En la teoría de nudos , un diagrama de nudo o eslabón es alterno si los cruces se alternan debajo, encima, debajo, encima, a medida que uno viaja a lo largo de cada componente del eslabón. Un eslabón es alterno si tiene un diagrama alterno.
Muchos de los nudos con un número de cruce inferior a 10 son alternos. Este hecho y las propiedades útiles de los nudos alternos, como las conjeturas de Tait , fueron lo que permitió a los primeros tabuladores de nudos, como Tait, construir tablas con relativamente pocos errores u omisiones. Los nudos primos no alternos más simples tienen 8 cruces (y hay tres de ellos: 8 19 , 8 20 , 8 21 ).
Se conjetura que a medida que aumenta el número de cruces, el porcentaje de nudos que se alternan llega a 0 exponencialmente rápido.
Los enlaces alternos terminan teniendo un papel importante en la teoría de nudos y la teoría de 3 variedades , debido a que sus complementos tienen propiedades geométricas y topológicas útiles e interesantes. Esto llevó a Ralph Fox a preguntar: "¿Qué es un nudo alterno?" Con esto preguntaba qué propiedades no esquemáticas del complemento de nudos caracterizarían los nudos alternos. [1]
En noviembre de 2015, Joshua Evan Greene publicó una preimpresión que establecía una caracterización de enlaces alternos en términos de superficies de extensión definidas, es decir, una definición de enlaces alternos (de los cuales los nudos alternos son un caso especial) sin utilizar el concepto de diagrama de enlaces . [2]
Diversa información geométrica y topológica se revela en un diagrama alterno. La primacía y la capacidad de división de un enlace se pueden ver fácilmente en el diagrama. El número de cruce de un diagrama alterno reducido es el número de cruce del nudo. Esta última es una de las célebres conjeturas de Tait.
Un diagrama de nudos alternos se corresponde uno a uno con un gráfico plano . Cada cruce está asociado con un borde y la mitad de los componentes conectados del complemento del diagrama están asociados con vértices en forma de tablero de ajedrez.
Las conjeturas de Tait son:
Morwen Thistlethwaite , Louis Kauffman y K. Murasugi demostraron las dos primeras conjeturas de Tait en 1987 y Morwen Thistlethwaite y William Menasco demostraron la conjetura del vuelo de Tait en 1991.
Menasco , aplicando el teorema de hiperbolización de Thurston para las variedades de Haken , demostró que cualquier enlace alterno primo, no dividido, es hiperbólico , es decir, el complemento del enlace tiene una geometría hiperbólica , a menos que el enlace sea un enlace toroidal .
Por tanto, el volumen hiperbólico es una invariante de muchos enlaces alternos. Marc Lackenby ha demostrado que el volumen tiene límites lineales superior e inferior en función del número de regiones de torsión de un diagrama alterno reducido.