Álgebra homológica

rama de las matemáticas

Un diagrama utilizado en el lema de la serpiente , un resultado básico en álgebra homológica.

El álgebra homológica es la rama de las matemáticas que estudia la homología en un entorno algebraico general. Es una disciplina relativamente joven, cuyos orígenes se remontan a investigaciones en topología combinatoria (precursora de la topología algebraica ) y álgebra abstracta (teoría de módulos y sizigias ) a finales del siglo XIX, principalmente por Henri Poincaré y David Hilbert .

El álgebra homológica es el estudio de funtores homológicos y las intrincadas estructuras algebraicas que implican; su desarrollo estuvo estrechamente entrelazado con el surgimiento de la teoría de categorías . Un concepto central es el de complejos de cadenas , que pueden estudiarse mediante su homología y cohomología .

El álgebra homológica proporciona los medios para extraer información contenida en estos complejos y presentarla en forma de invariantes homológicas de anillos , módulos, espacios topológicos y otros objetos matemáticos "tangibles". Una secuencia espectral es una herramienta poderosa para esto.

Ha jugado un papel enorme en la topología algebraica. Su influencia se ha expandido gradualmente y actualmente incluye álgebra conmutativa , geometría algebraica , teoría algebraica de números , teoría de representaciones , física matemática , álgebras de operadores , análisis complejos y teoría de ecuaciones diferenciales parciales . La teoría K es una disciplina independiente que se basa en métodos de álgebra homológica, al igual que la geometría no conmutativa de Alain Connes .

Historia

El álgebra homológica comenzó a estudiarse en su forma más básica en el siglo XIX como una rama de la topología y en la década de 1940 se convirtió en una materia independiente con el estudio de objetos como el funtor ext y el funtor tor , entre otros. ^[1]

Complejos de cadenas y homología.

La noción de complejo de cadenas es central en el álgebra homológica. Un complejo de cadena abstracto es una secuencia de grupos abelianos y homomorfismos de grupo , con la propiedad de que la composición de dos aplicaciones consecutivas cualesquiera es cero: ${\displaystyle (C_{\bullet },d_{\bullet })}$

${\displaystyle C_{\bullet }:\cdots \longrightarrow C_{n+1}{\stackrel {d_{n+1}}{\longrightarrow }}C_{n}{\stackrel {d_{n}}{\longrightarrow }}C_{n-1}{\stackrel {d_{n-1}}{\longrightarrow }}\cdots ,\quad d_{n}\circ d_{n+1}=0.}$

Los elementos de C _n se llaman n - cadenas y los homomorfismos d _n se llaman mapas de límites o diferenciales . Los grupos de cadena _Cn pueden estar dotados de estructura adicional; por ejemplo , pueden ser espacios vectoriales o módulos sobre un anillo fijo R. Los diferenciales deben preservar la estructura extra si existe; por ejemplo, deben ser aplicaciones lineales u homomorfismos de R -módulos. Por conveniencia de notación, restrinja la atención a los grupos abelianos (más correctamente, a la categoría Ab de los grupos abelianos); un célebre teorema de Barry Mitchell implica que los resultados se generalizarán a cualquier categoría abeliana . Cada complejo de cadenas define dos secuencias adicionales de grupos abelianos, los ciclos Z _n  = Ker d _n y los límites B _n  = Im d _{n +1} , donde Ker  d e Im  d denotan el núcleo y la imagen de d . Dado que la composición de dos mapas de límites consecutivos es cero, estos grupos están integrados entre sí como

${\displaystyle B_{n}\subseteq Z_{n}\subseteq C_{n}.}$

Los subgrupos de grupos abelianos son automáticamente normales ; por lo tanto, podemos definir el n- ésimo grupo de homología H _n ( C ) como el grupo de factores de los n -ciclos por los n -límites,

${\displaystyle H_{n}(C)=Z_{n}/B_{n}=\operatorname {Ker} \,d_{n}/\operatorname {Im} \,d_{n+1}.}$

Un complejo de cadena se llama secuencia acíclica o exacta si todos sus grupos de homología son cero.

