En matemáticas , más precisamente en topología y geometría diferencial , una variedad 3 hiperbólica es una variedad de dimensión 3 equipada con una métrica hiperbólica , es decir, una métrica de Riemann que tiene todas sus curvaturas seccionales iguales a −1. Generalmente se requiere que esta métrica también sea completa : en este caso la variedad se puede realizar como un cociente del espacio hiperbólico tridimensional mediante un grupo discreto de isometrías (un grupo kleiniano ).
Las 3 variedades hiperbólicas de volumen finito tienen una importancia particular en la topología tridimensional como se desprende de la conjetura de geometrización de Thurston demostrada por Perelman. El estudio de los grupos kleinianos también es un tema importante en la teoría de grupos geométricos .
La geometría hiperbólica es la más rica y la menos comprendida de las ocho geometrías en la dimensión 3 (por ejemplo, para todas las demás geometrías no es difícil dar una enumeración explícita de las variedades de volumen finito con esta geometría, aunque esta está lejos de ser la caso de variedades hiperbólicas ). Después de la prueba de la conjetura de geometrización, comprender las propiedades topológicas de las 3 variedades hiperbólicas es, por tanto, un objetivo importante de la topología tridimensional. Los recientes avances de Kahn-Markovic, Wise, Agol y otros han respondido a la mayoría de las preguntas abiertas desde hace mucho tiempo sobre el tema, pero todavía hay muchas menos importantes que no han sido resueltas. [1]
En la dimensión 2, casi todas las superficies cerradas son hiperbólicas (todas menos la esfera, el plano proyectivo, el toroide y la botella de Klein). En la dimensión 3 esto está lejos de ser cierto: hay muchas formas de construir infinitas variedades cerradas no hiperbólicas. Por otro lado, la afirmación heurística de que "una variedad 3 genérica tiende a ser hiperbólica" se verifica en muchos contextos. Por ejemplo, cualquier nudo que no sea un nudo satélite o un nudo toroidal es hiperbólico. [2] Además, casi todas las cirugías de Dehn en un nudo hiperbólico producen una variedad hiperbólica. Un resultado similar es cierto para los enlaces ( teorema de cirugía hiperbólica de Dehn de Thurston ), y dado que todas las 3 variedades se obtienen como cirugías en un enlace en las 3 esferas, esto le da un sentido más preciso a la afirmación informal. Otro sentido en el que "casi todas" las variedades son hiperbólicas en la dimensión 3 es el de los modelos aleatorios. Por ejemplo, las divisiones aleatorias de Heegaard de género al menos 2 son casi seguramente hiperbólicas (cuando la complejidad del mapa de pegado llega al infinito). [3]
La relevancia de la geometría hiperbólica de una variedad 3 para su topología también proviene del teorema de rigidez de Mostow , que establece que la estructura hiperbólica de una variedad 3 hiperbólica de volumen finito está determinada únicamente por su tipo de homotopía. En particular , se pueden utilizar invariantes geométricos como el volumen para definir nuevos invariantes topológicos.
En este caso, una herramienta importante para comprender la geometría de una variedad es la descomposición gruesa-delgada . Afirma que una variedad 3 hiperbólica de volumen finito se descompone en dos partes:
La descomposición gruesa-delgada es válida para todas las variedades 3 hiperbólicas, aunque en general la parte delgada no es como se describe anteriormente. Se dice que una variedad 3 hiperbólica es geométricamente finita si contiene una subvariedad convexa (su núcleo convexo ) sobre la cual se retrae, y cuya parte gruesa es compacta (tenga en cuenta que todas las variedades tienen un núcleo convexo, pero en general no es compacto). ). [4] El caso más simple es cuando la variedad no tiene "cúspides" (es decir, el grupo fundamental no contiene elementos parabólicos), en cuyo caso la variedad es geométricamente finita si y sólo si es el cociente de un subconjunto cerrado y convexo. del espacio hiperbólico por un grupo que actúa de manera cocompacta en este subconjunto.
Esta es la clase más grande de 3 variedades hiperbólicas para las cuales existe una teoría estructural satisfactoria. Se basa en dos teoremas:
La construcción más antigua de variedades hiperbólicas, que se remonta al menos a Poincaré, dice lo siguiente: comience con una colección finita de politopos finitos hiperbólicos tridimensionales . Supongamos que hay un par de lados entre las caras bidimensionales de estos poliedros (es decir, cada una de esas caras está emparejada con otra, distinta, de modo que son isométricas entre sí como polígonos hiperbólicos bidimensionales), y considere el espacio Se obtiene pegando las caras emparejadas (formalmente, esto se obtiene como un espacio cociente ). Lleva una métrica hiperbólica que está bien definida fuera de la imagen de los 1-esqueletos de los poliedros. Esta métrica se extiende a una métrica hiperbólica en todo el espacio si se cumplen las dos condiciones siguientes: [5]
Un ejemplo notable de esta construcción es el espacio de Seifert-Weber que se obtiene pegando caras opuestas de un dodecaedro regular .
