El cokernel de un mapeo lineal de espacios vectoriales f : X → Y es el espacio cociente Y / im( f ) del codominio de f por la imagen de f . La dimensión del cokernel se llama corank de f .
Los cokernels son duales a los núcleos de la teoría de categorías , de ahí el nombre: el kernel es un subobjeto del dominio (se asigna al dominio), mientras que el cokernel es un objeto cociente del codominio (se asigna desde el codominio).
Intuitivamente, dada una ecuación f ( x ) = y que se busca resolver, el cokernel mide las restricciones que y debe satisfacer para que esta ecuación tenga una solución (las obstrucciones a una solución) mientras que el kernel mide los grados de libertad en una solución, si existe. Esto se explica intuitivamente a continuación.
De manera más general, el cokernel de un morfismo f : X → Y en alguna categoría (por ejemplo, un homomorfismo entre grupos o un operador lineal acotado entre espacios de Hilbert ) es un objeto Q y un morfismo q : Y → Q tal que la composición qf es la morfismo cero de la categoría, y además q es universal con respecto a esta propiedad. A menudo se entiende el mapa q , y el propio Q se llama cokernel de f .
En muchas situaciones en álgebra abstracta , como para grupos abelianos , espacios vectoriales o módulos , el cokernel del homomorfismo f : X → Y es el cociente de Y por la imagen de f . En entornos topológicos , como con operadores lineales acotados entre espacios de Hilbert, normalmente hay que cerrar la imagen antes de pasar al cociente.
Se puede definir el cokernel en el marco general de la teoría de categorías . Para que la definición tenga sentido la categoría en cuestión debe tener cero morfismos . El cokernel de un morfismo f : X → Y se define como el coecualizador de f y el morfismo cero 0 XY : X → Y .
Explícitamente, esto significa lo siguiente. El cokernel de f : X → Y es un objeto Q junto con un morfismo q : Y → Q tal que el diagrama
viaja . Además, el morfismo q debe ser universal para este diagrama, es decir, cualquier otro q ′ : Y → Q ′ se puede obtener componiendo q con un morfismo único u : Q → Q ′ :
Como ocurre con todas las construcciones universales, el cokernel, si existe, es único hasta un isomorfismo único , o más precisamente: si q : Y → Q y q ′ : Y → Q ′ son dos cokernels de f : X → Y , entonces hay Existe un isomorfismo único u : Q → Q ′ con q' = u q .
Como todos los coecualizadores, el cokernel q : Y → Q es necesariamente un epimorfismo . Por el contrario, un epimorfismo se llama normal (o conormal ) si es el núcleo de algún morfismo. Una categoría se llama conormal si cada epimorfismo es normal (por ejemplo, la categoría de grupos es conormal).
En la categoría de grupos , el cokernel de un homomorfismo de grupo f : G → H es el cociente de H por el cierre normal de la imagen de f . En el caso de los grupos abelianos , dado que cada subgrupo es normal, el cokernel es simplemente H módulo de la imagen de f :
En una categoría preaditiva , tiene sentido sumar y restar morfismos. En tal categoría, el coecualizador de dos morfismos f y g (si existe) es solo el núcleo de su diferencia:
En una categoría abeliana (un tipo especial de categoría preaditiva), la imagen y coimagen de un morfismo f están dadas por
En particular, toda categoría abeliana es normal (y también conormal). Es decir, cada monomorfismo m puede escribirse como el núcleo de algún morfismo. Específicamente, m es el núcleo de su propio cokernel:
Se puede pensar en el cokernel como el espacio de restricciones que una ecuación debe satisfacer, como el espacio de obstrucciones , así como el kernel es el espacio de soluciones.
Formalmente, se puede conectar el núcleo y el conúcleo de una aplicación T : V → W mediante la secuencia exacta
Estos se pueden interpretar así: dada una ecuación lineal T ( v ) = w para resolver,
La dimensión del cokernel más la dimensión de la imagen (el rango) se suman a la dimensión del espacio objetivo, ya que la dimensión del espacio cociente W / T ( V ) es simplemente la dimensión del espacio menos la dimensión del imagen.
Como ejemplo simple, considere el mapa T : R 2 → R 2 , dado por T ( x , y ) = (0, y ) . Entonces, para que una ecuación T ( x , y ) = ( a , b ) tenga solución, debemos tener a = 0 (una restricción), y en ese caso el espacio de solución es ( x , b ) , o equivalentemente, ( 0, b ) + ( x , 0) , (un grado de libertad). El núcleo se puede expresar como el subespacio ( x , 0) ⊆ V : el valor de x es la libertad en una solución. El cokernel se puede expresar mediante el mapa de valores reales W : ( a , b ) → ( a ) : dado un vector ( a , b ) , el valor de a es el obstáculo para que haya una solución.
Además, se puede considerar el cokernel como algo que "detecta" sobreyecciones de la misma manera que el kernel "detecta" inyecciones . Una aplicación es inyectiva si y sólo si su núcleo es trivial, y una aplicación es sobreyectiva si y sólo si su conúcleo es trivial, o en otras palabras, si W = im( T ) .
