Andrew Mattei Gleason (1921–2008) fue un matemático estadounidense que hizo contribuciones fundamentales a áreas muy variadas de las matemáticas, incluida la solución del quinto problema de Hilbert , y fue un líder en la reforma e innovación en la enseñanza de las matemáticas en todos los niveles. [4] [5] El teorema de Gleason en lógica cuántica y el gráfico de Greenwood-Gleason , un ejemplo importante en la teoría de Ramsey , llevan su nombre.
Como joven oficial naval de la Segunda Guerra Mundial, Gleason descifró códigos militares alemanes y japoneses. Después de la guerra, pasó toda su carrera académica en la Universidad de Harvard , de la que se retiró en 1992. Sus numerosos puestos de liderazgo académico y erudito incluyeron la presidencia del Departamento de Matemáticas de Harvard y de la Sociedad de Becarios de Harvard , y la presidencia de la Sociedad Matemática Estadounidense . Continuó asesorando al gobierno de los Estados Unidos sobre seguridad criptográfica y a la Mancomunidad de Massachusetts sobre educación matemática para niños, casi hasta el final de su vida.
Gleason ganó el Premio Newcomb Cleveland en 1952 y el Premio al Servicio Distinguido Gung-Hu de la Sociedad Matemática Americana en 1996. Fue miembro de la Academia Nacional de Ciencias y de la Sociedad Filosófica Americana , y ocupó la Cátedra Hollis de Matemáticas y Filosofía Natural en Harvard.
Le gustaba decir que las pruebas matemáticas "en realidad no están ahí para convencerte de que algo es verdad, sino para mostrarte por qué es verdad". [6] La revista Notices of the American Mathematical Society lo llamó "uno de los gigantes silenciosos de las matemáticas del siglo XX, el profesor consumado dedicado a la erudición, la enseñanza y el servicio en igual medida". [7]
Gleason nació el 4 de noviembre de 1921 en Fresno, California , el menor de tres hijos; su padre Henry Gleason era un botánico y miembro de la Sociedad Mayflower , y su madre era hija del enólogo suizo-estadounidense Andrew Mattei . [6] [8] Su hermano mayor Henry Jr. se convirtió en lingüista. [9] Creció en Bronxville, Nueva York , donde su padre era el curador del Jardín Botánico de Nueva York . [6] [8]
Después de asistir brevemente a Berkeley High School (Berkeley, California) [4], se graduó de Roosevelt High School en Yonkers, ganando una beca para la Universidad de Yale . [6] Aunque la educación matemática de Gleason había llegado sólo hasta cierto punto como cálculo autodidacta, el matemático de Yale William Raymond Longley lo instó a probar un curso de mecánica normalmente destinado a estudiantes de tercer año.
Así que aprendí cálculo de primer año y cálculo de segundo año y me convertí en el consultor de un extremo de todo el Old Campus... Solía hacer todas las tareas para todas las secciones de [cálculo de primer año]. Obtuve mucha práctica en la resolución de problemas de cálculo elemental. No creo que exista un problema -el tipo clásico de problema de pseudo realidad que se les da a los estudiantes de primer y segundo año- que no haya visto. [6]
Un mes después, también se inscribió en un curso de ecuaciones diferenciales ("en su mayoría lleno de estudiantes de último año"). Cuando Einar Hille reemplazó temporalmente al instructor regular, Gleason encontró el estilo de Hille "increíblemente diferente... Tenía una visión de las matemáticas que era simplemente muy diferente... Esa fue una experiencia muy importante para mí. Así que después de eso tomé muchos cursos de Hille", incluido, en su segundo año, análisis real de nivel de posgrado. "A partir de ese curso con Hille, comencé a tener una idea de lo que son las matemáticas". [6]
Mientras estaba en Yale compitió tres veces (1940, 1941 y 1942) en la recientemente fundada Competencia Matemática William Lowell Putnam , quedando siempre entre los cinco mejores participantes del país (convirtiéndose en el segundo Putnam Fellow en tres ocasiones ). [10]
Después de que los japoneses atacaran Pearl Harbor durante su último año, Gleason solicitó una comisión en la Marina de los EE. UU. [11] y, al graduarse, se unió al equipo que trabajaba para descifrar los códigos navales japoneses . [6] (Otros en este equipo incluían a su futuro colaborador Robert E. Greenwood y al profesor de Yale Marshall Hall Jr. ) [11] También colaboró con investigadores británicos que atacaban el cifrado alemán Enigma ; Alan Turing , que pasó un tiempo considerable con Gleason mientras visitaba Washington, lo llamó "el brillante joven matemático graduado de Yale" en un informe de su visita. [11]