Los complejos de cadenas surgen en abundancia en álgebra y topología algebraica . Por ejemplo, si X es un espacio topológico , entonces las cadenas singulares C _n ( X ) son combinaciones lineales formales de aplicaciones continuas del estándar n - simplex en X ; si K es un complejo simplicial entonces las cadenas simpliciales C _n ( K ) son combinaciones lineales formales de los n -simplices de K ; si A  =  F / R es una presentación de un grupo abeliano A por generadores y relaciones , donde F es un grupo abeliano libre abarcado por los generadores y R es el subgrupo de relaciones, entonces sea C ₁ ( A ) =  R , C ₀ ( A ) =  F , y C _n ( A ) = 0 para todos los demás n define una secuencia de grupos abelianos. En todos estos casos, existen diferenciales naturales d _n que convierten a C _n en un complejo de cadena, cuya homología refleja la estructura del espacio topológico X , el complejo simplicial K o el grupo abeliano A. En el caso de los espacios topológicos llegamos a la noción de homología singular , que juega un papel fundamental en la investigación de las propiedades de tales espacios, por ejemplo, las variedades .

A nivel filosófico, el álgebra homológica nos enseña que ciertos complejos de cadenas asociados con objetos algebraicos o geométricos (espacios topológicos, complejos simpliciales, módulos R ) contienen mucha información algebraica valiosa sobre ellos, siendo la homología sólo la parte más fácilmente disponible. . A nivel técnico, el álgebra homológica proporciona las herramientas para manipular complejos y extraer esta información. Aquí hay dos ilustraciones generales.

• Dos objetos X e Y están conectados por un mapa f entre ellos. El álgebra homológica estudia la relación, inducida por el mapa f , entre complejos de cadenas asociados con X e Y y su homología. Esto se generaliza al caso de varios objetos y mapas que los conectan. Expresado en el lenguaje de la teoría de categorías , el álgebra homológica estudia las propiedades funtoriales de diversas construcciones de complejos de cadenas y de la homología de estos complejos.
• Un objeto X admite múltiples descripciones (por ejemplo, como espacio topológico y como complejo simplicial) o el complejo se construye utilizando alguna "presentación" de X , lo que implica elecciones no canónicas. Es importante conocer el efecto del cambio en la descripción de X sobre los complejos de cadena asociados con X. Normalmente, el complejo y su homología son funcionales con respecto a la presentación; y la homología ( aunque no el complejo en sí) es en realidad independiente de la presentación elegida, por lo que es una invariante de X. ${\displaystyle C_{\bullet }(X)}$ ${\displaystyle H_{\bullet }(C)}$

Herramientas estándar

Secuencias exactas

En el contexto de la teoría de grupos , una secuencia

${\displaystyle G_{0}\;{\xrightarrow {f_{1}}}\;G_{1}\;{\xrightarrow {f_{2}}}\;G_{2}\;{\xrightarrow {f_{3}}}\;\cdots \;{\xrightarrow {f_{n}}}\;G_{n}}$

de grupos y homomorfismos de grupo se llama exacto si la imagen de cada homomorfismo es igual al núcleo del siguiente:

${\displaystyle \mathrm {im} (f_{k})=\mathrm {ker} (f_{k+1}).\!}$

Tenga en cuenta que la secuencia de grupos y homomorfismos puede ser finita o infinita.

Se puede hacer una definición similar para otras estructuras algebraicas . Por ejemplo, se podría tener una secuencia exacta de espacios vectoriales y aplicaciones lineales , o de módulos y homomorfismos de módulos . De manera más general, la noción de una secuencia exacta tiene sentido en cualquier categoría con granos y cocas .

Corto

El tipo más común de secuencia exacta es la secuencia exacta corta . Esta es una secuencia exacta de la forma.

${\displaystyle A\;{\overset {f}{\hookrightarrow }}\;B\;{\overset {g}{\twoheadrightarrow }}\;C}$

donde ƒ es un monomorfismo y g es un epimorfismo . En este caso, A es un subobjeto de B y el cociente correspondiente es isomorfo a C :

${\displaystyle C\cong B/f(A).}$

(donde f(A) = im( f )).

Una secuencia exacta corta de grupos abelianos también se puede escribir como una secuencia exacta con cinco términos:

${\displaystyle 0\;{\xrightarrow {}}\;A\;{\xrightarrow {f}}\;B\;{\xrightarrow {g}}\;C\;{\xrightarrow {}}\;0}$

donde 0 representa el objeto cero , como el grupo trivial o un espacio vectorial de dimensión cero. La ubicación de los 0 obliga a ƒ a ser un monomorfismo y g a ser un epimorfismo (ver más abajo).

