complejo de cadena

Herramienta en álgebra homológica

En matemáticas , un complejo de cadenas es una estructura algebraica que consta de una secuencia de grupos (o módulos ) abelianos y una secuencia de homomorfismos entre grupos consecutivos de manera que la imagen de cada homomorfismo se incluye en el núcleo del siguiente. A un complejo de cadenas se asocia su homología , que describe cómo se incluyen las imágenes en los núcleos.

Un complejo de cocadena es similar a un complejo de cadena, excepto que sus homomorfismos están en la dirección opuesta. La homología de un complejo de cocadena se llama cohomología .

En topología algebraica , el complejo de cadena singular de un espacio topológico X se construye utilizando mapas continuos de un simplex a X, y los homomorfismos del complejo de cadena capturan cómo estos mapas se restringen al límite del simplex. La homología de este complejo de cadenas se denomina homología singular de X y es un invariante de uso común de un espacio topológico.

Los complejos de cadenas se estudian en álgebra homológica , pero se utilizan en varias áreas de las matemáticas, incluida el álgebra abstracta , la teoría de Galois , la geometría diferencial y la geometría algebraica . Se pueden definir de manera más general en categorías abelianas .

Definiciones

Un complejo de cadenas es una secuencia de grupos o módulos abelianos..., A ₀ , A ₁ , A ₂ , A ₃ , A ₄ ,... conectados por homomorfismos (llamados operadores de frontera o diferenciales ) d _n  : A _n → A _{n −1} , tal que la composición de dos mapas consecutivos cualesquiera es el mapa cero. Explícitamente, los diferenciales satisfacen d _n ∘ d _{n +1} = 0 , o con índices suprimidos, d ² = 0 . El complejo puede escribirse de la siguiente manera. ${\displaystyle (A_{\bullet },d_{\bullet })}$

${\displaystyle \cdots {\xleftarrow {d_{0}}}A_{0}{\xleftarrow {d_{1}}}A_{1}{\xleftarrow {d_{2}}}A_{2}{\xleftarrow {d_{3}}}A_{3}{\xleftarrow {d_{4}}}A_{4}{\xleftarrow {d_{5}}}\cdots }$

El complejo de cocadena es la noción dual de complejo de cadena. Consiste en una secuencia de grupos o módulos abelianos..., A ⁰ , A ¹ , A ² , A ³ , A ⁴ , ... conectados por homomorfismos d ⁿ  : A ⁿ → A ^{n +1} que satisfacen d ^{n +1} ∘ re ^norte = 0 . El complejo de cocadena se puede escribir de forma similar al complejo de cadena. ${\displaystyle (A^{\bullet },d^{\bullet })}$

${\displaystyle \cdots {\xrightarrow {d^{-1}}}A^{0}{\xrightarrow {d^{0}}}A^{1}{\xrightarrow {d^{1}}}A^{2}{\xrightarrow {d^{2}}}A^{3}{\xrightarrow {d^{3}}}A^{4}{\xrightarrow {d^{4}}}\cdots }$

El índice n en A _n o A ⁿ se denomina grado (o dimensión ). La diferencia entre complejos de cadena y cocadena es que, en los complejos de cadena, los diferenciales disminuyen la dimensión, mientras que en los complejos de cocadena aumentan la dimensión. Todos los conceptos y definiciones de complejos de cadenas se aplican a los complejos de cocadenas, excepto que seguirán esta convención diferente para la dimensión y, a menudo, a los términos se les dará el prefijo co- . En este artículo, se darán definiciones para complejos de cadenas cuando no se requiere la distinción.

Un complejo de cadena acotada es aquel en el que _casi todos los An son 0; es decir, un complejo finito extendido hacia la izquierda y hacia la derecha por 0. Un ejemplo es el complejo de cadena que define la homología simplicial de un complejo simplicial finito . Un complejo de cadena está acotado por arriba si todos los módulos por encima de algún grado fijo N son 0, y está acotado por abajo si todos los módulos por debajo de algún grado fijo son 0. Claramente, un complejo está acotado tanto por arriba como por abajo si y sólo si el complejo está acotado.

