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anillos borromeos

En matemáticas , los anillos borromeos [a] son ​​tres curvas cerradas simples en el espacio tridimensional que están topológicamente unidas y no pueden separarse entre sí, pero que se rompen en dos bucles no anudados y desvinculados cuando cualquiera de los tres se corta o remoto. Por lo general, estos anillos se dibujan como tres círculos en el plano, en el patrón de un diagrama de Venn , cruzándose alternativamente entre sí en los puntos donde se cruzan. Se dice que otras tripletas de curvas forman los anillos borromeos siempre que sean topológicamente equivalentes a las curvas representadas en este dibujo.

Los anillos borromeos llevan el nombre de la Casa italiana de Borromeo , que utilizó la forma circular de estos anillos como elemento de su escudo de armas , pero los diseños basados ​​en los anillos borromeos se han utilizado en muchas culturas, incluso por los nórdicos y en Japón. . Se han utilizado en el simbolismo cristiano como signo de la Trinidad y en el comercio moderno como logotipo de la cerveza Ballantine , dándoles el nombre alternativo de anillos Ballantine . Se han creado instancias físicas de los anillos borromeos a partir de ADN u otras moléculas enlazadas, y tienen análogos en el estado de Efimov y en los núcleos borromeos , los cuales tienen tres componentes unidos entre sí aunque no hay dos de ellos unidos.

Geométricamente, los anillos borromeos pueden realizarse mediante elipses enlazadas o (utilizando los vértices de un icosaedro regular ) mediante rectángulos áureos enlazados . Es imposible realizarlos usando círculos en el espacio tridimensional, pero se ha conjeturado que pueden realizarse mediante copias de cualquier curva cerrada simple no circular en el espacio. En la teoría de nudos , se puede demostrar que los anillos borromeos están unidos contando sus coloraciones Fox n . Como enlaces, son brunnianos , alternos , algebraicos e hiperbólicos . En topología aritmética , ciertas ternas de números primos tienen propiedades de enlace análogas a las de los anillos borromeos.

Definición y notación

Es común en las publicaciones de matemáticas que definen los anillos borromeos hacerlo como un diagrama de enlaces , un dibujo de curvas en el plano con cruces marcados para indicar qué curva o parte de una curva pasa por encima o por debajo en cada cruce. Un dibujo de este tipo se puede transformar en un sistema de curvas en un espacio tridimensional incrustando el plano en el espacio y deformando las curvas dibujadas en él por encima o por debajo del plano incrustado en cada cruce, como se indica en el diagrama. El diagrama comúnmente utilizado para los anillos borromeos consta de tres círculos iguales centrados en los puntos de un triángulo equilátero , lo suficientemente juntos como para que sus interiores tengan una intersección común (como en un diagrama de Venn o los tres círculos utilizados para definir el triángulo de Reuleaux). ). Sus cruces se alternan entre arriba y abajo cuando se consideran en orden consecutivo alrededor de cada círculo; [2] [3] [4] otra forma equivalente de describir la relación arriba-abajo entre los tres círculos es que cada círculo pasa sobre un segundo círculo en ambos cruces, y debajo del tercer círculo en ambos cruces. [5] Se dice que dos enlaces son equivalentes si hay una deformación continua del espacio (una isotopía ambiental ) que lleva uno al otro, y los anillos borromeos pueden referirse a cualquier enlace que sea equivalente en este sentido al diagrama estándar para este enlace. . [4]

En The Knot Atlas , los anillos borromeos se indican con el código "L6a4"; la notación significa que se trata de un enlace con seis cruces y un diagrama alterno, el cuarto de cinco enlaces alternos de 6 cruces identificados por Morwen Thistlethwaite en una lista de todos los enlaces principales con hasta 13 cruces. [6] En las tablas de nudos y eslabones del libro de Dale Rolfsen de 1976, Knots and Links , que amplía listados anteriores de la década de 1920 de Alexander y Briggs, a los anillos borromeos se les dio la notación de Alexander-Briggs "63
2", lo que significa que este es el segundo de tres enlaces de 3 componentes de 6 cruces que se enumeran. [6] [7] La ​​notación de Conway para los anillos borromeos, ".1", es una descripción abreviada del diagrama de enlace estándar para este enlace [8]

