En matemáticas , un asociaedro K n es un politopo convexo de ( n – 2) dimensiones en el que cada vértice corresponde a una forma de insertar correctamente paréntesis de apertura y cierre en una cadena de n letras, y los bordes corresponden a una sola aplicación de la asociatividad. regla. De manera equivalente, los vértices de un asociaedro corresponden a las triangulaciones de un polígono regular con n + 1 lados y los bordes corresponden a cambios de borde en los que se elimina una sola diagonal de una triangulación y se reemplaza por una diagonal diferente. Los asociaedros también se denominan politopos de Stasheff en honor al trabajo de Jim Stasheff , quien los redescubrió a principios de la década de 1960 [1] después de un trabajo anterior sobre ellos de Dov Tamari . [2]
El asociaedro unidimensional K 3 representa los dos paréntesis (( xy ) z ) y ( x ( yz )) de tres símbolos, o las dos triangulaciones de un cuadrado. Es en sí mismo un segmento de línea.
El asociaedro bidimensional K 4 representa los cinco paréntesis de cuatro símbolos, o las cinco triangulaciones de un pentágono regular. Es en sí mismo un pentágono y está relacionado con el diagrama del pentágono de una categoría monoidal .
El asociaedro tridimensional K 5 es un eneaedro de nueve caras (tres cuadriláteros disjuntos y seis pentágonos) y catorce vértices, y su dual es el prisma triangular triaumentado .
Inicialmente, Jim Stasheff consideró estos objetos como politopos curvilíneos . Posteriormente, se les dieron coordenadas como politopos convexos de varias maneras diferentes; ver la introducción de Ceballos, Santos & Ziegler (2015) para una encuesta. [3]
Un método para realizar el asociaedro es como politopo secundario de un polígono regular. [3] En esta construcción, cada triangulación de un polígono regular con n + 1 lados corresponde a un punto en el espacio euclidiano ( n + 1)-dimensional , cuya i -ésima coordenada es el área total de los triángulos incidentes en el i -ésimo vértice. del polígono. Por ejemplo, las dos triangulaciones del cuadrado unitario dan lugar de esta forma a dos puntos de cuatro dimensiones con coordenadas (1, 1/2, 1, 1/2) y (1/2, 1, 1/2, 1). . El casco convexo de estos dos puntos es la realización del asociaedro K 3 . Aunque vive en un espacio de 4 dimensiones, forma un segmento de línea (un politopo de 1 dimensión) dentro de ese espacio. De manera similar, el asociaedro K 4 se puede realizar de esta manera como un pentágono regular en un espacio euclidiano de cinco dimensiones, cuyas coordenadas de vértice son las permutaciones cíclicas del vector (1, 2 + φ, 1, 1 + φ, 1 + φ) donde φ denota la proporción áurea . Debido a que los posibles triángulos dentro de un hexágono regular tienen áreas que son múltiplos enteros entre sí, esta construcción se puede utilizar para dar coordenadas enteras (en seis dimensiones) al asociaedro tridimensional K 5 ; sin embargo (como ya muestra el ejemplo de K 4 ) esta construcción en general conduce a números irracionales como coordenadas.
Otra realización, debida a Jean-Louis Loday , se basa en la correspondencia de los vértices del asociaedro con árboles binarios con raíces de n hojas , y produce directamente coordenadas enteras en un espacio dimensional ( n − 2). La i- ésima coordenada de la realización de Loday es a i b i , donde a i es el número de hojas descendientes del hijo izquierdo del i- ésimo nodo interno del árbol (en orden de izquierda a derecha) y b i es el número de descendientes de hojas del hijo derecho. [4]
Es posible realizar el asociaedro directamente en un espacio dimensional ( n − 2) como un politopo para el cual todos los vectores normales a las caras tienen coordenadas 0, +1 o −1. Hay exponencialmente muchas formas combinatoriamente distintas de hacer esto. [3] [5]
Debido a que K 5 es un poliedro sólo con vértices en los que se juntan 3 aristas es posible que exista un hidrocarburo (similar a los hidrocarburos platónicos ) cuya estructura química está representada por el esqueleto de K 5 . [6] Este "asociaedrano" C 14 H 14 tendría la notación SMILES : C12-C3-C4-C1-C5-C6-C2-C7-C3-C8-C4-C5-C6-C78. Sus aristas tendrían aproximadamente la misma longitud, pero los vértices de cada cara no serían necesariamente coplanares.
De hecho, K 5 es un sólido de Johnson que casi falla : parece que podría construirse a partir de cuadrados y pentágonos regulares, pero no lo es. O los vértices no serán del todo coplanares o las caras tendrán que distorsionarse ligeramente alejándose de la regularidad.
El número de caras ( n − k )-dimensionales del asociaedro de orden n (K n +1 ) viene dado por el triángulo numérico [7] ( n , k ), que se muestra a la derecha.
El número de vértices en K n +1 es el n -ésimo número catalán (diagonal recta en el triángulo).
El número de facetas en K n +1 (para n ≥2) es el n -ésimo número triangular menos uno (segunda columna del triángulo), porque cada faceta corresponde a un 2- subconjunto de los n objetos cuyas agrupaciones forman el Tamari celosía T n , excepto el 2-subconjunto que contiene el primer y el último elemento.
El número de caras de todas las dimensiones (incluido el asociaedro mismo como cara, pero sin incluir el conjunto vacío) es un número de Schröder-Hiparchus (sumas de filas del triángulo). [8]
A finales de la década de 1980, en relación con el problema de la distancia de rotación , Daniel Sleator , Robert Tarjan y William Thurston proporcionaron una prueba de que el diámetro del asociaedro n -dimensional K n + 2 es como máximo 2 n − 4 para una infinidad de n. y para todos los valores "suficientemente grandes" de n . [9] También demostraron que este límite superior es ajustado cuando n es lo suficientemente grande, y conjeturaron que "suficientemente grande" significa "estrictamente mayor que 9". Esta conjetura fue demostrada en 2012 por Lionel Pournin. [10]
En 2017, Mizera [11] y Arkani-Hamed et al. [12] demostraron que el asociaedro juega un papel central en la teoría de amplitudes de dispersión para la teoría del escalar cúbico bijunto. En particular, existe un asociaedro en el espacio de la cinemática de dispersión, y la amplitud de dispersión a nivel del árbol es el volumen del asociaedro dual. [12] El asociaedro también ayuda a explicar las relaciones entre las amplitudes de dispersión de cuerdas abiertas y cerradas en la teoría de cuerdas . [11]