Largo

Una secuencia exacta larga es una secuencia exacta indexada por los números naturales .

cinco lemas

Considere el siguiente diagrama conmutativo en cualquier categoría abeliana (como la categoría de grupos abelianos o la categoría de espacios vectoriales sobre un campo determinado ) o en la categoría de grupos .

El cinco lema establece que, si las filas son exactas , m y p son isomorfismos , l es un epimorfismo y q es un monomorfismo , entonces n también es un isomorfismo.

Lema de la serpiente

En una categoría abeliana (como la categoría de grupos abelianos o la categoría de espacios vectoriales sobre un campo determinado ), considere un diagrama conmutativo :

donde las filas son secuencias exactas y 0 es el objeto cero . Luego hay una secuencia exacta que relaciona los núcleos y los núcleos de a , b y c :

${\displaystyle \ker a\to \ker b\to \ker c{\overset {d}{\to }}\operatorname {coker} a\to \operatorname {coker} b\to \operatorname {coker} c}$

Además, si el morfismo f es un monomorfismo , entonces también lo es el morfismo ker  a → ker  b , y si g' es un epimorfismo , entonces también lo es coker  b → coker  c .

Categorías abelianas

En matemáticas , una categoría abeliana es una categoría en la que se pueden agregar morfismos y objetos y en la que los núcleos y los núcleos existen y tienen propiedades deseables. El ejemplo prototipo motivador de una categoría abeliana es la categoría de grupos abelianos , Ab . La teoría se originó en un intento tentativo de unificar varias teorías de cohomología por parte de Alexander Grothendieck . Las categorías abelianas son categorías muy estables , por ejemplo son regulares y satisfacen el lema de la serpiente . La clase de categorías abelianas está cerrada bajo varias construcciones categóricas, por ejemplo, la categoría de complejos de cadena de una categoría abeliana, o la categoría de funtores de una categoría pequeña a una categoría abeliana también son abelianas. Estas propiedades de estabilidad las hacen inevitables en el álgebra homológica y más allá; la teoría tiene aplicaciones importantes en geometría algebraica , cohomología y teoría de categorías puras . Las categorías abelianas llevan el nombre de Niels Henrik Abel .

Más concretamente, una categoría es abeliana si

• tiene un objeto cero ,
• tiene todos los productos binarios y coproductos binarios , y
• tiene todas las pepitas y cochinillas .
• todos los monomorfismos y epimorfismos son normales .

funtor derivado

Supongamos que nos dan un funtor exacto izquierdo covariante F  : A → B entre dos categorías abelianas A y B . Si 0 → A → B → C → 0 es una secuencia corta y exacta en A , entonces al aplicar F se obtiene la secuencia exacta 0 → F ( A ) → F ( B ) → F ( C ) y uno podría preguntarse cómo continuar esta secuencia hacia la derecha para formar una secuencia larga y exacta. Estrictamente hablando, esta pregunta está mal planteada, ya que siempre hay numerosas formas diferentes de continuar una secuencia exacta hacia la derecha. Pero resulta que (si A es lo suficientemente "agradable") hay una forma canónica de hacerlo, dada por los functores derivados derechos de F . Para cada i ≥1, hay un funtor R ⁱ F : A → B , y la secuencia anterior continúa así: 0 → F ( A ) → F ( B ) → F ( C ) → R ¹ F ( A ) → R ¹ F ( B ) → R ¹ F ( C ) → R ² F ( A ) → R ² F ( B ) → ... . De esto vemos que F es un funtor exacto si y sólo si R ¹ F = 0; entonces, en cierto sentido, los functores derivados correctos de F miden "qué tan lejos" está F de ser exacto.

funtor externo

Sea R un anillo y sea Mod _R la categoría de módulos sobre R . Sea B en Mod _R y establezca T ( B ) = Hom _R ( A ,B ), para A fijo en Mod _R. Este es un functor exacto a la izquierda y, por lo tanto, tiene funtores derivados a la derecha R ⁿ T . El functor Ext está definido por

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{n}(A,B)=(R^{n}T)(B).}$

Esto se puede calcular tomando cualquier resolución inyectiva.