Historia y simbolismo

El nombre "anillos borromeos" proviene del uso de estos anillos, en forma de tres círculos unidos, en el escudo de armas de la aristocrática familia Borromeo en el norte de Italia . [9] [10] El vínculo en sí es mucho más antiguo y apareció en forma de valknut , tres triángulos equiláteros vinculados con lados paralelos, en piedras con imágenes nórdicas que datan del siglo VII. [11] El Santuario Ōmiwa en Japón también está decorado con un motivo de los anillos borromeos, en su forma circular convencional. [2] Un pilar de piedra en el templo Marundeeswarar del siglo VI en la India muestra tres triángulos equiláteros girados entre sí para formar un eneagrama regular ; Al igual que los anillos borromeos, estos tres triángulos están vinculados y no vinculados por pares, [12] pero este patrón de cruce describe un vínculo diferente al de los anillos borromeos. [13]

Una superficie de Seifert de los anillos borromeos.

Los anillos borromeos se han utilizado en diferentes contextos para indicar la fuerza en la unidad. [14] En particular, algunos han utilizado el diseño para simbolizar la Trinidad . [3] Un manuscrito francés del siglo XIII que representa los anillos borromeos etiquetados como unidad en la trinidad se perdió en un incendio en la década de 1940, pero fue reproducido en un libro de 1843 por Adolphe Napoléon Didron . Didron y otros han especulado que la descripción de la Trinidad como tres círculos iguales en el canto 33 del Paradiso de Dante se inspiró en imágenes similares, aunque Dante no detalla la disposición geométrica de estos círculos. [15] [16] El psicoanalista Jacques Lacan se inspiró en los anillos borromeos como modelo para su topología de la subjetividad humana, donde cada anillo representa un componente lacaniano fundamental de la realidad (lo "real", lo "imaginario" y lo " simbólico"). [17]

Los anillos se utilizaron como logotipo de la cerveza Ballantine y todavía se utilizan en la cerveza de la marca Ballantine, ahora distribuida por el propietario actual de la marca, Pabst Brewing Company . [18] [19] Por esta razón a veces se les ha llamado "anillos de Ballantine". [3] [18]

El primer trabajo de teoría de nudos que incluyó los anillos borromeos fue un catálogo de nudos y eslabones compilado en 1876 por Peter Tait . [3] En matemáticas recreativas , los anillos borromeos fueron popularizados por Martin Gardner , quien presentó superficies de Seifert para los anillos borromeos en su columna " Juegos matemáticos " de septiembre de 1961 en Scientific American . [19] En 2006, la Unión Matemática Internacional decidió en el 25º Congreso Internacional de Matemáticos en Madrid, España, utilizar un nuevo logotipo basado en los anillos borromeos. [2]

Anillos parciales y múltiples

En la Europa medieval y renacentista, una serie de signos visuales constan de tres elementos entrelazados de la misma manera que los anillos borromeos se muestran entrelazados (en su representación bidimensional convencional), pero con elementos individuales que no son bucles cerrados. Ejemplos de tales símbolos son los cuernos de piedra de Snoldelev [20] y las medias lunas de Diana de Poitiers . [3]

Algunos enlaces teóricos de nudos contienen múltiples configuraciones de anillos borromeos; Un eslabón de cinco bucles de este tipo se utiliza como símbolo en el discordianismo , basado en una descripción de los Principia Discordia . [21]

Propiedades matemáticas

Vinculación

Diagrama de enlace algebraico para los anillos borromeos. La línea media vertical punteada de color negro es una esfera de Conway que separa el diagrama en dos enredos .

En la teoría de nudos , los anillos borromeos son un ejemplo simple de vínculo bruniano , un vínculo que no se puede separar pero que se deshace en bucles separados sin anudar tan pronto como se elimina cualquiera de sus componentes. Hay infinitos enlaces de Brunn e infinitos enlaces de Brunn de tres curvas, de los cuales los anillos de Borromeo son los más simples. [13] [22]

