Correspondencia Dold-Kan

Equivalencia entre las categorías de complejos de cadenas y grupos abelianos simpliciales

En matemáticas, más precisamente, en la teoría de conjuntos simpliciales , la correspondencia Dold-Kan (nombrada en honor a Albrecht Dold y Daniel Kan ) establece ^[1] que existe una equivalencia entre la categoría de complejos de cadena (graduados de manera no negativa) y la categoría de grupos abelianos simpliciales . Además, bajo la equivalencia, el ésimo grupo de homología de un complejo de cadena es el ésimo grupo de homotopía del grupo abeliano simplicial correspondiente, y una homotopía de cadena corresponde a una homotopía simplicial . (De hecho, la correspondencia preserva las respectivas estructuras del modelo estándar ). La correspondencia es un ejemplo del paradigma de nervio y realización. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

También existe una versión de categoría ∞ de la correspondencia Dold-Kan. ^[2]

El libro "Topología algebraica nobeliana" citado a continuación tiene una Sección 14.8 sobre versiones cúbicas del teorema de Dold-Kan, y las relaciona con una equivalencia previa de categorías entre omega-grupoides cúbicos y complejos cruzados, que es fundamental para el trabajo de ese libro.

Ejemplos

Para un complejo de cadena C que tiene un grupo abeliano A en grado n y cero en todos los demás grados, el grupo simplicial correspondiente es el espacio de Eilenberg-MacLane . ${\displaystyle K(A,n)}$

Construcción detallada

La correspondencia Dold-Kan entre la categoría sAb de los grupos abelianos simpliciales y la categoría Ch _≥0 ( Ab ) de los complejos de cadena con gradación no negativa se puede construir explícitamente a través de un par de funtores ^{[1] pág. 149} de modo que estos funtores formen una equivalencia de categorías . El primer funtor es el funtor de complejo de cadena normalizado

${\displaystyle N:s{\textbf {Ab}}\to {\text{Ch}}_{\geq 0}({\textbf {Ab}})}$

y el segundo funtor es el funtor de "simplificación"

${\displaystyle \Gamma :{\text{Ch}}_{\geq 0}({\textbf {Ab}})\to s{\textbf {Ab}}}$

construcción de un grupo abeliano simplicial a partir de un complejo de cadena.

Complejo de cadena normalizado

Dado un grupo abeliano simplicial existe un complejo de cadena llamado complejo de cadena normalizado con términos ${\displaystyle A_{\bullet }\in {\text{Ob}}({\text{s}}{\textbf {Ab}})}$ ${\displaystyle NA_{\bullet }}$

${\displaystyle NA_{n}=\bigcap _{i=0}^{n-1}\ker(d_{i})\subset A_{n}}$

y diferenciales dados por

${\displaystyle NA_{n}\xrightarrow {(-1)^{n}d_{n}} NA_{n-1}}$

Estos diferenciales están bien definidos debido a la identidad simplicial

${\displaystyle d_{i}\circ d_{n}=d_{n-1}\circ d_{i}:A_{n}\to A_{n-2}}$

mostrando la imagen de está en el núcleo de cada . Esto se debe a que la definición de da . Ahora, al componer estas diferenciales se obtiene un diagrama conmutativo ${\displaystyle d_{n}:NA_{n}\to A_{n-1}}$ ${\displaystyle d_{i}:NA_{n-1}\to NA_{n-2}}$ ${\displaystyle NA_{n}}$ ${\displaystyle d_{i}(NA_{n})=0}$

${\displaystyle NA_{n}\xrightarrow {(-1)^{n}d_{n}} NA_{n-1}\xrightarrow {(-1)^{n-1}d_{n-1}} NA_{n-2}}$

y el mapa de composición . Esta composición es el mapa cero debido a la identidad simplicial ${\displaystyle (-1)^{n}(-1)^{n-1}d_{n-1}\circ d_{n}}$

${\displaystyle d_{n-1}\circ d_{n}=d_{n-1}\circ d_{n-1}}$

y la inclusión , por lo tanto, el complejo de cadena normalizado es un complejo de cadena en . Debido a que un grupo abeliano simplicial es un funtor ${\displaystyle {\text{Im}}(d_{n})\subset NA_{n-1}}$ ${\displaystyle {\text{Ch}}_{\geq 0}({\textbf {Ab}})}$

${\displaystyle A_{\bullet }:{\text{Ord}}\to {\textbf {Ab}}}$

y los morfismos se dan por transformaciones naturales, lo que significa que los mapas de las identidades simpliciales todavía se mantienen, la construcción del complejo de cadena normalizada es funtorial. ${\displaystyle A_{\bullet }\to B_{\bullet }}$

Referencias

1. Goerss & Jardine (1999), Cap. 3. Corolario 2.3
2. Lurie, § 1.2.4.

• Goerss, Paul G.; Jardine, John F. (1999). Teoría de la homotopía simplicial . Progreso en matemáticas. Vol. 174. Basilea, Boston, Berlín: Birkhäuser. ISBN 978-3-7643-6064-1.
• Lurie, J. "Álgebra superior" (PDF) .Última actualización: agosto de 2017
• Mathew, Akhil. "La correspondencia Dold-Kan" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 13 de septiembre de 2016.
• Brown, Ronald ; Higgins, Philip J.; Sivera, Rafael (2011). Topología algebraica no abeliana: espacios filtrados, complejos cruzados, grupoides de homotopía cúbica . Tracts in Mathematics. Vol. 15. Zurich: European Mathematical Society . ISBN. 978-3-03719-083-8.

Lectura adicional

• Jacob Lurie , DAG-I

Enlaces externos

• Correspondencia Dold-Kan en el laboratorio n