${\displaystyle 0\rightarrow B\rightarrow I^{0}\rightarrow I^{1}\rightarrow \cdots ,}$

y computacion

${\displaystyle 0\rightarrow \operatorname {Hom} _{R}(A,I^{0})\rightarrow \operatorname {Hom} _{R}(A,I^{1})\rightarrow \cdots .}$

Entonces ( R ⁿ T )( B ) es la homología de este complejo. Tenga en cuenta que Hom _R ( A,B ) está excluido del complejo.

Se da una definición alternativa utilizando el funtor G ( A )=Hom _R ( A,B ). Para un módulo fijo B , este es un functor exacto izquierdo contravariante y, por lo tanto, también tenemos funtores derivados derecho R ⁿ G , y podemos definir

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{n}(A,B)=(R^{n}G)(A).}$

Esto se puede calcular eligiendo cualquier resolución proyectiva.

${\displaystyle \dots \rightarrow P^{1}\rightarrow P^{0}\rightarrow A\rightarrow 0,}$

y procediendo dualmente calculando

${\displaystyle 0\rightarrow \operatorname {Hom} _{R}(P^{0},B)\rightarrow \operatorname {Hom} _{R}(P^{1},B)\rightarrow \cdots .}$

Entonces ( R ⁿ G )( A ) es la homología de este complejo. Nuevamente tenga en cuenta que Hom _R ( A,B ) está excluido.

Estas dos construcciones producen resultados isomórficos , por lo que ambas pueden usarse para calcular el functor Ext.

funtor tor

Supongamos que R es un anillo y se denota por R - Mod la categoría de R -módulos izquierdos y por Mod - R la categoría de R -módulos derechos (si R es conmutativo , las dos categorías coinciden). Arreglar un módulo B en R - Mod . Para A en Mod - R , establezca T ( A ) = A ⊗ _R B. Entonces T es un funtor exacto derecho de Mod - R a la categoría de grupos abelianos Ab (en el caso de que R sea conmutativo, es un funtor exacto derecho de Mod - R a Mod - R ) y sus funtores derivados izquierdos L _n T están definidos. Establecimos

${\displaystyle \mathrm {Tor} _{n}^{R}(A,B)=(L_{n}T)(A)}$

es decir, tomamos una resolución proyectiva

${\displaystyle \cdots \rightarrow P_{2}\rightarrow P_{1}\rightarrow P_{0}\rightarrow A\rightarrow 0}$

luego elimine el término A y tensor la resolución proyectiva con B para obtener el complejo

${\displaystyle \cdots \rightarrow P_{2}\otimes _{R}B\rightarrow P_{1}\otimes _{R}B\rightarrow P_{0}\otimes _{R}B\rightarrow 0}$

(tenga en cuenta que A ⊗ _R B no aparece y la última flecha es solo el mapa cero) y tome la homología de este complejo.

Secuencia espectral

Fije una categoría abeliana , como una categoría de módulos sobre un anillo. Una secuencia espectral es una elección de un número entero no negativo r ₀ y una colección de tres secuencias:

1. Para todos los números enteros r ≥ r ₀ , un objeto E _r , llamado hoja (como en una hoja de papel ), o a veces página o término ,
2. Endomorfismos d _r  : E _r → E _r que satisfacen d _r o d _r = 0, llamados mapas de límites o diferenciales ,
3. Isomorfismos de E _r+1 con H ( E _r ), la homología de E _r con respecto a d _r .

La hoja E ₂ de una secuencia espectral cohomológica.

Una secuencia espectral doblemente graduada tiene una enorme cantidad de datos para realizar un seguimiento, pero existe una técnica de visualización común que aclara la estructura de la secuencia espectral. Tenemos tres índices, r , p y q . Para cada r , imagina que tenemos una hoja de papel cuadriculado. En esta hoja, tomaremos p como la dirección horizontal y q como la dirección vertical. En cada punto de la red tenemos el objeto . ${\displaystyle E_{r}^{p,q}}$

Es muy común que n = p + q sea otro índice natural en la secuencia espectral. n corre diagonalmente, de noroeste a sureste, a través de cada hoja. En el caso homológico, los diferenciales tienen bigrado (− r ,  r  − 1), por lo que disminuyen n en uno. En el caso cohomológico, n se incrementa en uno. Cuando r es cero, el diferencial mueve los objetos un espacio hacia arriba o hacia abajo. Esto es similar al diferencial en un complejo de cadenas. Cuando r es uno, el diferencial mueve los objetos un espacio hacia la izquierda o hacia la derecha. Cuando r es dos, el diferencial mueve los objetos como el movimiento de un caballo en el ajedrez . Para r mayor , el diferencial actúa como un movimiento de caballo generalizado.

