Los nudos se han utilizado para fines básicos, como registrar información , sujetar y atar objetos, durante miles de años. El primer estímulo significativo en la teoría de nudos llegaría más tarde con Sir William Thomson (Lord Kelvin) y su teoría del vórtice del átomo .
Diferentes nudos son mejores para diferentes tareas, como escalar o navegar . También se consideraba que los nudos tenían un simbolismo espiritual y religioso además de sus cualidades estéticas. El nudo interminable aparece en el budismo tibetano, mientras que los anillos borromeos han aparecido repetidamente en diferentes culturas, a menudo simbolizando la unidad. Los monjes celtas que crearon el Libro de Kells llenaron páginas enteras de intrincados nudos celtas .
Los nudos fueron estudiados desde un punto de vista matemático por Carl Friedrich Gauss , quien en 1833 desarrolló la integral de enlace de Gauss para calcular el número de enlace de dos nudos. Su alumno Johann Benedict Listing , que da nombre al nudo de Listing , amplió su estudio.
En 1867, después de observar los experimentos del físico escocés Peter Tait con anillos de humo, Thomson llegó a la idea de que los átomos eran nudos de vórtices arremolinados en el éter . Los elementos químicos corresponderían así a nudos y eslabones. Los experimentos de Tait se inspiraron en un artículo de Helmholtz sobre anillos de vórtice en fluidos incompresibles. Thomson y Tait creían que una comprensión y clasificación de todos los nudos posibles explicaría por qué los átomos absorben y emiten luz sólo en las longitudes de onda discretas que lo hacen. Por ejemplo, Thomson pensó que el sodio podría ser el enlace de Hopf debido a sus dos líneas de espectro. [1]
Posteriormente, Tait comenzó a enumerar nudos únicos con la creencia de que estaba creando una tabla de elementos. Formuló lo que ahora se conoce como las conjeturas de Tait sobre nudos alternos . (Las conjeturas fueron probadas en la década de 1990). Las tablas de nudos de Tait fueron posteriormente mejoradas por CN Little y Thomas Kirkman . [ dieciséis
James Clerk Maxwell , colega y amigo de Thomson y Tait, también desarrolló un gran interés por los nudos. Maxwell estudió el trabajo de Listing sobre nudos. Reinterpretó la integral de enlace de Gauss en términos de teoría electromagnética. En su formulación, la integral representaba el trabajo realizado por una partícula cargada que se mueve a lo largo de un componente del enlace bajo la influencia del campo magnético generado por una corriente eléctrica junto con el otro componente. Maxwell también continuó el estudio de los anillos de humo considerando tres anillos que interactúan.
Cuando el éter luminífero no fue detectado en el experimento de Michelson-Morley , la teoría de los vórtices quedó completamente obsoleta y la teoría de nudos dejó de ser de gran interés científico. La física moderna demuestra que las longitudes de onda discretas dependen de los niveles de energía cuántica .
Siguiendo el desarrollo de la topología a principios del siglo XX encabezado por Henri Poincaré , topólogos como Max Dehn , JW Alexander y Kurt Reidemeister investigaron los nudos. De esto surgieron los movimientos de Reidemeister y el polinomio de Alexander . [1] : 15–45 Dehn también desarrolló la cirugía de Dehn , que relacionaba los nudos con la teoría general de las 3 variedades, y formuló los problemas de Dehn en la teoría de grupos , como el problema verbal . Los primeros pioneros de la primera mitad del siglo XX incluyen a Ralph Fox , quien popularizó el tema. En este período inicial, la teoría de nudos consistía principalmente en el estudio del grupo de nudos y las invariantes homológicas del complemento de nudos .
En 1961, Wolfgang Haken descubrió un algoritmo que puede determinar si un nudo no es trivial . También esbozó una estrategia para resolver el problema general de reconocimiento de nudos, es decir, determinar si dos nudos dados son equivalentes o no. A principios de la década de 1970, Friedhelm Waldhausen anunció la finalización del programa de Haken basándose en sus resultados y los de Klaus Johannson, William Jaco , Peter Shalen y Geoffrey Hemion. En 2003, Sergei Matveev señaló y llenó un vacío crucial.
