiones sin masa: Esta es la teoría de gauge con fermiones de Dirac sin masa . Esta teoría tiene la simetría global , que a menudo se denomina simetría de sabor, y esto tiene una anomalía de 't Hooft. ${\displaystyle N_{f}}$ ${\displaystyle SU(N_{c})}$ ${\displaystyle N_{f}}$ ${\displaystyle SU(N_{f})_{L}\times SU(N_{f})_{R}\times U(1)_{V}}$

Coincidencia de anomalías para simetría continua

La condición de coincidencia de anomalías de G. 't Hooft propone que una anomalía de 't Hooft de simetría continua se puede calcular tanto en los grados de libertad de alta energía como de baja energía (“UV” e “IR” ^[a] ) y dar la misma respuesta.

Ejemplo

Por ejemplo, considere la cromodinámica cuántica con N _f quarks sin masa . Esta teoría tiene la simetría de sabor ^[b] Esta simetría de sabor se vuelve anómala cuando se introduce el campo de calibración de fondo. Se pueden usar los grados de libertad en el límite de energía muy bajo (lejano “IR” ^[a] ) o los grados de libertad en el límite de energía muy alto (lejano “UV” ^[a] ) para calcular la anomalía. En el primer caso, solo se deben considerar fermiones sin masa o bosones de Nambu-Goldstone que pueden ser partículas compuestas, mientras que en el segundo caso solo se deben considerar los fermiones elementales de la teoría de corta distancia subyacente. En ambos casos, la respuesta debe ser la misma. De hecho, en el caso de QCD , se produce la ruptura de la simetría quiral y el término de Wess-Zumino-Witten para los bosones de Nambu-Goldstone reproduce la anomalía. ^[3] ${\displaystyle SU(N_{f})_{L}\times SU(N_{f})_{R}\times U(1)_{V}}$ ${\displaystyle SU(N_{f})_{L}\times SU(N_{f})_{R}\times U(1)_{V}}$

Prueba

Esta condición se prueba mediante el siguiente procedimiento: ^[1] podemos añadir a la teoría un campo de calibre que se acopla a la corriente relacionada con esta simetría, así como fermiones quirales que se acoplan sólo a este campo de calibre , y cancelar la anomalía (de modo que la simetría de calibre permanecerá no anómala , como es necesario para la consistencia).

En el límite en el que las constantes de acoplamiento que hemos añadido tienden a cero, se vuelve a la teoría original, más los fermiones que hemos añadido; estos últimos siguen teniendo buenos grados de libertad en todas las escalas de energía, ya que son fermiones libres en este límite. La anomalía de simetría de norma se puede calcular en cualquier escala de energía y siempre debe ser cero, de modo que la teoría sea consistente. Ahora se puede obtener la anomalía de la simetría en la teoría original restando los fermiones libres que hemos añadido, y el resultado es independiente de la escala de energía.

Prueba alternativa

Otra forma de demostrar la coincidencia de anomalías para simetrías continuas es utilizar el mecanismo de entrada de anomalías. ^[4] Para ser específicos, a continuación consideramos el espacio-tiempo de cuatro dimensiones.

Para simetrías globales continuas , introducimos el campo de calibración de fondo y calculamos la acción efectiva . Si hay una anomalía de 't Hooft para , la acción efectiva no es invariante bajo la transformación de calibración en el campo de calibración de fondo y no se puede restaurar agregando ningún término de contrapeso local de cuatro dimensiones de . La condición de consistencia de Wess-Zumino ^[5] muestra que podemos hacerla invariante de calibración agregando la acción de Chern-Simons de cinco dimensiones . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Gamma [A]}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Gamma [A]}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

Con la dimensión adicional, ahora podemos definir la acción efectiva utilizando la teoría efectiva de baja energía que solo contiene los grados de libertad sin masa al integrar los campos masivos. Dado que debe ser nuevamente invariante de calibre al agregar el mismo término de Chern-Simons de cinco dimensiones, la anomalía de 't Hooft no cambia al integrar los grados de libertad masivos. ${\displaystyle \Gamma [A]}$

Véase también

• Monopolo 't Hooft-Polyakov
• Bucle de 't Hooft
• Símbolo de 't Hooft

Notas

1. En el contexto de la teoría cuántica de campos, “UV” en realidad significa el límite de alta energía de una teoría, e “IR” significa el límite de baja energía, por analogía con las periferias superior e inferior de la luz visible, pero en realidad no significa ni luz ni esas energías particulares.
2. . La simetría axial U(1) se rompe por la anomalía quiral o instantones, por lo que no se incluye en el ejemplo.

Referencias

1. 't Hooft, G. (1980). "Naturalidad, simetría quiral y ruptura espontánea de la simetría quiral". En 't Hooft, G. (ed.). Desarrollos recientes en teorías de calibración . Plenum Press . ISBN 978-0-306-40479-5.
2. Kapustin, A.; Thorngren, R. (2014). "Simetrías discretas anómalas en tres dimensiones y cohomología de grupos". Physical Review Letters . 112 (23): 231602. arXiv : 1403.0617 . Bibcode :2014PhRvL.112w1602K. doi :10.1103/PhysRevLett.112.231602. PMID  24972194. S2CID  35171032.
3. Frishman, Y.; Scwimmer, A.; Banks, T.; Yankielowicz, S. (1981). "La anomalía axial y el espectro de estado ligado en teorías de confinamiento". Física nuclear B . 177 (1): 157–171. Código Bibliográfico :1981NuPhB.177..157F. doi :10.1016/0550-3213(81)90268-6.
4. Callan, Jr., CG; Harvey, JA (1985). "Anomalías y modos cero de fermiones en cuerdas y paredes de dominio". Física nuclear B . 250 (1–4): 427–436. Código Bibliográfico :1985NuPhB.250..427C. doi :10.1016/0550-3213(85)90489-4.
5. Wess, J.; Zumino, B. (1971). "Consecuencias de identidades anómalas en los barrios". Physics Letters B . 37 (1): 95. Bibcode :1971PhLB...37...95W. doi :10.1016/0370-2693(71)90582-X.