En 1946, por recomendación de su colega de la Marina Donald Howard Menzel , Gleason fue nombrado Junior Fellow en Harvard. Uno de los primeros objetivos del programa de Junior Fellows era permitir que los jóvenes académicos que demostraban una promesa extraordinaria pudieran eludir el largo proceso de doctorado; cuatro años más tarde, Harvard nombró a Gleason profesor adjunto de matemáticas, [6] aunque casi de inmediato fue llamado a Washington para realizar trabajos criptográficos relacionados con la Guerra de Corea . [6] Regresó a Harvard en el otoño de 1952 y poco después publicó el más importante de sus resultados sobre el quinto problema de Hilbert (véase más abajo). Harvard le otorgó la titularidad al año siguiente. [6] [12] [A]
En enero de 1959 se casó con Jean Berko [6] a quien había conocido en una fiesta en la que se escuchaba música de Tom Lehrer . [8] Berko, psicolingüista , trabajó durante muchos años en la Universidad de Boston . [12] Tuvieron tres hijas.
En 1969, Gleason ocupó la Cátedra Hollis de Matemáticas y Filosofía Natural . Establecida en 1727, esta es la cátedra científica más antigua de los EE. UU. [4] [13] Se retiró de Harvard en 1992, pero permaneció activo al servicio de Harvard (como presidente de la Society of Fellows , por ejemplo) [14] y de las matemáticas: en particular, promoviendo el Proyecto de Reforma del Cálculo de Harvard [15] y trabajando con el Consejo de Educación de Massachusetts . [16]
Murió el 17 de octubre de 2008 por complicaciones posteriores a una cirugía. [4] [5]
Gleason dijo que "siempre disfrutó ayudando a otras personas con las matemáticas"; un colega dijo que "consideraba que enseñar matemáticas, como hacer matemáticas, era importante y también realmente divertido". A los catorce años, durante su breve asistencia a la Berkeley High School, se encontró no solo aburrido con la geometría del primer semestre, sino también ayudando a otros estudiantes con sus tareas, incluidos los que tomaban la segunda mitad del curso, que pronto comenzó a auditar. [6] [17]
En Harvard, "enseñaba regularmente en todos los niveles", [15] incluidos cursos administrativos engorrosos de varias secciones. Una clase le regaló a Gleason una estampa enmarcada de La madre y el niño de Picasso en reconocimiento a su cuidado por ellos. [18]
En 1964 creó "el primero de los cursos 'puente' que ahora son omnipresentes para los estudiantes de matemáticas, sólo veinte años antes de su tiempo". [15] Este curso está diseñado para enseñar a los nuevos estudiantes, acostumbrados al aprendizaje de memoria de las matemáticas en la escuela secundaria, cómo razonar de manera abstracta y construir pruebas matemáticas. [19] Ese esfuerzo condujo a la publicación de su Fundamentos del análisis abstracto , del cual un crítico escribió:
Este es un libro muy inusual... Todo matemático en activo sabe, por supuesto, la diferencia entre una cadena inerte de proposiciones formalizadas y la "sensación" que uno tiene (o intenta tener) de una teoría matemática, y probablemente estará de acuerdo en que ayudar al estudiante a alcanzar esa visión "interna" es el objetivo último de la educación matemática; pero normalmente renunciará a cualquier intento de lograrlo con éxito, salvo mediante la enseñanza oral. La originalidad del autor es que ha tratado de alcanzar esa meta en un libro de texto, y en opinión del crítico, ha tenido un éxito notable en esta tarea casi imposible. La mayoría de los lectores probablemente estarán encantados (como lo ha estado el crítico) de encontrar, página tras página, minuciosas discusiones y explicaciones de procedimientos matemáticos y lógicos estándar, siempre escritas en el estilo más acertado, que no escatima esfuerzos para lograr la máxima claridad sin caer en la vulgaridad que tan a menudo estropea tales intentos. [17]
Pero el "talento para la exposición" de Gleason no siempre implicaba que el lector pudiera ilustrarse sin esfuerzo propio. Incluso en un memorando de tiempos de guerra sobre la urgente descodificación de la clave alemana Enigma, Gleason y sus colegas escribieron:
