Clases de características secundarias de 3 colectores.
En matemáticas , las formas de Chern-Simons son ciertas clases de características secundarias . [1] La teoría lleva el nombre de Shiing-Shen Chern y James Harris Simons , coautores de un artículo de 1974 titulado "Formas características e invariantes geométricas", del cual surgió la teoría. [2]
Definición
Dada una variedad y un álgebra de Lie valorada en 1 forma , podemos definir una familia de p -formas : [3]
En una dimensión, la forma 1 de Chern-Simons está dada por
En tres dimensiones, la forma 3 de Chern-Simons viene dada por
En cinco dimensiones, la forma 5 de Chern-Simons viene dada por
donde la curvatura F se define como
La forma general de Chern-Simons se define de tal manera que
donde el producto de cuña se utiliza para definir F k . El lado derecho de esta ecuación es proporcional al k -ésimo carácter Chern de la conexión .
En general, la forma p de Chern-Simons se define para cualquier p impar . [4]
Aplicación a la física
En 1978, Albert Schwarz formuló la teoría de Chern-Simons , la primera teoría cuántica topológica de campos , utilizando formas de Chern-Simons. [5]
En la teoría de calibre , la integral de la forma de Chern-Simons es una invariante geométrica global y, por lo general, es una suma de módulo invariante de calibre de un número entero.
Ver también
Referencias
- ^ Liberado, Daniel (15 de enero de 2009). "Observaciones sobre la teoría de Chern-Simons" (PDF) . Consultado el 1 de abril de 2020 .
- ^ Chern, Shiing-Shen; Tian, G.; Li, Pedro (1996). Un matemático y su trabajo matemático: artículos seleccionados de SS Chern. Científico mundial. ISBN 978-981-02-2385-4.
- ^ "Formulario de Chern-Simons en nLab". ncatlab.org . Consultado el 1 de mayo de 2020 .
- ^ Moore, Greg (7 de junio de 2019). "Introducción a las teorías de Chern-Simons" (PDF) . Universidad de Texas . Consultado el 7 de junio de 2019 .
- ^ Schwartz, AS (1978). "La función de partición de invariantes de Ray-Singer y funcionales cuadráticas degeneradas". Letras en Física Matemática . 2 (3): 247–252. Código bibliográfico : 1978LMaPh...2..247S. doi :10.1007/BF00406412. S2CID 123231019.
Otras lecturas
![{\displaystyle \operatorname {Tr} [\mathbf {A} ].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/092c8e445b62d5b43e5f856352a1b4d4d00d6550)
![{\displaystyle \operatorname {Tr} \left[\mathbf {F} \wedge \mathbf {A} -{\frac {1}{3}}\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \right]=\operatorname {Tr} \left[d\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} +{\frac {2}{3}}\mathbf {A} \wedge \mathbf {A } \wedge \mathbf {A} \right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cea87fcbf697dafba00a19e0d9eeddbc49940cf)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {Tr} \left[\mathbf {F} \wedge \mathbf {F} \wedge \mathbf {A} -{\frac {1}{2}}\mathbf {F} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} +{\frac {1}{10}}\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \ mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \right]\\[6pt]={}&\operatorname {Tr} \left[d\mathbf {A} \wedge d\mathbf { A} \wedge \mathbf {A} +{\frac {3}{2}}d\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} +{\ frac {3}{5}}\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \right]\end{aligned}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8710899b798ec98637895e5c5a11df81674e471)
