atoroidal

En matemáticas , una variedad atoroidal de 3 es aquella que no contiene un toro esencial . Hay dos variaciones principales en esta terminología: un toro esencial puede definirse geométricamente, como un toro incompresible , paralelo sin límites , incrustado , o puede definirse algebraicamente, como un subgrupo de su grupo fundamental que no está conjugado con un toro periférico. subgrupo (es decir, la imagen del mapa en el grupo fundamental inducida por la inclusión de un componente límite). La terminología no está estandarizada y diferentes autores requieren 3 colectores atoroidales para satisfacer ciertas restricciones adicionales. Por ejemplo: ${\displaystyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }$

• Boris Apanasov (2000) da una definición de atoroidalidad que combina aspectos geométricos y algebraicos, en términos de mapas de un toro a la variedad y los mapas inducidos en el grupo fundamental. Luego señala que para 3 variedades irreducibles de límite e incompresibles esto da la definición algebraica. ^[1]
• Jean-Pierre Otal (2001) utiliza la definición algebraica sin restricciones adicionales. ^[2]
• Bennett Chow (2007) utiliza la definición geométrica, restringida a variedades irreducibles. ^[3]
• Michael Kapovich  (2009) requiere la variante algebraica de las variedades atoroidales (a las que llama simplemente atoroidales) para evitar ser uno de los tres tipos de haces de fibras . Hace la misma restricción en las variedades geométricamente atoroidales (que él llama topológicamente atoroidales) y además les exige que eviten botellas de Klein incompresibles incrustadas en límites paralelos . Con estas definiciones, los dos tipos de atoroidalidad son equivalentes excepto en ciertas variedades de Seifert . ^[4]

Una variedad de 3 que no es atórica se llama toroidal .

Referencias

1. Apanasov, Boris N. (2000), Geometría conforme de grupos y variedades discretos, Exposiciones de De Gruyter en Matemáticas, vol. 32, Walter de Gruyter , pág. 294, ISBN 9783110808056.
2. Otal, Jean-Pierre (2001), El teorema de hiperbolización para 3 variedades fibrosas, Matemáticas contemporáneas, vol. 7, Sociedad Matemática Estadounidense , pág. ix, ISBN 9780821821534.
3. Chow, Bennett (2007), The Ricci Flow: aspectos geométricos, estudios y monografías matemáticas, American Mathematical Society , p. 436, ISBN 9780821839461.
4. Kapovich, Michael (2009), Colectores hiperbólicos y grupos discretos, Progress in Mathematics, vol. 183, Springer, pág. 6, ISBN 9780817649135.