Hay varias formas de ver que los anillos borromeos están vinculados. Una es usar Fox n -colorings , coloraciones de los arcos de un diagrama de enlace con los números enteros módulo n de modo que en cada cruce, los dos colores en el cruce inferior tengan el mismo promedio (módulo n ) que el color del arco de cruce superior, y para que se utilicen al menos dos colores. El número de coloraciones que cumplen estas condiciones es un nudo invariante , independiente del diagrama elegido para el enlace. Un enlace trivial con tres componentes tiene colorantes, que se obtienen a partir de su diagrama estándar eligiendo un color de forma independiente para cada componente y descartando los colorantes que solo utilizan un color. Por otro lado, para el diagrama estándar de los anillos borromeos, los mismos pares de arcos se encuentran en dos cruces inferiores, lo que obliga a los arcos que los cruzan a tener el mismo color entre sí, de lo que se deduce que los únicos colorantes que cumplen con los Las condiciones de cruce violan la condición de usar más de un color. Como el vínculo trivial tiene muchos colorantes válidos y los anillos borromeos no tienen ninguno, no pueden ser equivalentes. [4] [23]

Los anillos borromeos son un eslabón alterno , pues su diagrama de eslabones convencional tiene cruces que alternan entre pasar por encima y por debajo de cada curva, en orden a lo largo de la curva. También son un vínculo algebraico , un vínculo que las esferas de Conway pueden descomponer en 2 enredos . Son el enlace algebraico alterno más simple que no tiene un diagrama que sea simultáneamente algebraico y alterno. [24] De las conjeturas de Tait se desprende que el número de cruces de los anillos borromeos (el menor número de cruces en cualquiera de sus diagramas de enlaces) es 6, el número de cruces en su diagrama alterno. [4]

Forma de anillo

Los anillos borromeos normalmente se dibujan con sus anillos proyectándose en círculos en el plano del dibujo, pero los anillos borromeos circulares tridimensionales son un objeto imposible : no es posible formar los anillos borromeos a partir de círculos en un espacio tridimensional. [4] De manera más general, Michael H. Freedman y Richard Skora (1987) demostraron utilizando geometría hiperbólica de cuatro dimensiones que ningún vínculo bruniano puede ser exactamente circular. [25] Para tres anillos en su disposición borromea convencional, esto se puede ver considerando el diagrama de enlaces . Si se supone que dos de los círculos se tocan en sus dos puntos de cruce, entonces se encuentran en un plano o en una esfera. En cualquier caso, el tercer círculo debe pasar cuatro veces por este plano o esfera, sin quedar en él, lo cual es imposible. [26] Otro argumento a favor de la imposibilidad de realizaciones circulares, de Helge Tverberg , utiliza la geometría inversa para transformar tres círculos cualesquiera de modo que uno de ellos se convierta en una línea, lo que hace más fácil argumentar que los otros dos círculos no se unen con ella para formar los anillos borromeos. [27]

Sin embargo, los anillos borromeos se pueden realizar mediante elipses. [2] Se puede considerar que tienen una excentricidad arbitrariamente pequeña : no importa cuán cercana a ser circular pueda ser su forma, siempre que no sean perfectamente circulares, pueden formar vínculos borromeos si se colocan adecuadamente. Se puede encontrar una realización de los anillos borromeos mediante tres rectángulos áureos mutuamente perpendiculares dentro de un icosaedro regular conectando tres pares opuestos de sus aristas. [2] Cada tres polígonos no anudados en el espacio euclidiano pueden combinarse, después de una transformación de escala adecuada, para formar los anillos borromeos. Si los tres polígonos son planos, entonces no es necesario escalarlos. [28] En particular, debido a que los anillos borromeos se pueden realizar mediante tres triángulos, el número mínimo de lados posible para cada uno de sus bucles, el número de palo de los anillos borromeos es nueve. [29]

Problema no resuelto en matemáticas :

¿Hay tres curvas no anudadas, no todas círculos, que no pueden formar los anillos borromeos?