El lector puede preguntarse por qué se deja tanto en manos del lector. Un libro sobre brazadas de natación puede ser agradable de leer, pero uno debe practicar las brazadas mientras está realmente en el agua antes de poder decir que es un nadador. Por lo tanto, si el lector desea realmente poseer el conocimiento para recuperar cables de una profundidad , que el lector tome su papel y lápices, usando quizás cuatro colores para evitar confusiones en los eslabones de conexión, y que se ponga a trabajar. [17]
Sus notas y ejercicios sobre probabilidad y estadística, elaborados para sus conferencias a colegas descifradores de códigos durante la guerra (ver más abajo) siguieron utilizándose en el entrenamiento de la Agencia de Seguridad Nacional durante varias décadas; se publicaron abiertamente en 1985. [17]
En un artículo de Science de 1964 , Gleason escribió sobre una aparente paradoja que surge en los intentos de explicar las matemáticas a los no matemáticos:
Es notoriamente difícil transmitir la impresión adecuada de las fronteras de las matemáticas a los no especialistas. En última instancia, la dificultad surge del hecho de que las matemáticas son una materia más fácil que las otras ciencias. En consecuencia, muchos de los problemas primarios importantes de la materia (es decir, problemas que pueden ser comprendidos por un extraño inteligente) ya han sido resueltos o se han llevado a un punto en el que claramente se requiere un enfoque indirecto. La gran mayoría de la investigación matemática pura se ocupa de problemas secundarios, terciarios o de orden superior, cuyo enunciado mismo difícilmente puede entenderse hasta que se domine una gran cantidad de matemáticas técnicas. [20]
Gleason fue el primer presidente del comité asesor del School Mathematics Study Group , que ayudó a definir la Nueva Matemática de la década de 1960: cambios ambiciosos en la enseñanza de las matemáticas en las escuelas primarias y secundarias estadounidenses que enfatizaban la comprensión de conceptos por sobre los algoritmos de memoria. Gleason "siempre estuvo interesado en cómo aprende la gente"; como parte del esfuerzo de la Nueva Matemática, pasó la mayoría de las mañanas durante varios meses con estudiantes de segundo grado. Algunos años después, dio una charla en la que describió que su objetivo había sido:
para averiguar cuánto podían descubrir por sí mismos, con actividades apropiadas y la orientación correcta. Al final de su charla, alguien le preguntó a Andy si alguna vez le había preocupado que enseñar matemáticas a niños pequeños no fuera la forma en que los profesores de las instituciones de investigación deberían pasar su tiempo. [Su] respuesta rápida y decisiva: "No, no pensé en eso en absoluto. ¡Me lo pasé genial!" [17]
En 1986 ayudó a fundar el Consorcio de Cálculo, que ha publicado una exitosa e influyente serie de libros de texto de "reforma del cálculo" para la universidad y la escuela secundaria, sobre precálculo, cálculo y otras áreas. Su "credo para este programa, como para toda su enseñanza, era que las ideas debían basarse en partes iguales en geometría para la visualización de los conceptos, computación para la base en el mundo real y manipulación algebraica para la potencia". [12] Sin embargo, el programa enfrentó fuertes críticas de la comunidad matemática por su omisión de temas como el teorema del valor medio , [21] y por su aparente falta de rigor matemático. [22] [23] [24]
Durante la Segunda Guerra Mundial, Gleason formó parte del OP-20-G , el grupo de inteligencia de señales y criptoanálisis de la Armada de los Estados Unidos . [11] Una de las tareas de este grupo, en colaboración con criptógrafos británicos en Bletchley Park como Alan Turing , era penetrar las redes de comunicaciones de la máquina Enigma alemana . Los británicos tuvieron un gran éxito con dos de estas redes, pero la tercera, utilizada para la coordinación naval germano-japonesa, permaneció intacta debido a una suposición errónea de que empleaba una versión simplificada de Enigma. Después de que Marshall Hall de OP-20-G observara que ciertos metadatos en las transmisiones de Berlín a Tokio usaban conjuntos de letras disjuntos de los utilizados en los metadatos de Tokio a Berlín, Gleason planteó la hipótesis de que los conjuntos de letras no cifradas correspondientes eran AM (en una dirección) y NZ (en la otra), luego ideó nuevas pruebas estadísticas con las que confirmó esta hipótesis. El resultado fue el descifrado rutinario de esta tercera red en 1944. (Este trabajo también implicó matemáticas más profundas relacionadas con los grupos de permutación y el problema del isomorfismo de grafos ). [11]
