Grupo absoluto de Galois

El grupo de Galois absoluto de los números reales es un grupo cíclico de orden 2 generado por conjugación compleja, ya que C es la clausura separable de R y [ C : R ] = 2.

En matemáticas , el grupo de Galois absoluto G _K de un cuerpo K es el grupo de Galois de K ^sep sobre K , donde K ^sep es una clausura separable de K. Alternativamente, es el grupo de todos los automorfismos de la clausura algebraica de K que fijan K. El grupo de Galois absoluto está bien definido hasta el automorfismo interno . Es un grupo profinito .

(Cuando K es un campo perfecto , K ^sep es lo mismo que un cierre algebraico K ^alg de K. Esto se cumple, por ejemplo, para K de característica cero , o K un campo finito ).

Ejemplos

• El grupo de Galois absoluto de un campo algebraicamente cerrado es trivial.
• El grupo de Galois absoluto de los números reales es un grupo cíclico de dos elementos (conjugación compleja y mapa identidad), ya que C es la clausura separable de R y [ C : R ] = 2.
• El grupo de Galois absoluto de un cuerpo finito K es isomorfo al grupo de los enteros profinitos

${\displaystyle {\hat {\mathbf {Z} }}=\varprojlim \mathbf {Z} /n\mathbf {Z} .}$^[1]

(Para la notación, véase Límite inverso ).

El automorfismo de Frobenius Fr es un generador canónico (topológico) de G _K . (Recuerde que Fr( x ) = x ^q para todo x en K ^alg , donde q es el número de elementos en K .)

• El grupo de Galois absoluto del cuerpo de funciones racionales con coeficientes complejos es libre (como grupo profinito). Este resultado se debe a Adrien Douady y tiene su origen en el teorema de existencia de Riemann . ^[2]
• En términos más generales, sea C un cuerpo algebraicamente cerrado y x una variable. Entonces el grupo de Galois absoluto de K  =  C ( x ) está libre de rango igual a la cardinalidad de C . Este resultado se debe a David Harbater y Florian Pop , y también fue demostrado posteriormente por Dan Haran y Moshe Jarden utilizando métodos algebraicos. ^{[3] [4] [5]}
• Sea K una extensión finita de los números p-ádicos Q _p . Para p  ≠ 2, su grupo absoluto de Galois está generado por [ K : Q _p ] + 3 elementos y tiene una descripción explícita por generadores y relaciones. Este es un resultado de Uwe Jannsen y Kay Wingberg. ^{[6] [7]} Se conocen algunos resultados en el caso p = 2, pero no se conoce la estructura para Q _2. ^[8]
• Otro caso en el que se ha determinado el grupo de Galois absoluto es para el subcuerpo totalmente real más grande del cuerpo de números algebraicos. ^[9]

Problemas

• No se conoce ninguna descripción directa del grupo absoluto de Galois de los números racionales . En este caso, del teorema de Belyi se desprende que el grupo absoluto de Galois tiene una acción fiel sobre los dibujos de niños de Grothendieck (aplicaciones sobre superficies), lo que nos permite "ver" la teoría de Galois de los cuerpos de números algebraicos.
• Sea K la extensión abeliana máxima de los números racionales. Entonces la conjetura de Shafarevich afirma que el grupo de Galois absoluto de K es un grupo profinito libre. ^[10]
• Un problema interesante es resolver la conjetura de Ján Mináč y Nguyên Duy Tân sobre la desaparición de los productos de Massey para . ^{[11] [12]} ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\geq 3}$

Algunos resultados generales

• Todo grupo profinito se presenta como un grupo de Galois de alguna extensión de Galois, ^[13] sin embargo, no todo grupo profinito se presenta como un grupo de Galois absoluto. Por ejemplo, el teorema de Artin-Schreier afirma que los únicos grupos de Galois absolutos finitos son triviales o de orden 2, es decir, solo dos clases de isomorfismo.
• Todo grupo profinito proyectivo puede realizarse como un grupo de Galois absoluto de un cuerpo pseudoalgebraicamente cerrado . Este resultado se debe a Alexander Lubotzky y Lou van den Dries . ^[14]

Referencias

1. Szamuely 2009, pág. 14.
2. Douady 1964
3. Harbater 1995
4. Popular 1995
5. Harán y Jarden 2000
6. Jannsen y Wingberg 1982
7. Neukirch, Schmidt y Wingberg 2000, teorema 7.5.10
8. Neukirch, Schmidt y Wingberg 2000, §VII.5
9. "qtr" (PDF) . Consultado el 4 de septiembre de 2019 .
10. Neukirch, Schmidt y Wingberg 2000, pág. 449.
11. Mináč y Tân (2016) págs.255,284
12. Harpaz y Wittenberg (2023) págs. 1, 41
13. Fried y Jarden (2008) pág. 12
14. Fried y Jarden (2008) págs. 208,545

Fuentes

• Douady, Adrien (1964), "Détermination d'un groupe de Galois", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris , 258 : 5305–5308, SEÑOR  0162796
• Frito, Michael D.; Jarden, Moshe (2008), Aritmética de campo , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge, vol. 11 (3.ª ed.), Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-77269-9, Zbl1145.12001 ​
• Haran, Dan; Jarden, Moshe (2000), "El grupo absoluto de Galois de C ( x )", Pacific Journal of Mathematics , 196 (2): 445–459, doi : 10.2140/pjm.2000.196.445 , MR  1800587
• Harbater, David (1995), "Grupos fundamentales y problemas de incrustación en la característica p ", Desarrollos recientes en el problema inverso de Galois (Seattle, WA, 1993) , Contemporary Mathematics, vol. 186, Providence, Rhode Island : American Mathematical Society , págs. 353–369, MR  1352282
• Jannsen, Uwe; Wingberg, Kay (1982), "Die Struktur der absolun Galoisgruppe p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} -adischer Zahlkörper" (PDF) , Inventiones Mathematicae , 70 : 71–78, Bibcode : 1982InMat..70.. .71J, doi :10.1007/bf01393199, S2CID  119378923
• Neukirch, Jürgen ; Schmidt, Alejandro; Wingberg, Kay (2000), Cohomología de campos numéricos , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften , vol. 323, Berlín: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-66671-4, MR  1737196, Zbl  0948.11001
• Pop, Florian (1995), "Cubiertas de curvas suaves afines de Étale Galois. El caso geométrico de una conjetura de Shafarevich. Sobre la conjetura de Abhyankar", Inventiones Mathematicae , 120 (3): 555–578, Bibcode :1995InMat.120..555P, doi :10.1007/bf01241142, MR  1334484, S2CID  128157587
• Mináč, Ján; Tân, Nguyên Duy (2016), "Productos triples de Massey y teoría de Galois", Revista de la Sociedad Matemática Europea , 19 (1): 255–284
• Harpaz, Yonatan; Wittenberg, Olivier (2023), "La conjetura de desaparición de Massey para cuerpos numéricos", Duke Mathematical Journal , 172 (1): 1–41
• Szamuely, Tamás (2009), Grupos de Galois y grupos fundamentales , Cambridge studies in advanced mathematics, vol. 117, Cambridge : Cambridge University Press