(más problemas sin resolver en matemáticas)

De manera más general, Matthew Cook ha conjeturado que tres curvas cerradas simples no anudadas en el espacio, no todos círculos, pueden combinarse sin escalar para formar los anillos borromeos. Después de que Jason Cantarella sugiriera un posible contraejemplo, Hugh Nelson Howards debilitó la conjetura para aplicarla a tres curvas planas cualesquiera que no sean todas círculos. Por otro lado, aunque existen infinitos eslabones brunianos con tres eslabones, los anillos borromeos son los únicos que pueden formarse a partir de tres curvas convexas. [28]

longitud de la cuerda

Logotipo de la Unión Matemática Internacional

En la teoría de nudos, la longitud de un nudo o eslabón es la longitud más corta de cuerda flexible (de radio uno) que puede realizarlo. Matemáticamente, tal realización puede describirse mediante una curva suave cuya vecindad tubular de radio uno evita las autointersecciones. La longitud mínima de cuerda de los anillos borromeos no ha sido probada, pero el valor más pequeño que se ha logrado se obtiene mediante tres copias de una curva plana de dos lóbulos. [2] [30] Aunque se parece a un candidato anterior para longitud mínima de cuerda, construido a partir de cuatro arcos circulares de radio dos, [31] está ligeramente modificado con respecto a esa forma y está compuesto por 42 piezas lisas definidas por integrales elípticas , lo que lo convierte en más corto en una fracción de porcentaje que la realización circular por partes. Es esta idea, conjeturada para minimizar la longitud de la cuerda, la que se utilizó para el logotipo de la Unión Matemática Internacional . Su longitud es , mientras que el límite inferior de longitud mejor probado es . [2] [30]

Para un análogo discreto de la longitud de la cuerda, la representación más corta que utiliza solo los bordes de la red entera , la longitud mínima para los anillos borromeos es exactamente . Ésta es la longitud de una representación que utiliza tres rectángulos enteros, inscritos en el icosaedro de Jessen de la misma manera que la representación mediante rectángulos áureos está inscrita en el icosaedro regular. [32]

Geometría hiperbólica

El complemento de los anillos borromeos, una variedad hiperbólica formada a partir de dos octaedros ideales, se ve repetidamente en esta vista. Los anillos están infinitamente lejos, en los vértices del octaedro.

Los anillos borromeos son un eslabón hiperbólico : el espacio que rodea a los anillos borromeos (su complemento de eslabón ) admite una métrica hiperbólica completa de volumen finito. Aunque ahora se consideran abundantes los enlaces hiperbólicos, los anillos borromeos fueron uno de los primeros ejemplos en los que se demostró que eran hiperbólicos, en la década de 1970, [33] [34] y este complemento de enlace fue un ejemplo central en el vídeo Not Knot , producido en 1991 por el Centro de Geometría . [35]

Las variedades hiperbólicas se pueden descomponer de forma canónica en uniones de poliedros hiperbólicos (la descomposición de Epstein-Penner) y para el complemento borromeo esta descomposición consta de dos octaedros regulares ideales . [34] [36] El volumen del complemento borromeo es donde está la función de Lobachevsky y es la constante de Catalana . [36] El complemento de los anillos borromeos es universal, en el sentido de que cada variedad 3 cerrada es una cubierta ramificada sobre este espacio. [37]

Teoría de los números

En topología aritmética , existe una analogía entre nudos y números primos en la que se consideran vínculos entre primos. El triplete de primos (13, 61, 937) está vinculado módulo 2 (el símbolo de Rédei es −1) pero está desvinculado por pares módulo 2 (los símbolos de Legendre son todos 1). Por lo tanto, estos primos han sido llamados "triple módulo borromeo propio 2" [38] o "primos borromeos mod 2". [39]

Realizaciones fisicas

El nudo del puño de un mono es esencialmente una representación tridimensional de los anillos borromeos, aunque en la mayoría de los casos tiene tres capas. [40] El escultor John Robinson ha realizado obras de arte con tres triángulos equiláteros hechos de chapa de metal , unidos para formar anillos borromeos y que se asemejan a una versión tridimensional del valknut. [13] [29] Un diseño común para un trípode de madera plegable consta de tres piezas talladas en una sola pieza de madera, y cada pieza consta de dos tramos de madera, las patas y los lados superiores del trípode, conectados por dos segmentos de madera que rodean un agujero central alargado en la pieza. Otra de las tres piezas pasa a través de cada uno de estos agujeros, uniendo las tres piezas en el patrón de anillos borromeos. Se ha descrito que los trípodes de esta forma provienen de artesanías indias o africanas. [41] [42]

