Lista de teorías de cohomología

Esta es una lista de algunas de las teorías de homología y cohomología ordinarias y generalizadas (o extraordinarias) en topología algebraica que se definen en las categorías de complejos o espectros de CW . Para otros tipos de teorías de homología, consulte los enlaces al final de este artículo.

Notación

• ${\displaystyle S=\pi =S^{0}}$es el espectro de la esfera.
• ${\displaystyle S^{n}}$es el espectro de la esfera -dimensional ${\displaystyle n}$
• ${\displaystyle S^{n}Y=S^{n}\land Y}$es la ésima suspensión de un espectro . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle Y}$
• ${\displaystyle [X,Y]}$es el grupo abeliano de morfismos del espectro al espectro , dados (aproximadamente) como clases de homotopía de mapas. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$
• ${\displaystyle [X,Y]_{n}=[S^{n}X,Y]}$
• ${\displaystyle [X,Y]_{*}}$es el grupo abeliano graduado dado como la suma de los grupos . ${\displaystyle [X,Y]_{n}}$
• ${\displaystyle \pi _{n}(X)=[S^{n},X]=[S,X]_{n}}$es el ésimo grupo de homotopía estable de . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$
• ${\displaystyle \pi _{*}(X)}$es la suma de los grupos , y se llama anillo de coeficientes cuando es un espectro de anillo. ${\displaystyle \pi _{n}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
• ${\displaystyle X\land Y}$es el producto combinado de dos espectros.

Si es un espectro, entonces define teorías generalizadas de homología y cohomología sobre la categoría de espectros de la siguiente manera: ${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle X_{n}(Y)=[S,X\land Y]_{n}=[S^{n},X\wedge Y]}$es la homología generalizada de , ${\displaystyle Y}$
• ${\displaystyle X^{n}(Y)=[Y,X]_{-n}=[S^{-n}Y,X]}$es la cohomología generalizada de ${\displaystyle Y}$

Teorías de homología ordinaria

Estas son las teorías que satisfacen el "axioma de dimensión" de los axiomas de Eilenberg-Steenrod , según el cual la homología de un punto se anula en una dimensión distinta de 0. Están determinadas por un grupo de coeficientes abelianos y se denotan por (donde a veces se omite, especialmente si es ). Por lo general, son los números enteros, los racionales, los reales, los números complejos o los números enteros módulo un primo . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H(X,G)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle p}$

Los funtores de cohomología de las teorías de cohomología ordinarias están representados por espacios de Eilenberg-MacLane .

En los complejos simpliciales, estas teorías coinciden con la homología y cohomología singulares .

Homología y cohomología con coeficientes enteros.

Espectro: ( espectro de Eilenberg-MacLane de los números enteros). ${\displaystyle H}$

Anillo de coeficientes: si , en caso contrario. ${\displaystyle \pi _{n}(H)=\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle n=0}$ ${\displaystyle 0}$

La teoría de la homología original.

Homología y cohomología con coeficientes racionales (o reales o complejos).

Espectro: (Espectro de Eilenberg-Mac Lane de los racionales). ${\displaystyle HQ}$

Anillo de coeficientes: si , en caso contrario. ${\displaystyle \pi _{n}(HQ)=\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle n=0}$ ${\displaystyle 0}$

Estas son las teorías de homología más sencillas de todas. Los grupos de homología suelen denotarse por . Los grupos de homología , , con coeficientes racionales , reales y complejos son todos similares y se utilizan principalmente cuando la torsión no es de interés (o es demasiado complicada de resolver). La descomposición de Hodge escribe la cohomología compleja de una variedad proyectiva compleja como una suma de grupos de cohomología de haces . ${\displaystyle HQ_{n}(X)}$ ${\displaystyle H_{n}(X,Q)}$ ${\displaystyle H(X,\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle H(X,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle H(X,\mathbb {C} )}$

Homología y cohomología con modpagcoeficientes.

Espectro: (espectro de Eilenberg-Maclane de los números enteros módulo .) ${\displaystyle HZ_{p}}$ ${\displaystyle p}$

Anillo de coeficientes: (enteros mod ) si , en caso contrario. ${\displaystyle \pi _{n}(HZ_{p})=\mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n=0}$ ${\displaystyle 0}$

Teorías K

Las teorías K más simples de un espacio a menudo están relacionadas con fibrados vectoriales sobre el espacio, y diferentes tipos de teorías K corresponden a diferentes estructuras que se pueden colocar en un fibrado vectorial.

Teoría K real

Espectro: KO

Anillo de coeficientes: Los grupos de coeficientes π _i (KO) tienen periodo 8 en i , dado por la sucesión Z , Z ₂ , Z ₂ ,0, Z , 0, 0, 0, repetida. Como anillo, está generado por una clase η de grado 1, una clase x ₄ de grado 4 y una clase invertible v ₁ ⁴ de grado 8, sujetas a las relaciones que 2 η  =  η ³ =  ηx ₄  = 0, y x ₄ ²  = 4 v ₁ ⁴ .