Funcionalidad

Un mapa continuo de espacios topológicos da lugar a un homomorfismo entre sus n -ésimos grupos de homología para todos n . Este hecho básico de la topología algebraica encuentra una explicación natural a través de ciertas propiedades de los complejos de cadenas. Dado que es muy común estudiar varios espacios topológicos simultáneamente, en álgebra homológica se llega a la consideración simultánea de múltiples complejos de cadenas.

Un morfismo entre dos complejos de cadenas es una familia de homomorfismos de grupos abelianos que conmutan con los diferenciales, en el sentido de que para todo n . Un morfismo de complejos de cadenas induce un morfismo de sus grupos de homología, que consiste en homomorfismos para todos n . Un morfismo F se llama cuasi-isomorfismo si induce un isomorfismo en la enésima homología para todo n . ${\displaystyle F:C_{\bullet }\to D_{\bullet },}$ ${\displaystyle F_{n}:C_{n}\to D_{n}}$ ${\displaystyle F_{n-1}\circ d_{n}^{C}=d_{n}^{D}\circ F_{n}}$ ${\displaystyle H_{\bullet }(F)}$ ${\displaystyle H_{n}(F):H_{n}(C)\to H_{n}(D)}$

Muchas construcciones de complejos de cadenas que surgen en álgebra y geometría, incluida la homología singular , tienen la siguiente propiedad de funtorialidad : si dos objetos X e Y están conectados por un mapa f , entonces los complejos de cadenas asociados están conectados por un morfismo y, además, la composición de los mapas f :  X  →  Y y g :  Y  →  Z inducen el morfismo que coincide con la composición . De ello se deduce que los grupos de homología son funtoriales también, de modo que los morfismos entre objetos algebraicos o topológicos dan lugar a mapas compatibles entre su homología. ${\displaystyle F=C(f):C_{\bullet }(X)\to C_{\bullet }(Y),}$ ${\displaystyle g\circ f}$ ${\displaystyle C(g\circ f):C_{\bullet }(X)\to C_{\bullet }(Z)}$ ${\displaystyle C(g)\circ C(f).}$ ${\displaystyle H_{\bullet }(C)}$

La siguiente definición surge de una situación típica en álgebra y topología. Un triple que consta de tres complejos de cadenas y dos morfismos entre ellos, se llama triple exacto , o secuencia corta exacta de complejos , y se escribe como ${\displaystyle L_{\bullet },M_{\bullet },N_{\bullet }}$ ${\displaystyle f:L_{\bullet }\to M_{\bullet },g:M_{\bullet }\to N_{\bullet },}$

${\displaystyle 0\longrightarrow L_{\bullet }{\overset {f}{\longrightarrow }}M_{\bullet }{\overset {g}{\longrightarrow }}N_{\bullet }\longrightarrow 0,}$

si para cualquier n , la secuencia

${\displaystyle 0\longrightarrow L_{n}{\overset {f_{n}}{\longrightarrow }}M_{n}{\overset {g_{n}}{\longrightarrow }}N_{n}\longrightarrow 0}$

es una secuencia corta y exacta de grupos abelianos. Por definición, esto significa que f _n es una inyección , g _n es una sobreyección e Im f _n  = Ker g _n . Uno de los teoremas más básicos del álgebra homológica, a veces conocido como lema en zig-zag , establece que, en este caso, existe una secuencia exacta larga en homología.

${\displaystyle \cdots \longrightarrow H_{n}(L){\overset {H_{n}(f)}{\longrightarrow }}H_{n}(M){\overset {H_{n}(g)}{\longrightarrow }}H_{n}(N){\overset {\delta _{n}}{\longrightarrow }}H_{n-1}(L){\overset {H_{n-1}(f)}{\longrightarrow }}H_{n-1}(M)\longrightarrow \cdots ,}$

donde los grupos de homología de L , M y N se suceden cíclicamente, y δn son ciertos homomorfismos determinados por _f y g , llamados homomorfismos de conexión . Las manifestaciones topológicas de este teorema incluyen la secuencia de Mayer-Vietoris y la secuencia larga exacta de homología relativa .