En química, los anillos borromeos moleculares son las contrapartes moleculares de los anillos borromeos, que son arquitecturas moleculares entrelazadas mecánicamente . En 1997, el biólogo Chengde Mao y sus compañeros de trabajo de la Universidad de Nueva York lograron construir un conjunto de anillos a partir de ADN . [43] En 2003, el químico Fraser Stoddart y sus compañeros de trabajo de la UCLA utilizaron la química de coordinación para construir un conjunto de anillos en un solo paso a partir de 18 componentes. [44] Se han utilizado estructuras de anillos borromeos para describir grupos de metales nobles protegidos por una capa superficial de ligandos tiolato. [45] Giuseppe Resnati y sus compañeros de trabajo han sintetizado una biblioteca de redes borromeas mediante un autoensamblaje impulsado por enlaces halógenos . [46] Para acceder al anillo molecular borromeo que consta de tres ciclos desiguales, Jay S. Siegel y sus compañeros de trabajo propusieron una síntesis paso a paso. [47]

En física, un análogo mecánico-cuántico de los anillos borromeos se llama estado de halo o estado de Efimov y consta de tres partículas unidas que no están unidas por pares. La existencia de tales estados fue predicha por el físico Vitaly Efimov , en 1970, y confirmada por múltiples experimentos que comenzaron en 2006. [48] [49] Este fenómeno está estrechamente relacionado con un núcleo borromeo , un núcleo atómico estable que consta de tres grupos de partículas. eso sería inestable en parejas. [50] Otro análogo de los anillos borromeos en la teoría de la información cuántica implica el entrelazamiento de tres qubits en el estado Greenberger-Horne-Zeilinger . [14]

Notas

  1. ^ Pronunciado / b ɒ r oʊ ˈ m iː ə n / [1]

