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Finitud geométrica

En geometría , un grupo de isometrías del espacio hiperbólico se llama geométricamente finito si tiene un dominio fundamental de buen comportamiento . Una variedad hiperbólica se llama geométricamente finita si puede describirse en términos de grupos geométricamente finitos .

Poliedros geométricamente finitos

Un poliedro convexo C en el espacio hiperbólico se llama geométricamente finito si su cierre C en la compactación conforme del espacio hiperbólico tiene la siguiente propiedad:

Por ejemplo, todo poliedro con un número finito de caras es geométricamente finito. En un espacio hiperbólico de dimensión 2 como máximo, todo poliedro geométricamente finito tiene un número finito de lados, pero hay poliedros geométricamente finitos en dimensiones 3 y superiores con infinitos lados. Por ejemplo, en el espacio euclidiano R n de dimensión n ≥2 hay un poliedro P con un número infinito de lados. El modelo de semiplano superior del espacio hiperbólico dimensional n +1 en R n +1 se proyecta a R n , y la imagen inversa de P bajo esta proyección es un poliedro geométricamente finito con un número infinito de lados.

Un poliedro geométricamente finito tiene sólo un número finito de cúspides, y todos sus lados, excepto un número finito, se encuentran con una de las cúspides.

Grupos geométricamente finitos

Un grupo discreto G de isometrías del espacio hiperbólico se llama geométricamente finito si tiene un dominio fundamental C que es convexo, geométricamente finito y exacto (cada cara es la intersección de C y gC para algún g  ∈  G ) (Ratcliffe 1994, 12.4 ).

En espacios hiperbólicos de dimensión 3 como máximo, todo poliedro fundamental exacto, convexo para un grupo geométricamente finito tiene sólo un número finito de lados, pero en dimensiones 4 y superiores hay ejemplos con un número infinito de lados (Ratcliffe 1994, teorema 12.4 .6).

En espacios hiperbólicos de dimensión 2 como máximo, los grupos discretos generados finitamente son geométricamente finitos, pero Greenberg (1966) demostró que hay ejemplos de grupos discretos generados finitamente en dimensión 3 que no son geométricamente finitos.

Colectores geométricamente finitos

Una variedad hiperbólica se llama geométricamente finita si tiene un número finito de componentes, cada uno de los cuales es el cociente del espacio hiperbólico por un grupo discreto de isometrías geométricamente finito (Ratcliffe 1994, 12.7).

Ver también

Referencias