Los elementos de los grupos individuales de un complejo de (co)cadenas se denominan (co)cadenas . Los elementos en el núcleo de d se llaman (co)ciclos (o elementos cerrados ), y los elementos en la imagen de d se llaman (co)límites (o elementos exactos ). Desde la definición de diferencial, todos los límites son ciclos. El n -ésimo grupo de (co)homología H _n ( H ⁿ ) es el grupo de (co)ciclos módulo (co)límites en grado n , es decir,

${\displaystyle H_{n}=\ker d_{n}/{\mbox{im }}d_{n+1}\quad \left(H^{n}=\ker d^{n}/{\mbox{im }}d^{n-1}\right)}$

Secuencias exactas

Una secuencia exacta (o complejo exacto ) es un complejo de cadenas cuyos grupos de homología son todos cero. Esto significa que todos los elementos cerrados del complejo son exactos. Una secuencia exacta corta es una secuencia exacta acotada en la que sólo los grupos A _k , A _{k +1} , A _{k +2} pueden ser distintos de cero. Por ejemplo, el siguiente complejo de cadenas es una secuencia corta y exacta.

${\displaystyle \cdots {\xrightarrow {}}\;0\;{\xrightarrow {}}\;\mathbf {Z} \;{\xrightarrow {\times p}}\;\mathbf {Z} \twoheadrightarrow \mathbf {Z} /p\mathbf {Z} \;{\xrightarrow {}}\;0\;{\xrightarrow {}}\cdots }$

En el grupo intermedio, los elementos cerrados son los elementos p Z ; Estos son claramente los elementos exactos de este grupo.

Mapas en cadena

Un mapa de cadena f entre dos complejos de cadena y es una secuencia de homomorfismos para cada n que conmuta con los operadores de frontera en los dos complejos de cadena, entonces . Esto está escrito en el siguiente diagrama conmutativo . ${\displaystyle (A_{\bullet },d_{A,\bullet })}$ ${\displaystyle (B_{\bullet },d_{B,\bullet })}$ ${\displaystyle f_{\bullet }}$ ${\displaystyle f_{n}:A_{n}\rightarrow B_{n}}$ ${\displaystyle d_{B,n}\circ f_{n}=f_{n-1}\circ d_{A,n}}$

Un mapa de cadena envía ciclos a ciclos y límites a límites, y así induce un mapa de homología . ${\displaystyle (f_{\bullet })_{*}:H_{\bullet }(A_{\bullet },d_{A,\bullet })\rightarrow H_{\bullet }(B_{\bullet },d_{B,\bullet })}$

Un mapa continuo f entre espacios topológicos X e Y induce un mapa de cadena entre los complejos de cadena singulares de X e Y y, por lo tanto , también induce un mapa f _* entre la homología singular de X e Y. Cuando X e Y son ambos iguales a la n -esfera , el mapa inducido por homología define el grado del mapa f .

El concepto de mapa de cadenas se reduce al de límite mediante la construcción del cono de un mapa de cadenas.

Homotopía en cadena

Una homotopía en cadena ofrece una forma de relacionar dos mapas de cadenas que inducen el mismo mapa en grupos de homología, aunque los mapas puedan ser diferentes. Dados dos complejos de cadena A y B , y dos mapas de cadena f , g  : A → B , una homotopía de cadena es una secuencia de homomorfismos h _n  : A _n → B _{n +1} tal que hd _A + d _B h = f − g . Los mapas se pueden escribir en un diagrama como sigue, pero este diagrama no es conmutativo.

Se verifica fácilmente que el mapa hd _A + d _B h induce el mapa cero en homología, para cualquier h . De ello se deduce inmediatamente que f y g inducen el mismo mapa de homología. Se dice que f y g son cadenas homotópicas (o simplemente homotópicas ), y esta propiedad define una relación de equivalencia entre aplicaciones de cadenas.

Sean X e Y espacios topológicos. En el caso de homología singular, una homotopía entre mapas continuos f , g  : X → Y induce una homotopía en cadena entre los mapas de cadena correspondientes a f y g . Esto muestra que dos mapas homotópicos inducen el mismo mapa en homología singular. El nombre "homotopía en cadena" está motivado por este ejemplo.

Ejemplos

Homología singular

Sea X un espacio topológico. Defina C _n ( X ) para que n natural sea el grupo abeliano libre generado formalmente por n-símplices singulares en X y defina el mapa de límites como ${\displaystyle \partial _{n}:C_{n}(X)\to C_{n-1}(X)}$

${\displaystyle \partial _{n}:\,(\sigma :[v_{0},\ldots ,v_{n}]\to X)\mapsto (\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\sigma :[v_{0},\ldots ,{\hat {v}}_{i},\ldots ,v_{n}]\to X)}$

donde el sombrero denota la omisión de un vértice . Es decir, el límite de un simplex singular es la suma alterna de restricciones a sus caras. Se puede demostrar que ∂ ² = 0, por lo que es una cadena compleja; la homología singular es la homología de este complejo. ${\displaystyle (C_{\bullet },\partial _{\bullet })}$ ${\displaystyle H_{\bullet }(X)}$