KO ⁰ ( X ) es el anillo de clases de equivalencia estables de fibrados vectoriales reales sobre X . La periodicidad de Bott implica que los K-grupos tienen período 8.

Teoría K compleja

Espectro: KU (términos pares BU o Z  × BU, términos impares U ).

Anillo de coeficientes: El anillo de coeficientes K ^* (punto) es el anillo de polinomios de Laurent en un generador de grado 2.

K ⁰ ( X ) es el anillo de clases de equivalencia estables de fibrados vectoriales complejos sobre X . La periodicidad de Bott implica que los K-grupos tienen período 2.

Teoría K cuaterniónica

Espectro: KSp

Anillo de coeficientes: Los grupos de coeficientes π _i (KSp) tienen período 8 en i , dado por la secuencia Z , 0, 0, 0, Z , Z ₂ , Z _2,0 , repetida.

KSp ⁰ ( X ) es el anillo de clases de equivalencia estables de fibrados vectoriales cuaterniónicos sobre X . La periodicidad de Bott implica que los grupos K tienen un período 8.

Teoría K con coeficientes

Espectro: KG

G es un grupo abeliano; por ejemplo, la localización Z _{( p )} en el primo p . También se pueden dar coeficientes a otras teorías K.

Teoría K autoconjugada

Espectro: KSC

Anillo de coeficientes: se escribirá...

Los grupos de coeficientes (KSC) tienen un período de 4 en i , dado por la secuencia Z , Z ₂ , 0, Z , repetida. Introducida por Donald W. Anderson en su tesis doctoral inédita de 1964 de la Universidad de California, Berkeley , "Una nueva teoría de cohomología". ${\displaystyle \pi _{i}}$

Teorías K conectivas

Espectro: ku para la teoría K conectiva, ko para la teoría K real conectiva.

Anillo de coeficientes: Para ku, el anillo de coeficientes es el anillo de polinomios sobre Z en una sola clase v ₁ en dimensión 2. Para ko, el anillo de coeficientes es el cociente de un anillo de polinomios en tres generadores, η en dimensión 1, x ₄ en dimensión 4 y v ₁ ⁴ en dimensión 8, el generador de periodicidad, módulo las relaciones que 2 η  = 0, x ₄ ²  = 4 v ₁ ⁴ , η ³  = 0 y  ηx  = 0.

En términos generales, se trata de la teoría K sin las partes dimensionales negativas.

Teoría KR

Ésta es una teoría de cohomología definida para espacios con involución, de la que se pueden derivar muchas de las otras K-teorías.

Teorías del bordismo y del cobordismo

El cobordismo estudia las variedades , donde una variedad se considera "trivial" si es el límite de otra variedad compacta. Las clases de cobordismo de las variedades forman un anillo que suele ser el anillo de coeficientes de alguna teoría de cohomología generalizada. Hay muchas teorías de este tipo, que corresponden aproximadamente a las diferentes estructuras que se pueden aplicar a una variedad.

Los functores de las teorías de cobordismo suelen estar representados por espacios de Thom de ciertos grupos.

Homotopía estableycohomotopía

Espectro: S ( espectro de esfera ).

Anillo de coeficientes: Los grupos de coeficientes π _n ( S ) son los grupos de homotopía estable de las esferas , que son notoriamente difíciles de calcular o comprender para n  > 0. (Para n  < 0 se desvanecen, y para n  = 0 el grupo es  Z .)

La homotopía estable está estrechamente relacionada con el cobordismo de variedades enmarcadas (variedades con una trivialización del fibrado normal).

Cobordismo no orientado

Espectro: MO ( espectro de Thom del grupo ortogonal )

Anillo de coeficientes: π _* (MO) es el anillo de clases de cobordismo de variedades no orientadas, y es un anillo polinomial sobre el cuerpo con 2 elementos en generadores de grado i para cada i no de la forma 2 ⁿ −1. Es decir: donde se puede representar por las clases de mientras que para índices impares se pueden usar variedades Dold apropiadas. ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}[x_{2},x_{4},x_{5},x_{6},x_{8}\cdots ]}$ ${\displaystyle x_{2n}}$ ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{2n}}$

El bordismo no orientado es 2-torsión, ya que 2M es el límite de . ${\displaystyle M\times I}$

MO es una teoría de cobordismo bastante débil, ya que el espectro MO es isomorfo a H(π _* (MO)) ("homología con coeficientes en π _* (MO)") – MO es un producto de espectros de Eilenberg–MacLane . En otras palabras, las teorías de homología y cohomología correspondientes no son más poderosas que la homología y cohomología con coeficientes en Z /2 Z . Esta fue la primera teoría de cobordismo en ser descrita completamente.

Cobordismo complejo

Espectro: MU (espectro de Thom del grupo unitario )

Anillo de coeficientes: π _* ( MU ) es el anillo polinomial en generadores de grado 2, 4, 6, 8, ... y es naturalmente isomorfo al anillo universal de Lazard , y es el anillo de cobordismo de variedades casi complejas estables .