Referencias

  1. ^ Mackey & Mackay 1922 La pronunciación de 10.000 nombres propios
  2. ^ abcdefg Gunn, Charles; Sullivan, John M. (2008), "Los anillos borromeos: un vídeo sobre el nuevo logotipo de IMU", en Sarhangi, Reza; Séquin, Carlo H. (eds.), Bridges Leeuwarden: matemáticas, música, arte, arquitectura, cultura , Londres: Tarquin Publications, págs. 63–70, ISBN 978-0-9665201-9-4; vea el video en "Los anillos borromeos: un nuevo logotipo para IMU Archivado el 8 de marzo de 2021 en Wayback Machine " [con video], Unión Matemática Internacional
  3. ^ abcde Cromwell, Peter; Beltrami, Elisabetta; Rampichini, Marta (marzo de 1998), "Los anillos borromeos", El turista matemático, The Mathematical Intelligencer , 20 (1): 53–62, doi :10.1007/bf03024401, S2CID  189888135
  4. ^ abcde Aigner, Martín ; Ziegler, Günter M. (2018), "Capítulo 15: Los anillos borromeos no existen", Pruebas del LIBRO (6.a ed.), Springer, págs. 99-106, doi :10.1007/978-3-662- 57265-8_15, ISBN 978-3-662-57265-8
  5. ^ Chamberland, Marc; Herman, Eugene A. (2015), "Piedra, papel y tijera se encuentran con anillos borromeos", The Mathematical Intelligencer , 37 (2): 20–25, doi :10.1007/s00283-014-9499-4, MR  3356112, S2CID  558993
  6. ^ ab "Anillos borromeos", The Knot Atlas .
  7. ^ Rolfsen, Dale (1990), Nudos y vínculos, Serie de conferencias de matemáticas, vol. 7 (2ª ed.), Publish or Perish, Inc., Houston, TX, pág. 425, ISBN 0-914098-16-0, señor  1277811
  8. ^ Conway, JH (1970), "Una enumeración de nudos y enlaces, y algunas de sus propiedades algebraicas", Problemas computacionales en álgebra abstracta (Proc. Conf., Oxford, 1967) , Oxford: Pergamon, págs. Señor  0258014; consulte la descripción de la notación, págs. 332 y 333, y la segunda línea de la tabla, pág. 348.
  9. ^ Crum Brown, Alexander (diciembre de 1885), "Sobre un caso de superficies entrelazadas", Actas de la Royal Society of Edinburgh , 13 : 382–386
  10. ^ Schoeck, Richard J. (primavera de 1968), "Las matemáticas y los lenguajes de la crítica literaria", The Journal of Aesthetics and Art Criticism , 26 (3): 367–376, doi :10.2307/429121, JSTOR  429121
  11. ^ Bruns, Carson J.; Stoddart, J. Fraser (2011), "El enlace mecánico: una obra de arte", en Fabbrizzi, L. (ed.), Belleza en la química , Temas de la química actual, vol. 323, Springer, págs. 19–72, doi :10.1007/128_2011_296, PMID  22183145
  12. ^ Lakshminarayan, Arul (mayo de 2007), "Triángulos borromeos y nudos primarios en un templo antiguo", Resonance , 12 (5): 41–47, doi :10.1007/s12045-007-0049-7, S2CID  120259064
  13. ^ abc Jablan, Slavik V. (1999), "¿Son tan raros los vínculos borromeos?", Actas del segundo Simposio internacional de simetría Katachi U, parte 1 (Tsukuba, 1999), Forma , 14 (4): 269–277, SEÑOR  1770213
  14. ^ ab Aravind, PK (1997), "Enredo borromeo del estado GHZ" (PDF) , en Cohen, RS; Horne, M.; Stachel, J. (eds.), Potencialidad, entrelazamiento y pasión a distancia , Estudios de Boston en Filosofía de la Ciencia, Springer, págs. 53–59, doi :10.1007/978-94-017-2732-7_4 , señor  1739812
  15. ^ Didron, Adolphe Napoléon (1843), Iconographie Chrétienne (en francés), París: Imprimerie Royale, págs.
  16. ^ Saiber, Arielle; Mbirika, aBa (2013), "Los tres Giri de Paradiso 33" (PDF) , Estudios Dante (131): 237–272, JSTOR  43490498
  17. ^ Ragland-Sullivan, Ellie; Milovanovic, Dragan (2004), "Introducción: topológicamente hablando", Lacan: topológicamente hablando , Otra prensa, ISBN 978-1-892746-76-4
  18. ^ ab Glick, Ned (septiembre de 1999), "El símbolo de los tres anillos de la cerveza Ballantine", El turista matemático, The Mathematical Intelligencer , 21 (4): 15–16, doi :10.1007/bf03025332, S2CID  123311380
  19. ^ ab Gardner, Martin (septiembre de 1961), "Superficies con bordes unidos de la misma manera que los tres anillos de un diseño conocido", Juegos matemáticos , Scientific American, reimpreso como Gardner, Martin (1991), "Knots and Borromean Rings", The Unexpected Hanging and Other Mathematical Diversions , University of Chicago Press, págs.; véase también Gardner, Martin (septiembre de 1978), "The Toroids of Dr. Klonefake", Asimov's Science Fiction , vol. 2, núm. 5, pág. 29
