En matemáticas , la botella de Klein ( / ˈk l aɪ n / ) es un ejemplo de superficie no orientable ; es decir, de manera informal, una superficie unilateral que, si se viaja sobre ella, podría seguirse hasta el punto de origen mientras se voltea al viajero. Más formalmente, la botella de Klein es una variedad bidimensional en la que no se puede definir un vector normal en cada punto que varía continuamente en toda la variedad. Otras superficies relacionadas no orientables incluyen la cinta de Möbius y el plano proyectivo real . Mientras que una tira de Möbius es una superficie con un límite , una botella de Klein no tiene límite. En comparación, una esfera es una superficie orientable sin límites.
La botella de Klein fue descrita por primera vez en 1882 por el matemático Felix Klein . [1]
El siguiente cuadrado es un polígono fundamental de la botella de Klein. La idea es "pegar" los bordes rojos y azules correspondientes con las flechas coincidentes, como se muestra en los diagramas siguientes. Tenga en cuenta que se trata de un pegado "abstracto" en el sentido de que intentar realizarlo en tres dimensiones da como resultado una botella de Klein que se intersecta a sí misma. [2]
Para construir la botella de Klein, pegue las flechas rojas del cuadrado (lados izquierdo y derecho), lo que dará como resultado un cilindro. Para pegar los extremos del cilindro de modo que las flechas de los círculos coincidan, se pasaría un extremo por el costado del cilindro. Esto crea una curva de autointersección; Se trata, pues, de una inmersión de la botella de Klein en el espacio tridimensional .
Esta inmersión es útil para visualizar muchas propiedades de la botella de Klein. Por ejemplo, la botella de Klein no tiene límite , donde la superficie se detiene abruptamente, y no es orientable , como se refleja en la unilateralidad de la inmersión.
El modelo físico común de una botella de Klein es una construcción similar. El Museo de Ciencias de Londres tiene en exhibición una colección de botellas de vidrio soplado a mano de Klein, que exhiben muchas variaciones sobre este tema topológico. Las botellas datan de 1995 y fueron fabricadas para el museo por Alan Bennett. [3]
La botella de Klein, propiamente dicha, no se cruza consigo misma. No obstante, hay una manera de visualizar la botella de Klein contenida en cuatro dimensiones. Al agregar una cuarta dimensión al espacio tridimensional, se puede eliminar la autointersección. Empuje suavemente un trozo del tubo que contiene la intersección a lo largo de la cuarta dimensión, fuera del espacio tridimensional original. Una analogía útil es considerar una curva que se interseca a sí misma en el plano; Las autointersecciones se pueden eliminar levantando una hebra del plano. [4]
Supongamos para aclarar que adoptamos el tiempo como esa cuarta dimensión. Considere cómo se podría construir la figura en el espacio xyzt . La ilustración adjunta ("Evolución del tiempo...") muestra una evolución útil de la figura. En t = 0 , la pared brota de un brote en algún lugar cerca del punto de "intersección". Después de que la figura ha crecido por un tiempo, la primera sección de la pared comienza a retroceder, desapareciendo como el gato de Cheshire pero dejando atrás su sonrisa en constante expansión. Cuando el frente de crecimiento llega a donde había estado el brote, no hay nada con lo que cruzarse y el crecimiento se completa sin perforar la estructura existente. La figura de 4 tal como se define no puede existir en el espacio de 3, pero se entiende fácilmente en el espacio de 4. [4]
Más formalmente, la botella de Klein es el espacio cociente descrito como el cuadrado [0,1] × [0,1] con lados identificados por las relaciones (0, y ) ~ (1, y ) para 0 ≤ y ≤ 1 y ( x , 0) ~ (1 − x , 1) para 0 ≤ x ≤ 1 .
Al igual que la tira de Möbius , la botella de Klein es una variedad bidimensional que no es orientable . A diferencia de la cinta de Möbius, es una variedad cerrada , lo que significa que es una variedad compacta sin límites. Mientras que la tira de Möbius puede incrustarse en el espacio euclidiano tridimensional R 3 , la botella de Klein no puede. Sin embargo, puede integrarse en R 4 . [4]
Es posible continuar con esta secuencia, por ejemplo creando una variedad 3 que no puede estar incrustada en R 4 pero que puede estar en R 5 ; En este caso, conectar dos extremos de un esférico entre sí de la misma manera que los dos extremos de un cilindro para una botella de Klein, crea una figura, denominada "botella de Klein esférico", que no se puede incrustar completamente en R. 4 . [5]
La botella de Klein puede verse como un haz de fibras sobre el círculo S 1 , con fibra S 1 , de la siguiente manera: se toma el cuadrado (módulo el borde que identifica la relación de equivalencia) de arriba como E , el espacio total, mientras que el espacio base B viene dado por el intervalo unitario en y , módulo 1~0 . La proyección π: E → B viene dada entonces por π([ x , y ]) = [ y ] .
