Número de palo

Número más pequeño de aristas de un camino poligonal equivalente para un nudo

El nudo toro 2,3 (o trébol) tiene un número de palo de seis.

En la teoría matemática de los nudos , el número de palos es una invariante del nudo que intuitivamente da el menor número de "palos" rectos pegados de un extremo a otro necesarios para formar un nudo. Específicamente, dado cualquier nudo , el número de palo de , denotado por , es el número más pequeño de aristas de un camino poligonal equivalente a . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \operatorname {stick} (K)}$ ${\displaystyle K}$

Valores conocidos

Seis es el número de palo más bajo para cualquier nudo no trivial. Hay pocos nudos cuyo número de varilla se pueda determinar con exactitud. Gyo Taek Jin determinó el número de varilla de un nudo toroide en caso de que los parámetros no estén demasiado alejados entre sí: ^[1] ${\displaystyle (p,q)}$ ${\displaystyle T(p,q)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$

${\displaystyle \operatorname {stick} (T(p,q))=2q}$, si ${\displaystyle 2\leq p<q\leq 2p.}$

El mismo resultado fue encontrado de forma independiente casi al mismo tiempo por un grupo de investigación en torno a Colin Adams , pero para un rango más pequeño de parámetros. ^[2]

Límites

Nudo cuadrado = trébol + reflejo de trébol.

El número de barra de una suma de nudos puede estar limitado superiormente por los números de barra de los sumandos: ^[3]

$${\displaystyle {\text{stick}}(K_{1}\#K_{2})\leq {\text{stick}}(K_{1})+{\text{stick}}(K_{2})-3\,}$$

Invariantes relacionados

El número de varilla de un nudo está relacionado con su número de cruce mediante las siguientes desigualdades: ^[4] ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle c(K)}$

$${\displaystyle {\frac {1}{2}}(7+{\sqrt {8\,{\text{c}}(K)+1}})\leq {\text{stick}}(K)\leq {\frac {3}{2}}(c(K)+1).}$$

Estas desigualdades son apretadas para el nudo trébol , que tiene un número de cruce de 3 y un número de palo de 6.

Referencias

Notas

1. Jin 1997
2. Adams y otros. 1997
3. Adams y otros. 1997, Jin 1997
4. Negami 1991, Calvo 2001, Huh & Oh 2011

Material introductorio

• Adams, CC (mayo de 2001), "Por qué hacer nudos: nudos, moléculas y números de barras", Revista Plus. Una introducción accesible al tema, también para lectores con pocos conocimientos matemáticos.
• Adams, CC (2004), The Knot Book: Una introducción elemental a la teoría matemática de los nudos , Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-3678-1.

Artículos de investigación

• Adams, Colin C .; Brennan, Bevin M.; Greilsheimer, Deborah L.; Woo, Alexander K. (1997), "Números de palos y composición de nudos y eslabones", Journal of Knot Theory and its Ramifications , 6 (2): 149–161, doi :10.1142/S0218216597000121, SEÑOR  1452436
• Calvo, Jorge Alberto (2001), "Espacios de nudos geométricos e isotopía poligonal", Journal of Knot Theory and its Ramifications , 10 (2): 245–267, arXiv : math/9904037 , doi :10.1142/S0218216501000834, MR  1822491
• Eddy, Thomas D.; Shonkwiler, Clayton (2019), Nuevos límites de números de palo a partir de un muestreo aleatorio de polígonos confinados , arXiv : 1909.00917
• Jin, Gyo Taek (1997), "Índices poligonales e índices de superpuente de nudos y enlaces toroidales", Journal of Knot Theory and its Ramifications , 6 (2): 281–289, doi :10.1142/S0218216597000170, MR  1452441
• Negami, Seiya (1991), "Teoremas de Ramsey para nudos, enlaces y gráficos espaciales", Transactions of the American Mathematical Society , 324 (2): 527–541, doi : 10.2307/2001731 , MR  1069741
• Eh, Youngsik; Oh, Seungsang (2011), "Un límite superior en el número de nudos del palo", Journal of Knot Theory and its Ramifications , 20 (5): 741–747, arXiv : 1512.03592 , doi : 10.1142/S0218216511008966, MR  2806342

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. , "Número de palo", MathWorld
• "Números de palo para nudos mínimos", Sitio de investigación y desarrollo de KnotPlot .