OP-20-G recurrió entonces al sistema de cifrado "Coral" de la marina japonesa. Una herramienta clave para el ataque a Coral fue la "muleta de Gleason", una forma de límite de Chernoff sobre distribuciones de cola de sumas de variables aleatorias independientes. El trabajo clasificado de Gleason sobre este límite precedió al trabajo de Chernoff por una década. [11]
Hacia el final de la guerra se concentró en documentar el trabajo del OP-20-G y en desarrollar sistemas para entrenar a nuevos criptógrafos. [11]
En 1950, Gleason regresó al servicio activo para la Guerra de Corea , sirviendo como teniente comandante en el Complejo de la Avenida Nebraska (que mucho más tarde se convirtió en el hogar de la División de Seguridad Cibernética del DHS ). Su trabajo criptográfico de este período sigue siendo clasificado, pero se sabe que reclutó matemáticos y les enseñó criptoanálisis. [11] Sirvió en los consejos asesores de la Agencia de Seguridad Nacional y el Instituto de Análisis de Defensa , y continuó reclutando y asesorando a los militares sobre criptoanálisis, casi hasta el final de su vida. [11]
Gleason hizo contribuciones fundamentales a áreas muy variadas de las matemáticas, incluyendo la teoría de los grupos de Lie , [1] la mecánica cuántica , [18] y la combinatoria . [25] Según la famosa clasificación de Freeman Dyson de los matemáticos como pájaros o ranas, [26] Gleason era una rana: trabajaba como solucionador de problemas en lugar de como un visionario que formulaba grandes teorías. [7]
En 1900, David Hilbert planteó 23 problemas que , según él, serían fundamentales para la investigación matemática del próximo siglo. El quinto problema de Hilbert se refiere a la caracterización de los grupos de Lie por sus acciones en los espacios topológicos : ¿en qué medida su topología proporciona información suficiente para determinar su geometría?
La versión "restringida" del quinto problema de Hilbert (resuelto por Gleason) pregunta, más específicamente, si cada grupo topológico euclidiano local es un grupo de Lie. Es decir, si un grupo G tiene la estructura de una variedad topológica , ¿puede esa estructura ser reforzada a una estructura analítica real , de modo que dentro de cualquier entorno de un elemento de G , la ley del grupo esté definida por una serie de potencias convergentes, y de modo que los entornos superpuestos tengan definiciones de series de potencias compatibles? Antes del trabajo de Gleason, LEJ Brouwer , John von Neumann , Lev Pontryagin y Garrett Birkhoff , entre otros, habían resuelto casos especiales del problema . [1] [27]
El interés de Gleason en el quinto problema comenzó a fines de la década de 1940, provocado por un curso que tomó con George Mackey . [6] En 1949 publicó un artículo que presentaba la propiedad de "no hay subgrupos pequeños" de los grupos de Lie (la existencia de un vecindario de la identidad dentro del cual no existe ningún subgrupo no trivial) que eventualmente sería crucial para su solución. [1] Su artículo de 1952 sobre el tema, junto con un artículo publicado simultáneamente por Deane Montgomery y Leo Zippin , resuelve afirmativamente la versión restringida del quinto problema de Hilbert, mostrando que de hecho cada grupo localmente euclidiano es un grupo de Lie. [1] [27] La contribución de Gleason fue demostrar que esto es cierto cuando G tiene la propiedad de no hay subgrupos pequeños; Montgomery y Zippin demostraron que cada grupo localmente euclidiano tiene esta propiedad. [1] [27] Como contó Gleason, la idea clave de su prueba fue aplicar el hecho de que las funciones monótonas son diferenciables casi en todas partes . [6] Al encontrar la solución, se tomó una semana de licencia para escribirla, y se publicó en los Anales de Matemáticas junto con el artículo de Montgomery y Zippin; otro artículo un año después de Hidehiko Yamabe eliminó algunas condiciones técnicas secundarias de la prueba de Gleason. [6] [B]
