Esférico

Objeto geométrico

El esférico puede verse como el volumen entre dos 2 esferas (3 bolas) sólidas paralelas e iguales en un espacio de 4 dimensiones, aquí proyectado estereográficamente en 3D.

En geometría de cuatro dimensiones , el esférico , o cilindro esférico o prisma esférico , es un objeto geométrico, definido como el producto cartesiano de 3 bolas (o 2 esferas sólidas ) de radio r ₁ y un segmento de recta de longitud 2 r. ₂ :

${\displaystyle D=\{(x,y,z,w)|x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq r_{1}^{2},\ w^{2}\leq r_{2}^{2}\}}$

Al igual que el duocilindro , también es análogo a un cilindro en 3 espacios, que es el producto cartesiano de un disco con un segmento de recta .

Puede verse en un espacio tridimensional mediante proyección estereográfica como dos esferas concéntricas, de manera similar a como un teseracto (prisma cúbico) puede proyectarse como dos cubos concéntricos, y cómo un cilindro circular puede proyectarse en un espacio bidimensional como dos círculos concéntricos.

Relación con otras formas

En el espacio tridimensional, un cilindro puede considerarse intermedio entre un cubo y una esfera . En el 4-espacio hay tres formas intermedias entre el teseracto y la hiperesfera . En total, son los:

• teseracto (1 bola × 1 bola × 1 bola × 1 bola), cuya hipersuperficie son ocho cubos conectados en 24 cuadrados
• cubinder ^{[ cita necesaria ]} (2 bolas × 1 bola × 1 bola)
• esférico (3 bolas × 1 bola), cuya hipersuperficie son dos bolas 3 y una celda en forma de tubo conectada en las respectivas esferas delimitadoras de las bolas 3
• duocilindro (2 bolas × 2 bolas)
• glome ( bola 4 ), cuya hipersuperficie es una esfera de 3 sin ningún límite de conexión.

Estas construcciones corresponden a las cinco particiones de 4, el número de dimensiones.

Un esferitorus se construye cuando un esferito se dobla en forma de anillo, conectando sus dos tapas (es decir, si se arrastra una esfera alrededor de un círculo perpendicular a su espacio 3, se traza un esferitorus). Por otro lado, si los dos extremos de una esfera sin tapa se enrollan hacia adentro, la forma resultante es una torisfera.

Sistema de coordenadas esféricas

Se puede definir un sistema de coordenadas "esferíndrico" ( r , θ , φ , w ) , que consta de coordenadas esféricas con una coordenada adicional w . Esto es análogo a cómo se definen las coordenadas cilíndricas : r y φ son coordenadas polares con una coordenada de elevación z . Las coordenadas esferíndricas se pueden convertir a coordenadas cartesianas usando las fórmulas

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\cos \varphi \sin \theta \\y&=r\sin \varphi \sin \theta \\z&=r\cos \theta \\w&=w\end{aligned}}}$$

rθφw

$${\displaystyle {\begin{aligned}r&={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\\\varphi &=\arctan {\frac {y}{x}}\\\theta &=\operatorname {arccot} {\frac {z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\\w&=w\end{aligned}}}$$

elemento de hipervolumenjacobiano ${\displaystyle \mathrm {d} H=r^{2}\sin {\theta }\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi \,\mathrm {d} w,}$

Mediciones

hipervolumen

Dado un esférico con una base esférica de radio r y una altura h , el hipervolumen del esférico viene dado por

$${\displaystyle H={\frac {4}{3}}\pi r^{3}h}$$

Volumen de superficie

El volumen superficial de una esfera, al igual que el área superficial de un cilindro, se compone de tres partes:

• el volumen de la base superior: ${\textstyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$
• el volumen de la base inferior: ${\textstyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$
• el volumen de la superficie lateral 3D: , que es el área de la superficie de la base esférica multiplicada por la altura ${\textstyle 4\pi r^{2}h}$

Por lo tanto, el volumen superficial total es

$${\displaystyle SV={\frac {8}{3}}\pi r^{3}+4\pi r^{2}h}$$

Prueba

Las fórmulas anteriores para hipervolumen y volumen superficial se pueden probar mediante integración. El hipervolumen de una región 4D arbitraria viene dado por la integral cuádruple

$${\displaystyle H=\iiiint \limits _{D}\mathrm {d} H}$$

El hipervolumen del esferíndico se puede integrar en coordenadas esferíndricas.

$${\displaystyle H_{\mathrm {spherinder} }=\iiiint \limits _{D}\mathrm {d} H=\int _{0}^{h}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{R}r^{2}\sin {\theta }\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi \,\mathrm {d} w={\frac {4}{3}}\pi R^{3}h}$$

4 politopos relacionados

El prisma icosidodecaedro truncado relacionado está construido a partir de dos icosidodecaedros truncados conectados por prismas , que se muestran aquí en proyección estereográfica con algunos prismas ocultos.

El esférico está relacionado con las policoras prismáticas uniformes , que son producto cartesiano de un poliedro regular o semirregular y un segmento de recta . Hay dieciocho prismas uniformes convexos basados ​​en los sólidos platónicos y de Arquímedes ( prisma tetraédrico , prisma tetraédrico truncado , prisma cúbico , prisma cuboctaédrico , prisma octaédrico , prisma rombicuboctaédrico , prisma cúbico truncado , prisma octaédrico truncado , prisma cuboctaédrico truncado , prisma cúbico chato , dodecaédrico prisma , prisma icosidodecaédrico , prisma icosidodecaédrico , prisma dodecaédrico truncado , prisma rombicosidodecaédrico , prisma icosidodecaédrico truncado , prisma icosidodecaédrico truncado , prisma dodecaédrico chato ), más una familia infinita basada en antiprismas , y otra familia infinita de duoprismas uniformes , que son productos de dos regulares polígonos .

Ver también

• toro de clifford

Referencias

• La cuarta dimensión explicada de forma sencilla , Henry P. Manning, Munn & Company, 1910, Nueva York. Disponible en la biblioteca de la Universidad de Virginia. También accesible en línea: La cuarta dimensión explicada de forma sencilla: contiene una descripción de duoprismas y duocilindros (cilindros dobles)
• La guía visual de dimensiones adicionales: visualización de la cuarta dimensión, politopos de dimensiones superiores e hipersuperficies curvas , Chris McMullen, 2008, ISBN  978-1438298924