En la teoría de categorías y sus aplicaciones a otras ramas de las matemáticas , los núcleos son una generalización de los núcleos de homomorfismos de grupo , los núcleos de homomorfismos de módulo y algunos otros núcleos del álgebra . Intuitivamente, el núcleo del morfismo f : X → Y es el morfismo "más general" k : K → X que produce cero cuando se compone con (seguido de) f .
Tenga en cuenta que los pares de núcleos y los núcleos de diferencia (también conocidos como ecualizadores binarios ) a veces reciben el nombre de "núcleo"; Si bien están relacionados, no son exactamente lo mismo y no se analizan en este artículo.
Sea C una categoría . Para definir un núcleo en el sentido teórico de categorías general, C necesita tener cero morfismos . En ese caso, si f : X → Y es un morfismo arbitrario en C , entonces un núcleo de f es un ecualizador de f y el morfismo cero de X a Y . En símbolos:
Para ser más explícito, se puede utilizar la siguiente propiedad universal . Un núcleo de f es un objeto K junto con un morfismo k : K → X tal que:
Como para toda propiedad universal, existe un isomorfismo único entre dos núcleos del mismo morfismo, y el morfismo k es siempre un monomorfismo (en el sentido categórico). Entonces, es común hablar del núcleo de un morfismo. En categorías concretas , se puede tomar un subconjunto de K ′ para K , en cuyo caso, el morfismo k es el mapa de inclusión . Esto permite hablar de K como el núcleo, ya que f está implícitamente definido por K. Hay categorías no concretas, donde se puede definir de manera similar un núcleo "natural", de modo que K defina k implícitamente.
No todos los morfismos necesitan tener un núcleo, pero si lo tienen, entonces todos sus núcleos son isomorfos en un sentido fuerte: si k : K → X y ℓ : L → X son núcleos de f : X → Y , entonces existe un isomorfismo único φ : K → L tal que ℓ ∘φ = k .
Los núcleos son familiares en muchas categorías del álgebra abstracta , como la categoría de grupos o la categoría de módulos (izquierdos) sobre un anillo fijo (incluidos espacios vectoriales sobre un campo fijo ). Para ser explícito, si f : X → Y es un homomorfismo en una de estas categorías, y K es su núcleo en el sentido algebraico habitual , entonces K es una subálgebra de X y el homomorfismo de inclusión de K a X es un núcleo en la sentido categórico.
Tenga en cuenta que en la categoría de monoides , los núcleos teóricos de categorías existen al igual que para los grupos, pero estos núcleos no contienen suficiente información para propósitos algebraicos. Por lo tanto, la noción de núcleo estudiada en la teoría de monoides es ligeramente diferente (ver #Relación con los núcleos algebraicos a continuación).
En la categoría de anillos unitarios , no hay núcleos en el sentido teórico de la categoría; de hecho, esta categoría ni siquiera tiene cero morfismos. Sin embargo, todavía existe una noción de núcleo estudiada en la teoría de anillos que corresponde a los núcleos en la categoría de anillos no unitarios .
En la categoría de espacios topológicos puntiagudos , si f : X → Y es un mapa puntiagudo continuo, entonces la preimagen del punto distinguido, K , es un subespacio de X . El mapa de inclusión de K en X es el núcleo categórico de f .
El concepto dual al de kernel es el de cokernel . Es decir, el núcleo de un morfismo es su conúcleo en la categoría opuesta , y viceversa.
Como se mencionó anteriormente, un kernel es un tipo de ecualizador binario o kernel de diferencia . Por el contrario, en una categoría preaditiva , cada ecualizador binario se puede construir como un núcleo. Para ser específico, el ecualizador de los morfismos f y g es el núcleo de la diferencia g - f . En símbolos:
Es por este hecho que los ecualizadores binarios se denominan "núcleos de diferencia", incluso en categorías no preaditivas donde los morfismos no se pueden restar.
Cada núcleo, como cualquier otro ecualizador, es un monomorfismo . Por el contrario, un monomorfismo se llama normal si es el núcleo de algún morfismo. Una categoría se llama normal si todo monomorfismo es normal.
Las categorías abelianas , en particular, son siempre normales. En esta situación, el núcleo de cualquier morfismo (que siempre existe en una categoría abeliana) resulta ser la imagen de ese morfismo; en símbolos:
Cuando m es un monomorfismo, debe ser su propia imagen; por lo tanto, no sólo las categorías abelianas son normales, de modo que cada monomorfismo es un núcleo, sino que también sabemos de qué morfismo el monomorfismo es un núcleo, es decir, su conúcleo. En símbolos:
El álgebra universal define una noción de núcleo para homomorfismos entre dos estructuras algebraicas del mismo tipo. Este concepto de núcleo mide qué tan lejos está el homomorfismo dado de ser inyectivo . Existe cierta superposición entre esta noción algebraica y la noción categórica de núcleo ya que ambas generalizan la situación de grupos y módulos mencionados anteriormente. En general, sin embargo, la noción algebraica universal de núcleo se parece más al concepto teórico de categorías de par de núcleos . En particular, los pares de núcleos se pueden utilizar para interpretar núcleos en la teoría de monoides o en la teoría de anillos en términos de teoría de categorías.