El teorema de Gel'fand–Raikov (Гельфанд–Райков) es un teorema de las matemáticas de los grupos topológicos localmente compactos . Afirma que un grupo localmente compacto está completamente determinado por sus representaciones unitarias (posiblemente de dimensión infinita) . El teorema se publicó por primera vez en 1943. [1] [2]
Una representación unitaria de un grupo localmente compacto en un espacio de Hilbert define para cada par de vectores una función continua en , el coeficiente de la matriz , por
El conjunto de todos los coeficientes matriciales para todas las representaciones unitarias está cerrado bajo la multiplicación escalar (porque podemos reemplazar ), la suma (debido a las representaciones de suma directa ), la multiplicación (debido a las representaciones tensoriales ) y la conjugación compleja (debido a las representaciones conjugadas complejas ).
El teorema de Gel'fand-Raikov establece ahora que los puntos de están separados por sus representaciones unitarias irreducibles, es decir, para dos elementos cualesquiera del grupo existe un espacio de Hilbert y una representación unitaria irreducible tal que . Los elementos de la matriz separan así los puntos, y luego se sigue del teorema de Stone-Weierstrass que en cada subconjunto compacto del grupo, los elementos de la matriz son densos en el espacio de funciones continuas, que determinan completamente el grupo.