Cobordismo orientado

Espectro: MSO (espectro de Thom del grupo ortogonal especial )

Anillo de coeficientes: La clase de cobordismo orientado de una variedad está completamente determinada por sus números característicos: sus números de Stiefel–Whitney y números de Pontryagin , pero el anillo de coeficientes general, denotado es bastante complicado. Racionalmente, y en 2 (correspondiente a las clases de Pontryagin y Stiefel–Whitney, respectivamente), MSO es un producto de los espectros de Eilenberg–MacLane – y – pero en primos impares no lo es, y la estructura es complicada de describir. El anillo ha sido completamente descrito de forma integral, debido al trabajo de John Milnor , Boris Averbuch, Vladimir Rokhlin y CTC Wall . ${\displaystyle \Omega _{*}=\Omega (*)=MSO(*)}$ ${\displaystyle MSO_{\mathbf {Q} }=H(\pi _{*}(MSO_{\mathbf {Q} }))}$ ${\displaystyle MSO[2]=H(\pi _{*}(MSO[2]))}$

Cobordismo unitario especial

Espectro: MSU (espectro de Thom del grupo unitario especial )

Anillo de coeficientes:

Cobordismo de espín (y variantes)

Espectro: MSpin (espectro de Thom del grupo de espín )

Anillo de coeficientes: Véase (DW Anderson, EH Brown y FP Peterson 1967).

Cobordismo simpléctico

Espectro: MSp (espectro de Thom del grupo simpléctico )

Anillo de coeficientes:

Cobordismo del álgebra de Clifford

Cobordismo PL y cobordismo topológico

Espectro: MPL, MSPL, MTop, MSTop

Anillo de coeficientes:

La definición es similar al cobordismo, excepto que se utilizan variedades lineales o topológicas por partes en lugar de variedades suaves , ya sean orientadas o no orientadas. Los anillos de coeficientes son complicados.

Cohomología de Brown-Peterson

Espectro: BP

Anillo de coeficientes: π _* (BP) es un álgebra polinomial sobre Z _{( p )} en generadores v _n de dimensión 2( p ⁿ  − 1) para n  ≥ 1.

La cohomología de Brown–Peterson BP es un sumando de MU _p , que es un cobordismo complejo MU localizado en un primo p . De hecho, MU _{( p )} es una suma de suspensiones de BP.

Teoría K de Morava

Espectro: K( n ) (También dependen de un primo p .)

Anillo de coeficientes: F _p [ v _n , v _n ⁻¹ ], donde v _n tiene grado 2( p ⁿ  -1).

Estas teorías tienen un periodo de 2( p ⁿ  − 1) y llevan el nombre de Jack Morava .

Teoría de Johnson-Wilson

Espectro E ( n )

Anillo de coeficientes Z ₍₂₎ [ v ₁ , ..., v _n , 1/ v _n ] donde v _i tiene grado 2(2 ⁱ −1)

Cobordismo de cuerdas

Espectro:

Anillo de coeficientes:

Teorías relacionadas concurvas elípticas

Cohomología elíptica

Espectro: Ell

Formas modulares topológicas

Espectros: tmf, TMF (anteriormente llamado eo ₂ .)

El anillo de coeficientes π _* (tmf) se denomina anillo de formas modulares topológicas . TMF es tmf con la potencia 24 de la forma modular Δ invertida, y tiene un período 24 ² = 576. En el primo p  = 2, la completitud de tmf es el espectro eo ₂ , y la localización K(2) de tmf es el espectro de la teoría K real superior de Hopkins-Miller EO ₂ .

Véase también

• Cohomología de Alexander-Spanier
• Teoría K algebraica
• Cohomología BRST
• Homología celular
• Cohomología de Chech
• Cohomología cristalina
• Cohomología de De Rham
• Cohomología de Deligne
• Cohomología de Étale
• Homología de Floer
• Cohomología de Galois
• Cohomología de grupos
• Estructura de Hodge
• Cohomología de intersección
• Cohomología L ²
• cohomología l-ádica
• Cohomología del álgebra de Lie
• Cohomología cuántica
• Cohomología de haces
• Homología singular
• Cohomología de Spencer

Referencias

• Homotopía estable y homología generalizada (Conferencias de matemáticas de Chicago) por J. Frank Adams , University of Chicago Press ; edición reeditada (27 de febrero de 1995) ISBN  0-226-00524-0
• Anderson, Donald W.; Brown, Edgar H. Jr .; Peterson, Franklin P. (1967), "La estructura del anillo de cobordismo de espín", Anales de matemáticas , Segunda serie, 86 (2): 271–298, doi :10.2307/1970690, JSTOR  1970690
• Notas sobre la teoría del cobordismo , por Robert E. Stong , Princeton University Press (1968) ASIN B0006C2BN6
• Cohomología elíptica (Serie universitaria de matemáticas) de Charles B. Thomas, Springer; 1 edición (octubre de 1999) ISBN 0-306-46097-1