Caracterización (matemáticas)

En matemáticas , una caracterización de un objeto es un conjunto de condiciones que, si bien son diferentes de la definición del objeto, son lógicamente equivalentes a ella. ^[1] Decir que "La propiedad P caracteriza al objeto X " es decir que X no sólo tiene la propiedad P , sino que X es lo único que tiene la propiedad P (es decir, P es una propiedad definitoria de X ). De manera similar, se dice que un conjunto de propiedades P caracteriza a X , cuando estas propiedades distinguen a X de todos los demás objetos. Aunque una caracterización identifica un objeto de forma única, pueden existir varias caracterizaciones para un solo objeto. Las expresiones matemáticas comunes para una caracterización de X en términos de P incluyen " P es necesario y suficiente para X ", y " X se cumple si y sólo si P ".

También es común encontrar afirmaciones del tipo “La propiedad Q caracteriza a Y hasta el isomorfismo ”. El primer tipo de declaración dice en diferentes palabras que la extensión de P es un conjunto singleton , mientras que el segundo dice que la extensión de Q es una clase de equivalencia única (para isomorfismo, en el ejemplo dado, dependiendo de cómo se use up to , podría estar involucrada alguna otra relación de equivalencia ).

Una referencia sobre terminología matemática señala que característica proviene del término griego kharax , "una estaca puntiaguda":

Del griego kharax vino kharakhter , instrumento utilizado para marcar o grabar un objeto. Una vez que un objeto era marcado, se volvía distintivo, por lo que el carácter de algo pasó a significar su naturaleza distintiva. El sufijo griego tardío -istikos convirtió el sustantivo carácter en el adjetivo característica , que, además de mantener su significado adjetival, pasó a ser posteriormente también sustantivo. ^[2]

Así como en química la propiedad característica de un material servirá para identificar una muestra, o en el estudio de materiales, las estructuras y propiedades determinarán su caracterización , en matemáticas hay un esfuerzo continuo por expresar propiedades que permitan distinguir un rasgo deseado en un teoría o sistema. La caracterización no es exclusiva de las matemáticas, pero dado que la ciencia es abstracta, gran parte de la actividad puede describirse como "caracterización". Por ejemplo, en Mathematical Reviews , a partir de 2018, más de 24.000 artículos contienen la palabra en el título del artículo y 93.600 en algún lugar de la revisión.

En un contexto arbitrario de objetos y características, las caracterizaciones se han expresado mediante la relación heterogénea aRb , lo que significa que el objeto a tiene la característica b . Por ejemplo, b puede significar abstracto o concreto . Los objetos pueden considerarse las extensiones del mundo, mientras que los rasgos son expresión de las intenciones . Un programa continuo de caracterización de diversos objetos conduce a su categorización .

Ejemplos

Un número racional , generalmente definido como una razón de dos números enteros, puede caracterizarse como un número con expansión decimal finita o periódica . ^[1]
Un paralelogramo es un cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos. Una de sus caracterizaciones es que sus diagonales se bisecan. Esto significa que las diagonales de todos los paralelogramos se bisecan entre sí y, a la inversa, que cualquier cuadrilátero cuyas diagonales se bisecan entre sí debe ser un paralelogramo. Esta última afirmación sólo es cierta si se utilizan definiciones inclusivas de cuadriláteros (de modo que, por ejemplo, los rectángulos cuenten como paralelogramos), que es la forma dominante de definir objetos en matemáticas hoy en día.
"Entre las distribuciones de probabilidad en el intervalo de 0 a ∞ en la recta real, la falta de memoria caracteriza las distribuciones exponenciales ". Esta afirmación significa que las distribuciones exponenciales son las únicas distribuciones de probabilidad que no tienen memoria, siempre que la distribución sea continua como se define anteriormente (consulte Caracterización de distribuciones de probabilidad para obtener más información).
"Según el teorema de Bohr-Mollerup , entre todas las funciones f tales que f (1) = 1 y xf ( x ) = f ( x + 1) para x > 0, la convexidad logarítmica caracteriza la función gamma ". Esto significa que entre todas estas funciones, la función gamma es la única que es logconvexa. ^[3]
El círculo se caracteriza como múltiple por ser unidimensional, compacto y conexo ; aquí la caracterización, como variedad suave, depende del difeomorfismo .

Ver también

Referencias

^ ab Weisstein, Eric W. "Caracterización". mathworld.wolfram.com . Consultado el 21 de noviembre de 2019 .
^ Steven Schwartzmann (1994) The Words of Mathematics: un diccionario etimológico de términos matemáticos utilizados en inglés , página 43, The Mathematical Association of America ISBN 0-88385-511-9
^ Una función f es log-convexa si y solo si log( f ) es una función convexa . La base del logaritmo no importa siempre que sea mayor que 1, pero los matemáticos generalmente consideran que "log" sin subíndice significa el logaritmo natural , cuya base es e .