La botella de Klein se puede construir (en un espacio de cuatro dimensiones, porque en un espacio de tres dimensiones no se puede hacer sin permitir que la superficie se cruce) uniendo los bordes de dos tiras de Möbius, como se describe en la siguiente quintilla de Leo Moser : [ 6]
Un matemático llamado Klein
pensaba que la banda de Möbius era divina.
Dijo: "Si pegas
los bordes de dos,
obtendrás una botella rara como la mía".
La construcción inicial de la botella de Klein mediante la identificación de los bordes opuestos de un cuadrado muestra que a la botella de Klein se le puede dar una estructura compleja CW con una P de 0 celdas , dos C1 , C2 de 1 celdas y una D de 2 celdas . Por tanto, su característica de Euler es 1 − 2 + 1 = 0 . El homomorfismo de frontera viene dado por ∂ D = 2 C 1 y ∂ C 1 = ∂ C 2 = 0 , lo que produce que los grupos de homología de la botella de Klein K sean H 0 ( K , Z ) = Z , H 1 ( K , Z ) = Z ×( Z /2 Z ) y H n ( K , Z ) = 0 para n > 1 .
Hay un mapa de cobertura 2-1 desde el toroide hasta la botella de Klein, porque dos copias de la región fundamental de la botella de Klein, colocada una junto a la imagen especular de la otra, producen una región fundamental del toroide. La tapa universal tanto del toroide como de la botella de Klein es el plano R 2 .
El grupo fundamental de la botella Klein se puede determinar como el grupo de transformaciones deck de la tapa universal y tiene la presentación ⟨ a , b | ab = b −1 a ⟩ . De ello se deduce que es isomorfo a , el único producto semidirecto no trivial del grupo aditivo de números enteros consigo mismo.
Seis colores son suficientes para colorear cualquier mapa en la superficie de una botella de Klein; ésta es la única excepción a la conjetura de Heawood , una generalización del teorema de los cuatro colores , que requeriría siete.
Una botella de Klein es homeomorfa a la suma conectada de dos planos proyectivos . [7] También es homeomorfo a una esfera más dos crucetas .
Cuando está inmersa en el espacio euclidiano, la botella de Klein tiene una cara. Sin embargo, hay otros 3 espacios topológicos, y en algunos de los ejemplos no orientables se puede incrustar una botella de Klein de manera que tenga dos caras, aunque debido a la naturaleza del espacio sigue siendo no orientable. [2]
Al diseccionar una botella de Klein en mitades a lo largo de su plano de simetría se obtienen dos tiras de Möbius reflejadas en espejo , es decir, una con una media torsión hacia la izquierda y la otra con una media torsión hacia la derecha (una de ellas se muestra a la derecha). . Recuerde que la intersección que se muestra en la foto no está realmente allí. [8]
Una descripción de los tipos de curvas simples cerradas que pueden aparecer en la superficie de la botella de Klein viene dada por el uso del primer grupo de homología de la botella de Klein calculado con coeficientes enteros. Este grupo es isomorfo a Z × Z 2 . Hasta la inversión de orientación, las únicas clases de homología que contienen curvas cerradas simples son las siguientes: (0,0), (1,0), (1,1), (2,0), (0,1). Hasta la inversión de la orientación de una curva cerrada simple, si se encuentra dentro de una de las dos tapas transversales que componen la botella de Klein, entonces está en clase de homología (1,0) o (1,1); si corta la botella de Klein en dos tiras de Möbius, entonces está en la clase de homología (2,0); si corta la botella de Klein en un anillo, entonces está en la clase de homología (0,1); y si limita un disco, entonces está en la clase de homología (0,0). [4]
Para hacer la inmersión en "figura de 8" o "bagel" de la botella de Klein, se puede comenzar con una tira de Möbius y rizarla para llevar el borde a la línea media; como sólo hay un borde, se encontrará allí, pasando por la línea media. Tiene una parametrización particularmente sencilla como toro en forma de "8" con media torsión: [4]
para 0 ≤ θ < 2π, 0 ≤ v < 2π y r > 2.
En esta inmersión, el círculo de autointersección (donde sen( v ) es cero) es un círculo geométrico en el plano xy . La constante positiva r es el radio de este círculo. El parámetro θ proporciona el ángulo en el plano xy así como la rotación de la figura 8, y v especifica la posición alrededor de la sección transversal en forma de 8. Con la parametrización anterior la sección transversal es una curva de Lissajous 2:1 .
