En matemáticas , especialmente en álgebra homológica y otras aplicaciones de la teoría de categorías abelianas , el lema corto de cinco es un caso especial del lema de cinco . Afirma que para el siguiente diagrama conmutativo (en cualquier categoría abeliana , o en la categoría de grupos ), si las filas son secuencias exactas cortas , y si g y h son isomorfismos , entonces f también es un isomorfismo.
Se sigue inmediatamente del cinco lema .
La esencia del lema se puede resumir de la siguiente manera: si tienes un homomorfismo f de un objeto B a un objeto B ′ , y este homomorfismo induce un isomorfismo de un subobjeto A de B a un subobjeto A ′ de B ′ y también un isomorfismo del objeto factor B / A a B ′ / A ′ , entonces f en sí es un isomorfismo. Sin embargo, tenga en cuenta que la existencia de f (de modo que el diagrama conmute) debe asumirse desde el principio; dos objetos B y B ′ que simplemente tienen subobjetos y factores isomórficos no necesitan ser isomórficos (por ejemplo, en la categoría de grupos abelianos , B podría ser el grupo cíclico de orden cuatro y B ′ el grupo de cuatro de Klein ).