Cohomología de Deligne

En matemáticas , la cohomología de Deligne, a veces denominada cohomología de Deligne-Beilinson, es la hipercohomología del complejo de Deligne de una variedad compleja . Fue introducida por Pierre Deligne en un trabajo inédito en 1972 aproximadamente como una teoría de cohomología para variedades algebraicas que incluye tanto la cohomología ordinaria como los jacobianos intermedios .

Para explicaciones introductorias de la cohomología de Deligne, véase Brylinski (2008, sección 1.5), Esnault y Viehweg (1988) y Gomi (2009, sección 2).

Definición

El complejo analítico de Deligne Z ( p ) _D, en una variedad analítica compleja X es

${\displaystyle 0\rightarrow \mathbf {Z} (p)\rightarrow \Omega _{X}^{0}\rightarrow \Omega _{X}^{1}\rightarrow \cdots \rightarrow \Omega _{X}^{p-1}\rightarrow 0\rightarrow \dots }$

donde Z ( p ) = (2π i) ^p Z . Dependiendo del contexto, es el complejo de formas diferenciales suaves (es decir, C ^∞ ) o de formas holomorfas, respectivamente. La cohomología de Deligne H ${\displaystyle \Omega _{X}^{*}}$ q
D,un ( X , Z ( p )) es la hipercohomología q -ésima del complejo de Deligne. Una definición alternativa de este complejo se da como el límite de homotopía ^[1] del diagrama

${\displaystyle {\begin{matrix}&&\mathbb {Z} \\&&\downarrow \\\Omega _{X}^{\bullet \geq p}&\to &\Omega _{X}^{\bullet }\end{matrix}}}$

Propiedades

Deligne los grupos de cohomología H qD
​ ( X , Z ( p )) se puede describir geométricamente, especialmente en grados bajos. Para p = 0, concuerda con el q -ésimo grupo de cohomología singular (con coeficientes Z ), por definición. Para q = 2 y p = 1, es isomorfo al grupo de clases de isomorfismo de fibrados principales C × ^suaves (u holomórficos, dependiendo del contexto) sobre X . Para p = q = 2, es el grupo de clases de isomorfismo de fibrados C ^× con conexión . Para q = 3 y p = 2 o 3, están disponibles descripciones en términos de gerbes (Brylinski (2008)). Esto se ha generalizado a una descripción en grados superiores en términos de espacios de clasificación iterados y conexiones sobre ellos (Gajer (1997)).

Relación con las clases de Hodge

Recordemos que existe un subgrupo de clases de cohomología integral en llamado grupo de clases de Hodge. Existe una secuencia exacta que relaciona la cohomología de Deligne, sus jacobianos intermedios y este grupo de clases de Hodge como una secuencia exacta corta ${\displaystyle {\text{Hdg}}^{p}(X)\subset H^{p,p}(X)}$ ${\displaystyle H^{2p}(X)}$

${\displaystyle 0\to J^{2p-1}(X)\to H_{\mathcal {D}}^{2p}(X,\mathbb {Z} (p))\to {\text{Hdg}}^{2p}(X)\to 0}$

Aplicaciones

La cohomología de Deligne se utiliza para formular conjeturas de Beilinson sobre valores especiales de funciones L.

Extensiones

Existe una extensión de la cohomología de Deligne definida para cualquier espectro simétrico ^[1] donde para impar se puede comparar con la cohomología de Deligne ordinaria en variedades analíticas complejas. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \pi _{i}(E)\otimes \mathbb {C} =0}$ ${\displaystyle i}$

Véase también

• Manojo de gerbe
• Cohomología motívica
• Estructura de Hodge
• Jacobiano intermedio

Referencias

1. Hopkins, Michael J.; Quick, Gereon (marzo de 2015). "Bordismo complejo filtrado por Hodge". Journal of Topology . 8 (1): 147–183. arXiv : 1212.2173 . doi :10.1112/jtopol/jtu021. S2CID  16757713.

• "Cohomología de Deligne-Beilinson" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 2020-06-03.
• Geometría de la cohomología de Deligne
• Notas sobre cohomología diferencial y gerbes
• Cohomología de Deligne suave y retorcida
• Conjetura de Bloch, cohomología de Deligne y grupos de Chow superiores
• Brylinski, Jean-Luc (2008) [1993], Espacios de bucles, clases características y cuantificación geométrica , Modern Birkhäuser Classics, Boston, MA: Birkhäuser Boston, doi :10.1007/978-0-8176-4731-5, ISBN 978-0-8176-4730-8, Sr.  2362847
• Esnault, Hélène; Viehweg, Eckart (1988), "Cohomología de Deligne-Beĭlinson" (PDF) , Conjeturas de Beĭlinson sobre valores especiales de funciones L, Perspect. Math., vol. 4, Boston, MA: Academic Press , págs. 43–91, ISBN 978-0-12-581120-0, Sr.  0944991
• Gajer, Pawel (1997), "Geometría de la cohomología de Deligne", Inventiones Mathematicae , 127 (1): 155–207, arXiv : alg-geom/9601025 , Bibcode :1996InMat.127..155G, doi :10.1007/s002220050118, ISSN  0020-9910, S2CID  18446635
• Gomi, Kiyonori (2009), "Representaciones unitarias proyectivas de grupos de cohomología Deligne suaves", Journal of Geometry and Physics , 59 (9): 1339–1356, arXiv : math/0510187 , Bibcode :2009JGP....59.1339G, doi :10.1016/j.geomphys.2009.06.012, ISSN  0393-0440, MR  2541824, S2CID  17437631