La versión "sin restricciones" del quinto problema de Hilbert, más cercana a la formulación original de Hilbert, considera tanto un grupo localmente euclidiano G como otra variedad M en la que G tiene una acción continua . Hilbert preguntó si, en este caso, M y la acción de G podrían tener una estructura analítica real. Pronto se dieron cuenta de que la respuesta era negativa, después de lo cual la atención se centró en el problema restringido. [1] [27] Sin embargo, con algunos supuestos adicionales de suavidad en G y M , todavía podría ser posible demostrar la existencia de una estructura analítica real en la acción del grupo. [1] [27] La conjetura de Hilbert-Smith , aún sin resolver, encapsula las dificultades restantes de este caso. [28]
La regla de Born establece que una propiedad observable de un sistema cuántico está definida por un operador hermítico en un espacio de Hilbert separable , que los únicos valores observables de la propiedad son los valores propios del operador y que la probabilidad de que el sistema sea observado en un valor propio particular es el cuadrado del valor absoluto del número complejo obtenido al proyectar el vector de estado (un punto en el espacio de Hilbert) sobre el vector propio correspondiente. George Mackey había preguntado si la regla de Born es una consecuencia necesaria de un conjunto particular de axiomas para la mecánica cuántica, y más específicamente si cada medida en la red de proyecciones de un espacio de Hilbert puede definirse por un operador positivo con traza unitaria . Aunque Richard Kadison demostró que esto era falso para espacios de Hilbert bidimensionales, el teorema de Gleason (publicado en 1957) muestra que es cierto para dimensiones superiores. [18]
El teorema de Gleason implica la inexistencia de ciertos tipos de teorías de variables ocultas para la mecánica cuántica, lo que refuerza un argumento previo de John von Neumann . Von Neumann había afirmado demostrar que las teorías de variables ocultas eran imposibles, pero (como señaló Grete Hermann ) su demostración suponía que los sistemas cuánticos obedecían a una forma de aditividad de expectativas para operadores no conmutativos que podría no cumplirse a priori. En 1966, John Stewart Bell demostró que el teorema de Gleason podía utilizarse para eliminar esta suposición adicional del argumento de von Neumann. [18]
El número de Ramsey R ( k , l ) es el número más pequeño r tal que cada grafo con al menos r vértices contiene una camarilla de k vértices o un conjunto independiente de l vértices . Los números de Ramsey requieren un enorme esfuerzo para calcularse; cuando max( k , l ) ≥ 3 solo se conocen con precisión un número finito de ellos, y se cree que un cálculo exacto de R (6,6) está fuera de alcance. [29] En 1953, el cálculo de R (3,3) se presentó como una pregunta en la Competencia Putnam . En 1955, motivados por este problema, [30] Gleason y su coautor Robert E. Greenwood hicieron un progreso significativo en el cálculo de los números de Ramsey con su prueba de que R (3,4) = 9, R (3,5) = 14 y R (4,4) = 18. Desde entonces, solo se han encontrado cinco de estos valores más. [31] En el mismo artículo de 1955, Greenwood y Gleason también calcularon el número de Ramsey multicolor R (3,3,3): el número más pequeño r tal que, si un grafo completo en r vértices tiene sus aristas coloreadas con tres colores, entonces necesariamente contiene un triángulo monocromático. Como mostraron, R (3,3,3) = 17; este sigue siendo el único número de Ramsey multicolor no trivial cuyo valor exacto se conoce. [31] Como parte de su prueba, utilizaron una construcción algebraica para mostrar que un grafo completo de 16 vértices se puede descomponer en tres copias disjuntas de un grafo 5-regular sin triángulos con 16 vértices y 40 aristas [25] [32] (a veces llamado el grafo de Greenwood-Gleason ). [33]
Ronald Graham escribe que el artículo de Greenwood y Gleason "ahora se reconoce como un clásico en el desarrollo de la teoría de Ramsey". [30] A fines de la década de 1960, Gleason se convirtió en el asesor doctoral de Joel Spencer , quien también se hizo conocido por sus contribuciones a la teoría de Ramsey. [25] [34]