  20. ^ Baird, Joseph L. (1970), "Unferth the þyle ", Medium Ævum , 39 (1): 1–12, doi :10.2307/43631234, JSTOR  43631234, la piedra también tiene representaciones de tres cuernos entrelazados
  21. ^ "Mandala", Principia Discordia (4ª ed.), marzo de 1970, pág. 43
  22. ^ Bai, Sheng; Wang, Weibiao (2020), "Nuevos criterios y construcciones de enlaces de Brunn", Journal of Knot Theory and Its Ramifications , 29 (13): 2043008, 27, arXiv : 2006.10290 , doi :10.1142/S0218216520430087, MR  4213076, S2CID  2197 92382
  23. ^ Nanyes, Ollie (octubre de 1993), "Una prueba elemental de que los anillos borromeos no se pueden dividir", American Mathematical Monthly , 100 (8): 786–789, doi :10.2307/2324788, JSTOR  2324788
  24. ^ Thistlethwaite, Morwen B. (1991), "Sobre la parte algebraica de un vínculo alterno", Pacific Journal of Mathematics , 151 (2): 317–333, doi : 10.2140/pjm.1991.151.317 , MR  1132393
  25. ^ Freedman, Michael H .; Skora, Richard (1987), "Acciones extrañas de grupos en esferas", Journal of Differential Geometry , 25 : 75–98, doi : 10.4310/jdg/1214440725; ver en particular el Lema 3.2, p. 89
  26. ^ Lindström, Bernt; Zetterström, Hans-Olov (1991), "Los círculos borromeos son imposibles", American Mathematical Monthly , 98 (4): 340–341, doi :10.2307/2323803, JSTOR  2323803. Sin embargo, tenga en cuenta que Gunn & Sullivan (2008) escriben que esta referencia "parece tratar incorrectamente sólo el caso de que la configuración tridimensional tenga una proyección homeomorfa" al dibujo convencional de tres círculos del enlace.
  27. ^ Tverberg, Helge (2010), "Sobre los anillos borromeos" (PDF) , The Mathematical Scientist , 35 (1): 57–60, MR  2668444
  28. ^ ab Howards, Hugh Nelson (2013), "Formar los anillos borromeos a partir de nudos poligonales arbitrarios", Journal of Knot Theory and Its Ramifications , 22 (14): 1350083, 15, arXiv : 1406.3370 , doi :10.1142/S0218216513500831, MR  3190121, S2CID  119674622
  29. ^ ab Burgiel, H.; Franzblau, DS; Gutschera, KR (1996), "El misterio de los triángulos enlazados", Mathematics Magazine , 69 (2): 94–102, doi :10.1080/0025570x.1996.11996399, JSTOR  2690662, MR  1394792
  30. ^ ab Cantarella, Jason; Fu, José HG; Kusner, Rob; Sullivan, John M .; Wrinkle, Nancy C. (2006), "Criticidad del problema del enlace de Gehring" (PDF) , Geometría y topología , 10 (4): 2055–2116, arXiv : math/0402212 , doi : 10.2140/gt.2006.10.2055 , Señor  2284052
  31. ^ Cantarella, Jason; Kusner, Robert B.; Sullivan, John M. (2002), "Sobre la longitud mínima de la cuerda para nudos y eslabones" (PDF) , Inventiones Mathematicae , 150 (2): 257–286, arXiv : math/0103224 , Bibcode : 2002InMat.150..257C, doi :10.1007/s00222-002-0234-y, SEÑOR  1933586, S2CID  730891
  32. ^ Uberti, R.; Janse van Rensburg, EJ; Orlandini, E.; Tesi, MC; Whittington, SG (1998), "Vínculos mínimos en la red cúbica", en Whittington, Stuart G.; Sumners, Witt De; Lodge, Timothy (eds.), Topología y geometría en la ciencia de los polímeros , Volúmenes IMA en Matemáticas y sus aplicaciones, vol. 103, Nueva York: Springer, págs. 89–100, doi :10.1007/978-1-4612-1712-1_9, SEÑOR  1655039; ver Tabla 2, pág. 97
  33. ^ Riley, Robert (1979), "Un camino elíptico desde representaciones parabólicas hasta estructuras hiperbólicas", en Fenn, Roger (ed.), Topología de variedades de baja dimensión: actas de la segunda conferencia de Sussex, 1977 , Lecture Notes in Mathematics, vol. 722, Springer, págs. 99-133, doi :10.1007/BFb0063194, ISBN 978-3-540-09506-4, señor  0547459
  34. ^ ab Ratcliffe, John G. (2006), "El complemento de los anillos borromeos", Fundamentos de las variedades hiperbólicas , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 149 (2ª ed.), Springer, págs. 459–461, ISBN 978-0-387-33197-3, señor  2249478