La homología singular es un invariante útil de espacios topológicos hasta la equivalencia de homotopía . El grupo de homología de grado cero es un grupo abeliano libre en los componentes de ruta de X.

cohomología de de Rham

Las k diferenciales en cualquier variedad suave M forman un espacio vectorial real llamado Ω ^k ( M ) bajo suma. La derivada exterior d asigna Ω ^k ( M ) a Ω ^{k +1} ( M ), y d ² = 0 se sigue esencialmente de la simetría de las segundas derivadas , por lo que los espacios vectoriales de k -formas junto con la derivada exterior son un complejo de cocadena.

${\displaystyle 0{\stackrel {\subset }{\to }}\ {\Re ^{c}}{\stackrel {\subset }{\to }}\ {\Omega ^{0}(M)}{\stackrel {d}{\to }}\ {\Omega ^{1}(M)}{\stackrel {d}{\to }}\ {\Omega ^{2}(M)}{\stackrel {d}{\to }}\ \Omega ^{3}(M)\to \cdots }$

La cohomología de este complejo se llama cohomología de De Rham de M. Las funciones localmente constantes se designan con su isomorfismo con c el recuento de componentes mutuamente desconectados de M . De esta manera, el complejo se amplió para dejar el complejo exacto en el nivel de forma cero utilizando el operador de subconjunto. ${\displaystyle \Re ^{c}}$

Los mapas suaves entre variedades inducen mapas en cadena, y las homotopías suaves entre mapas inducen homotopías en cadena.

Categoría de complejos de cadenas.

Los complejos de cadena de K -módulos con mapas de cadena forman una categoría Ch _K , donde K es un anillo conmutativo.

Si V = V y W = W son complejos de cadena, su producto tensorial es un complejo de cadena con elementos de grado n dado por ${\displaystyle {}_{*}}$ ${\displaystyle {}_{*}}$ ${\displaystyle V\otimes W}$

${\displaystyle (V\otimes W)_{n}=\bigoplus _{\{i,j|i+j=n\}}V_{i}\otimes W_{j}}$

y diferencial dado por

${\displaystyle \partial (a\otimes b)=\partial a\otimes b+(-1)^{\left|a\right|}a\otimes \partial b}$

donde a y b son dos vectores homogéneos cualesquiera en V y W respectivamente, y denotan el grado de a . ${\displaystyle \left|a\right|}$

Este producto tensor convierte la categoría Ch _K en una categoría monoidal simétrica . El objeto de identidad con respecto a este producto monoide es el anillo base K visto como un complejo de cadena de grado 0. El trenzado está dado en tensores simples de elementos homogéneos por

${\displaystyle a\otimes b\mapsto (-1)^{\left|a\right|\left|b\right|}b\otimes a}$

La señal es necesaria para que el trenzado sea un mapa de cadena.

Además, la categoría de complejos de cadena de K -módulos también tiene Hom interno : dados los complejos de cadena V y W , el Hom interno de V y W , denotado Hom( V , W ), es el complejo de cadena con elementos de grado n dados por y diferencial dado por ${\displaystyle \Pi _{i}{\text{Hom}}_{K}(V_{i},W_{i+n})}$

${\displaystyle (\partial f)(v)=\partial (f(v))-(-1)^{\left|f\right|}f(\partial (v))}$.

Tenemos un isomorfismo natural.

${\displaystyle {\text{Hom}}(A\otimes B,C)\cong {\text{Hom}}(A,{\text{Hom}}(B,C))}$

Más ejemplos

• complejo amitsur
• Un complejo utilizado para definir los grupos Chow superiores de Bloch.
• Complejo Buchsbaum-Rim
• complejo Čech
• complejo de primos
• Complejo Eagon-Northcott
• complejo de gersten
• Complejo gráfico ^[1]
• complejo koszul
• complejo de moore
• complejo de Schur

Ver también

• Álgebra diferencial graduada
• Álgebra de Lie diferencial graduada
• La correspondencia Dold-Kan dice que existe una equivalencia entre la categoría de complejos de cadenas y la categoría de grupos abelianos simpliciales .
• Criterio de aciclicidad de Buchsbaum-Eisenbud
• Módulo de calificación diferencial

Referencias

1. "Gráfico complejo".

• Bott, Raúl ; Tu, Loring W. (1982), Formas diferenciales en topología algebraica , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90613-3
• Hatcher, Allen (2002). Topología algebraica. Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-79540-0.