En matemáticas , un haz de superficies sobre el círculo es un haz de fibras con un espacio de base un círculo y un espacio de fibras una superficie . Por lo tanto, el espacio total tiene dimensión 2 + 1 = 3. En general, los haces de fibras sobre el círculo son un caso especial de mapeo de toros .
Aquí está la construcción: tome el producto cartesiano de una superficie con el intervalo unitario . Pegue las dos copias de la superficie, en el límite, mediante algún homeomorfismo. Este homeomorfismo se denomina monodromía del haz de superficie. Es posible demostrar que el tipo de homeomorfismo del paquete obtenido depende únicamente de la clase de conjugación , en el grupo de clases de mapeo , del homeomorfismo de pegado elegido.
Esta construcción es una fuente importante de ejemplos tanto en el campo de la topología de baja dimensión como en la teoría de grupos geométricos . En el primero encontramos que la geometría de la triple variedad está determinada por la dinámica del homeomorfismo. Esta es la parte fibrosa del teorema de geometrización de William Thurston para variedades de Haken, cuya demostración requiere la clasificación de Nielsen-Thurston para homeomorfismos de superficie, así como resultados profundos en la teoría de grupos kleinianos . En la teoría geométrica de grupos, los grupos fundamentales de tales haces dan una clase importante de extensiones HNN : es decir, extensiones del grupo fundamental de la fibra (una superficie) por los números enteros.
Un caso especial simple de esta construcción (considerado en el artículo fundacional de Henri Poincaré ) es el de un haz toroidal .