  35. ^ Abbott, Steve (julio de 1997), "Revisión de Not Knot y suplemento de Not Knot ", The Mathematical Gazette , 81 (491): 340–342, doi :10.2307/3619248, JSTOR  3619248, S2CID  64589738
  36. ^ ab William Thurston (marzo de 2002), "7. Cálculo del volumen", La geometría y topología de tres variedades, p. 165, archivado desde el original (PDF) el 27 de julio de 2020 , consultado el 17 de enero de 2012
  37. ^ Hilden, Hugh M.; Lozano, María Teresa ; Montesinos, José María (1983), "El enlace de Whitehead, los anillos borromeos y el nudo 9 46 son universales", Seminario Matemático de Barcelona , ​​34 (1): 19–28, MR  0747855
  38. ^ Vogel, Denis (2005), Masseyprodukte in der Galoiskohomologie von Zahlkörpern [ Productos Massey en la cohomología de campos numéricos de Galois ], Mathematisches Institut, Georg-August-Universität Göttingen: Seminarios de invierno 2004/2005, Göttingen: Universitätsdrucke Göttingen, págs. 93–98, doi :10.11588/heidok.00004418, SEÑOR  2206880
  39. ^ Morishita, Masanori (2010), "Analogías entre nudos y números primos, 3 variedades y anillos numéricos", Exposiciones Sugaku , 23 (1): 1–30, arXiv : 0904.3399 , MR  2605747
  40. ^ Ashley, Clifford Warren (1993) [1944], El libro de los nudos de Ashley, Doubleday, p. 354, ISBN 978-0-385-04025-9
  41. ^ Freeman, Jim (2015), "Recopilación de pistas de los extraordinarios objetos de Margot", Boletín de la Sociedad Histórica de Tewkesbury , 24
  42. ^ "Anillos borromeos africanos", Matemáticas y nudos , Centro para la popularización de las matemáticas, Universidad de Gales, 2002 , consultado el 12 de febrero de 2021
  43. ^ Mao, C.; Sol, W.; Seeman, NC (1997), "Ensamblaje de anillos borromeos a partir de ADN", Nature , 386 (6621): 137–138, Bibcode :1997Natur.386..137M, doi :10.1038/386137b0, PMID  9062186, S2CID  4321733
  44. ^ ab Chichak, Kelly S.; Cantrill, Stuart J.; Por favor, Anthony R.; Chiu, Sheng-Hsien; Cueva, Gareth WV; Atwood, Jerry L.; Stoddart, J. Fraser (28 de mayo de 2004), "Anillos borromeos moleculares" (PDF) , Science , 304 (5675): 1308–1312, Bibcode :2004Sci...304.1308C, doi :10.1126/science.1096914, PMID  15166376, S2CID  45191675
  45. ^ Natarajan, Ganapati; Mateo, Ammu; Negishi, Yuichi; Afilado, Robert L.; Pradeep, Thalappil (2 de diciembre de 2015), "Un marco unificado para comprender la estructura y las modificaciones de grupos de oro protegidos con monocapa atómicamente precisos", The Journal of Physical Chemistry C , 119 (49): 27768–27785, doi :10.1021/ acs.jpcc.5b08193, ISSN  1932-7447
  46. ^ Kumar, Vijith; Pilati, Tulio; Terraneo, Giancarlo; Meyer, Franck; Metrangolo, Pierangelo; Resnati, Giuseppe (2017), "Redes borromeas unidas por halógenos por diseño: invariancia de topología y ajuste métrico en una biblioteca de sistemas multicomponente", Ciencia química , 8 (3): 1801–1810, doi :10.1039/C6SC04478F, PMC 5477818 , PMID  28694953 
  47. ^ Veliks, Janis; Seifert, Helen M.; Frantz, Derik K.; Klosterman, Jeremy K.; Tseng, Jui-Chang; Tilo, Antonio; Siegel, Jay S. (2016), "Hacia el enlace borromeo molecular con tres anillos desiguales: complejos de anillo en anillo de rutenio (ii) de doble rosca", Fronteras de la química orgánica , 3 (6): 667–672, doi : 10.1039/c6qo00025h
  48. ^ Kraemer, T.; Marcos, M.; Waldburger, P.; Danzl, JG; Chin, C.; Engeser, B.; Lange, AD; Pilch, K.; Jaakkola, A.; Nägerl, H.-C.; Grimm, R. (2006), "Evidencia de los estados cuánticos de Efimov en un gas ultrafrío de átomos de cesio", Nature , 440 (7082): 315–318, arXiv : cond-mat/0512394 , Bibcode :2006Natur.440..315K , doi :10.1038/naturaleza04626, PMID  16541068, S2CID  4379828
  49. ^ Moskowitz, Clara (16 de diciembre de 2009), "Extraña teoría física probada después de casi 40 años", Live Science
  50. ^ Tanaka, K. (2010), "Observación de una sección transversal de reacción grande en el núcleo de la línea de goteo 22 C", ​​Physical Review Letters , 104 (6): 062701, Bibcode :2010PhRvL.104f2701T, doi :10.1103/PhysRevLett. 104.062701, PMID  20366816, S2CID  7951719

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