Algunos descubrimientos importantes a finales del siglo XX rejuvenecieron enormemente la teoría de los nudos y la incorporaron aún más a la corriente principal. A finales de la década de 1970, el teorema de hiperbolización de William Thurston introdujo la teoría de las variedades 3 hiperbólicas en la teoría de nudos y la convirtió en de primordial importancia. En 1982, Thurston recibió la Medalla Fields, el más alto honor en matemáticas, en gran parte debido a este avance. El trabajo de Thurston también condujo, después de mucha expansión por parte de otros, al uso eficaz de herramientas de la teoría de la representación y la geometría algebraica . Siguieron resultados importantes, incluido el teorema de Gordon-Luecke , que demostró que los nudos estaban determinados (hasta el reflejo especular) por sus complementos, y la conjetura de Smith .
El interés de la comunidad matemática general por la teoría de nudos creció significativamente después del descubrimiento del polinomio de Jones por parte de Vaughan Jones en 1984. Esto condujo a otros polinomios de nudos como el polinomio entre corchetes , el polinomio HOMFLY y el polinomio de Kauffman . Jones recibió la medalla Fields en 1990 por este trabajo. [1] : 71–89 En 1988, Edward Witten propuso un nuevo marco para el polinomio de Jones, utilizando ideas existentes de la física matemática , como las integrales de trayectoria de Feynman , e introduciendo nuevas nociones como la teoría cuántica topológica de campos . [2] Witten también recibió la medalla Fields, en 1990, en parte por este trabajo. La descripción de Witten del polinomio de Jones implicaba invariantes relacionados para 3 variedades . Los enfoques simultáneos, pero diferentes, de otros matemáticos dieron como resultado los invariantes de Witten-Reshetikhin-Turaev y varios de los llamados " invariantes cuánticos ", que parecen ser la versión matemáticamente rigurosa de los invariantes de Witten. [3] En la década de 1980, John Horton Conway descubrió un procedimiento para desanudar nudos conocido gradualmente como notación de Conway .
En 1992, se fundó el Journal of Knot Theory and Its Ramifications , una revista dedicada exclusivamente a la teoría de nudos.
A principios de la década de 1990, Vassiliev y Goussarov descubrieron las invariantes de nudo que abarcan el polinomio de Jones y sus generalizaciones, llamadas invariantes de tipo finito . Maxim Kontsevich , medallista Fields de 1994, demostró que estas invariantes, inicialmente descritas utilizando medios topológicos "clásicos", son el resultado de la integración , utilizando la integral de Kontsevich , de ciertas estructuras algebraicas. [4]
Estos avances fueron seguidos por el descubrimiento de la homología de Khovanov y la homología de nudo de Floer , que generalizan en gran medida los polinomios de Jones y Alexander. Estas teorías de homología han contribuido a una mayor integración de la teoría de nudos.
En las últimas décadas del siglo XX, los científicos y matemáticos comenzaron a encontrar aplicaciones de la teoría de nudos a problemas de biología y química . La teoría de nudos se puede utilizar para determinar si una molécula es quiral (tiene "lateralidad") o no. Los compuestos químicos de diferente uso pueden tener propiedades drásticamente diferentes, siendo la talidomida un ejemplo notable de esto. De manera más general, los métodos de la teoría de nudos se han utilizado para estudiar topoisómeros , disposiciones topológicamente diferentes de la misma fórmula química. La teoría de los ovillos, estrechamente relacionada, se ha utilizado eficazmente para estudiar la acción de determinadas enzimas en el ADN. [5] El campo interdisciplinario de la teoría física de nudos investiga modelos matemáticos de nudos basados en consideraciones físicas para comprender los fenómenos de nudos que surgen en materiales como el ADN o los polímeros.
En física, se ha demostrado que ciertas cuasipartículas hipotéticas , como los anones nobelianos, exhiben propiedades topológicas útiles, es decir, que sus estados cuánticos no cambian debido a la isotopía ambiental de sus líneas mundiales . Se espera que puedan utilizarse para fabricar un ordenador cuántico resistente a la decoherencia . Dado que las líneas del mundo forman una trenza matemática , la teoría de la trenza , un campo relacionado con la teoría de nudos , se utiliza para estudiar las propiedades de dicha computadora, llamada computadora cuántica topológica . [6]
Un desarrollo relacionado y complementario a la teoría de nudos es la topología de circuitos que fue propuesta originalmente por Alireza Mashaghi, [7] como una teoría que se centra en cadenas abiertas que incluyen contactos o enlaces dentro de la cadena. La teoría se desarrolló históricamente para abordar problemas de topología molecular y, en particular, de biología. [8]