Las conjeturas de Tait son tres conjeturas realizadas por el matemático del siglo XIX Peter Guthrie Tait en su estudio de los nudos . [1] Las conjeturas de Tait involucran conceptos en la teoría de nudos como nudos alternos , quiralidad y contorsión . Todas las conjeturas de Tait han sido resueltas, siendo la más reciente la conjetura de Flyping.
A Tait se le ocurrieron sus conjeturas después de su intento de tabular todos los nudos a finales del siglo XIX. Como fundador del campo de la teoría de nudos, su trabajo carece de un marco matemáticamente riguroso y no está claro si pretendía que las conjeturas se aplicaran a todos los nudos o sólo a los nudos alternos . Resulta que la mayoría de ellos sólo son válidos para nudos alternos. [2] En las conjeturas de Tait, un diagrama de nudos se denomina "reducido" si se han eliminado todos los "istmos" o "cruces nugatorios".
Tait conjeturó que en determinadas circunstancias, el número de cruce era una invariante de nudo , específicamente:
Cualquier diagrama reducido de un enlace alterno tiene el menor número de cruces posibles.
En otras palabras, el número de cruces de un eslabón alterno reducido es una invariante del nudo. Esta conjetura fue demostrada por Louis Kauffman , Kunio Murasugi (村杉 邦男) y Morwen Thistlethwaite en 1987, utilizando el polinomio de Jones . [3] [4] [5] Joshua Greene proporcionó en 2017 una prueba geométrica, sin utilizar polinomios de nudos. [6]
Una segunda conjetura de Tait:
Un eslabón alterno anficheiral (o acheiral) no se retuerce.
Esta conjetura también fue demostrada por Kauffman y Thistlethwaite . [3] [7]
La conjetura del vuelo de Tait se puede enunciar:
Dados dos diagramas alternos reducidos cualesquiera y de un eslabón alterno primo orientado, se puede transformar mediante una secuencia de ciertos movimientos simples llamados flypes . [8]
La conjetura del vuelo de Tait fue probada por Thistlethwaite y William Menasco en 1991. [9] La conjetura del vuelo de Tait implica algunas más de las conjeturas de Tait:
Dos diagramas reducidos cualesquiera del mismo nudo alterno tienen la misma torsión.
Esto se debe a que volar preserva la contorsión. Esto fue demostrado anteriormente por Murasugi y Thistlethwaite . [10] [7] También se desprende del trabajo de Greene. [6] Para nudos no alternos esta conjetura no es cierta; el par Perko es un contraejemplo. [2] Este resultado también implica la siguiente conjetura:
Los nudos anficheros alternos tienen un número de cruce par. [2]
Esto se debe a que la imagen especular de un nudo tiene una contorsión opuesta. Nuevamente, esta conjetura solo es cierta para los nudos alternos: existe un nudo anfiquiral no alterno con el cruce número 15. [11]