Gleason publicó pocas contribuciones a la teoría de la codificación , pero fueron influyentes, [25] e incluyeron "muchas de las ideas seminales y los primeros resultados" en la teoría de la codificación algebraica. [35] Durante las décadas de 1950 y 1960, asistió a reuniones mensuales sobre teoría de la codificación con Vera Pless y otros en el Laboratorio de Investigación de la Fuerza Aérea de Cambridge. [36] Pless, que había trabajado anteriormente en álgebra abstracta pero se convirtió en uno de los principales expertos mundiales en teoría de la codificación durante este tiempo, escribe que "estas reuniones mensuales eran por lo que vivía". Con frecuencia le planteaba sus problemas matemáticos a Gleason y a menudo era recompensada con una respuesta rápida y perspicaz. [25]
El teorema de Gleason-Prange recibe su nombre del trabajo de Gleason con el investigador de la AFCRL Eugene Prange ; fue publicado originalmente en un informe de investigación de la AFCRL de 1964 por HF Mattson Jr. y EF Assmus Jr. Se refiere al código de residuo cuadrático de orden n , ampliado mediante la adición de un único bit de comprobación de paridad. Este "teorema notable" [37] muestra que este código es altamente simétrico, teniendo el grupo lineal proyectivo PSL 2 ( n ) como un subgrupo de sus simetrías. [25] [37]
Gleason es el homónimo de los polinomios de Gleason, un sistema de polinomios que generan los enumeradores de peso de los códigos lineales . [25] [38] Estos polinomios toman una forma particularmente simple para los códigos autoduales : en este caso hay solo dos de ellos, los dos polinomios bivariados x 2 + y 2 y x 8 + 14 x 2 y 2 + y 8. [25] La estudiante de Gleason, Jessie MacWilliams, continuó el trabajo de Gleason en esta área, demostrando una relación entre los enumeradores de peso de los códigos y sus duales que se ha conocido como la identidad de MacWilliams . [25]
En este ámbito, también realizó un trabajo pionero en matemáticas experimentales , realizando experimentos informáticos en 1960. Este trabajo estudió la distancia media a una palabra de código, para un código relacionado con el juego de conmutación de Berlekamp . [12] [39]
Gleason fundó la teoría de las álgebras de Dirichlet , [40] e hizo otras contribuciones matemáticas, incluyendo trabajos sobre geometría finita [41] y sobre la combinatoria enumerativa de permutaciones . [7] (En 1959 escribió que sus "actividades paralelas" de investigación incluían "un intenso interés en los problemas combinatorios"). [3] Además, no tenía reparos en publicar investigaciones en matemáticas más elementales, como la derivación del conjunto de polígonos que se pueden construir con compás, regla y un trisector de ángulos . [7]
En 1952, Gleason recibió el Premio Newcomb Cleveland de la Asociación Estadounidense para el Avance de la Ciencia [42] por su trabajo sobre el quinto problema de Hilbert . [3] Fue elegido miembro de la Academia Nacional de Ciencias y de la Sociedad Filosófica Estadounidense , fue miembro de la Academia Estadounidense de las Artes y las Ciencias , [6] [12] y perteneció a la Société Mathématique de France . [3]
En 1981 y 1982 fue presidente de la Sociedad Matemática Americana , [6] y en varias ocasiones ocupó numerosos otros puestos en organizaciones profesionales y académicas, incluida la presidencia del Departamento de Matemáticas de Harvard. [43] En 1986 presidió el comité organizador del Congreso Internacional de Matemáticos en Berkeley, California , y fue presidente del Congreso. [16]
En 1996, la Sociedad de Socios de Harvard celebró un simposio especial en honor a Gleason por su retiro después de siete años como presidente; [14] ese mismo año, la Asociación de Matemáticas de Estados Unidos le otorgó el Premio Yueh-Gin Gung y Dr. Charles Y. Hu al Servicio Distinguido en Matemáticas. [44] Un expresidente de la Asociación escribió:
Al pensar y admirar la carrera de Andy Gleason, la referencia natural es la profesión total de un matemático: diseñar y enseñar cursos, asesorar sobre educación en todos los niveles, realizar investigaciones, asesorar a los usuarios de las matemáticas, actuar como líder de la profesión, cultivar el talento matemático y servir a la institución. Andy Gleason es uno de esos raros individuos que ha hecho todas estas cosas de manera excelente. [16]
Después de su muerte, una colección de ensayos de 32 páginas en Notices of the American Mathematical Society recordó "la vida y obra de [este] eminente matemático estadounidense", [45] llamándolo "uno de los gigantes silenciosos de las matemáticas del siglo XX, el profesor consumado dedicado a la erudición, la enseñanza y el servicio en igual medida". [7]