Una variación de esta construcción es el uso de politopos hiperbólicos de Coxeter (politopos cuyos ángulos diédricos tienen la forma ). Tal politopo da lugar a un grupo de reflexión kleiniano , que es un subgrupo discreto de isometrías del espacio hiperbólico. Tomando un subgrupo de índice finito libre de torsión se obtiene una variedad hiperbólica (que puede recuperarse mediante la construcción anterior, pegando copias del politopo de Coxeter original de la manera prescrita por un gráfico lateral de Schreier apropiado ).
En la construcción anterior los colectores obtenidos son siempre compactos. Para obtener variedades con cúspides hay que utilizar politopos que tengan vértices ideales (es decir, vértices que se encuentran en la esfera en el infinito). En este caso, la construcción encolada no siempre produce una variedad completa. La completitud se detecta mediante un sistema de ecuaciones que involucra los ángulos diédricos alrededor de los bordes adyacentes a un vértice ideal, que comúnmente se denominan ecuaciones de pegado de Thurston. En caso de que el pegado esté completo, los vértices ideales se convierten en cúspides en el colector. Un ejemplo de variedad hiperbólica de volumen finito no compacta obtenida de esta manera es la variedad de Gieseking , que se construye pegando las caras de un tetraedro hiperbólico ideal regular .
También es posible construir una variedad hiperbólica completa de volumen finito cuando el pegado no está completo. En este caso, la finalización del espacio métrico obtenido es una variedad con un límite toroidal y bajo algunas condiciones (no genéricas) es posible pegar un toro sólido hiperbólico en cada componente del límite para que el espacio resultante tenga una métrica hiperbólica completa. Topológicamente, la variedad se obtiene mediante cirugía hiperbólica de Dehn sobre la variedad hiperbólica completa que resultaría de un pegado completo.
No se sabe si todas las 3 variedades hiperbólicas de volumen finito pueden construirse de esta manera. [6] Sin embargo, en la práctica así es como el software computacional (como SnapPea o Regina ) almacena variedades hiperbólicas. [7]
La construcción de grupos aritméticos kleinianos a partir de álgebras de cuaterniones da lugar a variedades hiperbólicas particularmente interesantes. Por otro lado, en cierto sentido son "raros" entre las 3 variedades hiperbólicas (por ejemplo, la cirugía hiperbólica de Dehn en una variedad fija da como resultado una variedad no aritmética para casi todos los parámetros).
A diferencia de las construcciones explícitas anteriores, es posible deducir la existencia de una estructura hiperbólica completa en una variedad 3 únicamente a partir de información topológica. Esto es una consecuencia de la conjetura de la geometrización y se puede enunciar de la siguiente manera (una afirmación a veces denominada "teorema de hiperbolización", que fue probada por Thurston en el caso especial de las variedades de Haken):
Si una variedad compacta de 3 con límite tórico es irreducible y algebraicamente atoroidal (lo que significa que cada toro sumergido inyectivamente es homotópico a un componente de límite), entonces su interior lleva una métrica hiperbólica completa de volumen finito.
Un caso particular es el de un paquete de superficie sobre el círculo : tales variedades son siempre irreducibles y llevan una métrica hiperbólica completa si y sólo si la monodromía es una aplicación pseudo-Anosov .
Otra consecuencia de la conjetura de Geometrización es que cualquier variedad 3 cerrada que admita una métrica de Riemann con curvaturas seccionales negativas admite de hecho una métrica de Riemann con curvatura seccional constante -1. Esto no es cierto en dimensiones superiores. [8]
Las propiedades topológicas de las 3 variedades son lo suficientemente complejas que en muchos casos es interesante saber que una propiedad se cumple virtualmente para una clase de variedades, es decir, para cualquier variedad de la clase existe un espacio de cobertura finito de la variedad con la propiedad . Las propiedades virtuales de las 3 variedades hiperbólicas son objeto de una serie de conjeturas de Waldhausen y Thurston, que recientemente fueron probadas por Ian Agol tras el trabajo de Jeremy Kahn, Vlad Markovic, Frédéric Haglund, Dani Wise y otros. La primera parte de las conjeturas estaban lógicamente relacionadas con la conjetura virtual de Haken . En orden de fuerza son: [9]
Otra conjetura (también probada por Agol) que implica 1-3 arriba pero a priori no tiene relación con 4 es la siguiente:
Se dice que una secuencia de grupos kleinianos es geométricamente convergente si converge en la topología de Chabauty . Para las variedades obtenidas como cocientes, esto equivale a que sean convergentes en la métrica puntiaguda de Gromov-Hausdorff .
El volumen hiperbólico se puede utilizar para ordenar el espacio de todas las variedades hiperbólicas. El conjunto de variedades correspondientes a un volumen dado es, como máximo, finito y el conjunto de volúmenes está bien ordenado y es de tipo de orden . Más precisamente, el teorema hiperbólico de la cirugía de Dehn de Thurston implica que una variedad con cúspides es un límite de una secuencia de variedades con cúspides para cualquier , de modo que los puntos aislados son volúmenes de variedades compactas, las variedades con exactamente una cúspide son límites de variedades compactas, etcétera. Junto con los resultados de Jørgensen, el teorema también demuestra que cualquier secuencia convergente debe obtenerse mediante cirugías de Dehn en la variedad límite. [10]
Las secuencias de grupos de superficies cuasi-fucsianos de un género determinado pueden converger en un grupo de superficies doblemente degenerado, como en el teorema del doble límite .