Aspectos fundacionales

Se han definido teorías de cohomología para muchos objetos diferentes, como espacios topológicos , haces , grupos , anillos , álgebras de Lie y álgebras C* . El estudio de la geometría algebraica moderna sería casi impensable sin la cohomología de la gavilla .

Central al álgebra homológica es la noción de secuencia exacta ; Estos se pueden utilizar para realizar cálculos reales. Una herramienta clásica del álgebra homológica es la del funtor derivado ; los ejemplos más básicos son los functores Ext y Tor .

Teniendo en mente un conjunto diverso de aplicaciones, era natural tratar de uniformar todo el tema. Hubo varios intentos antes de que el tema se calmara. Una historia aproximada se puede enunciar de la siguiente manera:

• Cartan - Eilenberg : En su libro de 1956 "Álgebra homológica", estos autores utilizaron resoluciones de módulos proyectivos e inyectivos .
• 'Tohoku': El enfoque en un célebre artículo de Alexander Grothendieck que apareció en la Segunda Serie del Tohoku Mathematical Journal en 1957, utilizando el concepto de categoría abeliana (para incluir haces de grupos abelianos).
• La categoría derivada de Grothendieck y Verdier . Las categorías derivadas se remontan a la tesis de Verdier de 1967. Son ejemplos de categorías trianguladas utilizadas en varias teorías modernas.

Estos pasan de la computabilidad a la generalidad.

El mazo computacional por excelencia es la secuencia espectral ; estos son esenciales en los enfoques de Cartan-Eilenberg y Tohoku donde son necesarios, por ejemplo, para calcular los functores derivados de una composición de dos functores. Las secuencias espectrales son menos esenciales en el enfoque de categorías derivadas, pero aún desempeñan un papel siempre que sean necesarios cálculos concretos.

Ha habido intentos de teorías "no conmutativas" que extienden la primera cohomología como torsores (importantes en la cohomología de Galois ).

Ver también

• Tonterías abstractas , un término para el álgebra homológica y la teoría de categorías.
• Derivador
• Álgebra homotópica
• Lista de temas de álgebra homológica

Referencias

1. Weibel, Charles A. (1999). "Historia del Álgebra Homológica". Historia de la Topología . págs. 797–836. doi :10.1016/b978-044482375-5/50029-8. ISBN 9780444823755.

• Henri Cartan , Samuel Eilenberg , Álgebra homológica . Con apéndice de David A. Buchsbaum. Reimpresión del original de 1956. Hitos de Princeton en matemáticas. Princeton University Press, Princeton, Nueva Jersey, 1999. xvi+390 págs. ISBN 0-691-04991-2 
• Grothendieck, Alejandro (1957). "Sur quelques point d'algèbre homologique, I". Revista matemática de Tohoku . 9 (2): 119–221. doi : 10.2748/tmj/1178244839 .
• Saunders Mac Lane , Homología . Reimpresión de la edición de 1975. Clásicos en Matemáticas. Springer-Verlag, Berlín, 1995. x+422 págs. ISBN 3-540-58662-8 
• Peter Hilton ; Stammbach, U. Un curso de álgebra homológica . Segunda edicion. Textos de posgrado en matemáticas, 4. Springer-Verlag, Nueva York, 1997. xii+364 págs. ISBN 0-387-94823-6 
• Gelfand, Serguéi I.; Yuri Manin , Métodos de álgebra homológica . Traducido de la edición rusa de 1988. Segunda edicion. Monografías de Springer en Matemáticas. Springer-Verlag, Berlín, 2003. xx+372 págs. ISBN 3-540-43583-2 
• Gelfand, Serguéi I.; Yuri Manin, Álgebra homológica . Traducido del original ruso de 1989 por los autores. Reimpresión de la edición original en inglés de la serie Encyclopaedia of Mathematical Sciences ( Algebra , V, Encyclopaedia Math. Sci., 38, Springer, Berlín, 1994). Springer-Verlag, Berlín, 1999. iv+222 págs. ISBN 3-540-65378-3 
• Weibel, Charles A. (1994). Una introducción al álgebra homológica . Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas. vol. 38. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-55987-4. SEÑOR  1269324. OCLC  36131259.