Se puede modelar una parametrización 4-D que no se cruza a partir de la del toro plano :
donde R y P son constantes que determinan la relación de aspecto, θ y v son similares a los definidos anteriormente. v determina la posición alrededor de la figura 8, así como la posición en el plano xy. θ también determina el ángulo de rotación de la figura 8 y la posición alrededor del plano zw. ε es cualquier constante pequeña y ε sen v es un pequeño tope v dependiente en el espacio zw para evitar la autointersección. La protuberancia en v hace que la figura 8 plana/2-D que se interseca automáticamente se extienda en una "papa frita" estilizada en 3-D o en forma de silla de montar en el espacio xyw y xyz visto de borde. Cuando ε=0 la autointersección es un círculo en el plano zw <0, 0, cos θ , sin θ >. [4]
El toro pellizcado es quizás la parametrización más simple de la botella Klein tanto en tres como en cuatro dimensiones. Es un toro que, en tres dimensiones, se aplana y se atraviesa a sí mismo por un lado. Desafortunadamente, en tres dimensiones esta parametrización tiene dos puntos de pellizco , lo que la hace indeseable para algunas aplicaciones. En cuatro dimensiones, la amplitud z gira hacia la amplitud w y no hay autointersecciones ni puntos de pellizco. [4]
Se puede ver esto como un tubo o cilindro que se envuelve, como en un toro, pero su sección transversal circular se voltea en cuatro dimensiones, presentando su "parte trasera" cuando se reconecta, tal como una sección transversal de una tira de Möbius gira antes de volver a conectarse. La proyección ortogonal 3D de esto es el toro pellizcado que se muestra arriba. Así como una tira de Möbius es un subconjunto de un toro sólido, el tubo de Möbius es un subconjunto de una esfera toroidal cerrada (esferitoro sólido).
La parametrización de la inmersión tridimensional de la propia botella es mucho más complicada.
para 0 ≤ u < π y 0 ≤ v < 2π. [4]
Las inmersiones regulares en 3D de la botella de Klein se dividen en tres clases de homotopía regulares . [9] Los tres están representados por:
La inmersión tradicional en botella de Klein es aquiral . La inmersión en forma de 8 es quiral. (La inmersión del toro pellizcado anterior no es regular, ya que tiene puntos de pellizco, por lo que no es relevante para esta sección).
Si se corta la botella tradicional de Klein en su plano de simetría, se rompe en dos tiras de Möbius de quiralidad opuesta. Una botella de Klein en forma de 8 se puede cortar en dos tiras de Möbius de la misma quiralidad y no se puede deformar regularmente en su imagen especular. [4]
Pintar la botella tradicional de Klein en dos colores puede inducirle quiralidad, dividiendo su clase de homotopía en dos. [ cita necesaria ]
La generalización de la botella de Klein a un género superior se da en el artículo sobre el polígono fundamental . [10]
En otro orden de ideas, construyendo 3 variedades , se sabe que una botella de Klein sólida es homeomorfa al producto cartesiano de una tira de Möbius y un intervalo cerrado. La botella sólida de Klein es la versión no orientable del toro sólido , equivalente a
Una superficie de Klein es, al igual que las superficies de Riemann , una superficie con un atlas que permite componer los mapas de transición mediante conjugación compleja . Se puede obtener la llamada estructura dianalítica del espacio y tiene un solo lado. [11]
![{\displaystyle {\begin{aligned}x(u,v)=-&{\frac {2}{15}}\cos u\left(3\cos {v}-30\sin {u}+90\ porque ^{4}{u}\sin {u}\right.-\\&\left.60\cos ^{6}{u}\sin {u}+5\cos {u}\cos {v} \sin {u}\right)\\[3pt]y(u,v)=-&{\frac {1}{15}}\sin u\left(3\cos {v}-3\cos ^{ 2}{u}\cos {v}-48\cos ^{4}{u}\cos {v}+48\cos ^{6}{u}\cos {v}\right.-\\&60\ sin {u}+5\cos {u}\cos {v}\sin {u}-5\cos ^{3}{u}\cos {v}\sin {u}-\\&\left.80 \cos ^{5}{u}\cos {v}\sin {u}+80\cos ^{7}{u}\cos {v}\sin {u}\right)\\[3pt]z( u,v)=&{\frac {2}{15}}\left(3+5\cos {u}\sin {u}\right)\sin {v}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc5d921d40ba9c619980533c34235fd121d6e557)
