Falta de memoria

En probabilidad y estadística , la falta de memoria es una propiedad de ciertas distribuciones de probabilidad . Describe situaciones en las que el tiempo que ya has esperado por un evento no afecta cuánto más tendrás que esperar. Para modelar con precisión situaciones sin memoria, debemos ignorar el estado pasado del sistema: las probabilidades no se ven afectadas por la historia del proceso. ^[1]

Sólo dos tipos de distribuciones no tienen memoria : las distribuciones de probabilidad geométricas y exponenciales .

Ejemplos de tiempo de espera

Con memoria

La mayoría de los fenómenos no carecen de memoria, lo que significa que los observadores obtendrán información sobre ellos con el tiempo. Por ejemplo, supongamos que $X$ es una variable aleatoria , la vida útil del motor de un automóvil, expresada en términos de "número de millas recorridas hasta que el motor se avería". Está claro, según nuestra intuición, que un motor que ya ha recorrido 300.000 millas tendrá un $X$ mucho menor que el de un segundo motor (equivalente) que sólo ha recorrido 1.000 millas. Por tanto, esta variable aleatoria no tendría la propiedad de falta de memoria.

sin memoria

Por el contrario, examinemos una situación que mostraría falta de memoria. Imagínese un largo pasillo con miles de cajas fuertes alineadas en una pared. Cada caja fuerte tiene un dial con 500 posiciones y a cada una se le ha asignado una posición de apertura al azar. Imagine que una persona excéntrica camina por el pasillo y se detiene una vez en cada caja fuerte para hacer un único intento aleatorio de abrirla. En este caso, podríamos definir la variable aleatoria $X$ como la duración de su búsqueda, expresada en términos de "número de intentos que la persona debe hacer hasta abrir con éxito una caja fuerte". En este caso, $E[X]$ siempre será igual al valor de 500, independientemente de cuántos intentos se hayan realizado ya. Cada nuevo intento tiene una probabilidad (1/500) de tener éxito, por lo que es probable que la persona abra exactamente una caja fuerte en algún momento de los siguientes 500 intentos, pero con cada nuevo fracaso no logra ningún "progreso" hacia el éxito final. Incluso si el ladrón de cajas fuertes acaba de fallar 499 veces consecutivas (o 4999 veces), esperamos esperar 500 intentos más hasta observar el siguiente éxito. Si, en cambio, esta persona centrara sus intentos en una sola caja fuerte y "recordara" sus intentos anteriores de abrirla, tendría garantizado abrir la caja fuerte después de, como máximo, 500 intentos (y, de hecho, al principio sólo lo haría). espere necesitar 250 intentos, no 500).

La ley universal de la desintegración radiactiva , que describe el tiempo hasta que una determinada partícula radiactiva se desintegra, es un ejemplo de la vida real de falta de memoria. Un ejemplo (teórico) de falta de memoria utilizado con frecuencia en la teoría de colas es el tiempo que un tendero debe esperar antes de la llegada del siguiente cliente.

Discreta falta de memoria

Si una variable aleatoria discreta no tiene memoria, entonces satisface dónde y son números naturales . La igualdad sigue siendo cierta cuando se sustituye en el lado izquierdo de la ecuación. ^[2] $X$ $\Pr(X>m+n\mid X>m)=\Pr(X>n)$ $m$ $n$ $\geq$ $>$

La única variable aleatoria discreta que no tiene memoria es la variable aleatoria geométrica que toma valores en . ^[3] Esta variable aleatoria describe cuándo se produce el primer éxito en una secuencia infinita de ensayos de Bernoulli independientes e idénticamente distribuidos . ^[4] La propiedad de falta de memoria afirma que el número de ensayos fallidos previamente no tiene ningún efecto sobre el número de ensayos futuros necesarios para tener éxito. $\mathbb {N}$

Las variables aleatorias geométricas también se pueden definir tomando valores en , que describen el número de ensayos fallidos antes del primer éxito en una secuencia de ensayos de Bernoulli independientes e idénticamente distribuidos. Estas variables aleatorias no satisfacen la condición de falta de memoria establecida anteriormente; sin embargo, satisfacen una condición sin memoria ligeramente modificada: ^[5] $\mathbb {N} _ {0}$

$\Pr(X>m+n\mid X\geq m)=\Pr(X>n).$

De manera similar a la primera definición, solo las variables aleatorias discretas que satisfacen esta condición sin memoria son variables aleatorias geométricas que toman valores en . En el caso continuo, estas dos definiciones de falta de memoria son equivalentes. $\mathbb {N} _ {0}$

Falta de memoria continua

Si una variable aleatoria continua no tiene memoria, entonces satisface donde y son números reales no negativos . ^[6] La igualdad sigue siendo cierta cuando se sustituye. ^[7] $X$ $\Pr(X>s+t\mid X>t)=\Pr(X>s)$ $s$ $t$ $\geq$

La única variable aleatoria continua que no tiene memoria es la variable aleatoria exponencial . Modela procesos aleatorios como el tiempo entre eventos consecutivos. ^[8] La propiedad de falta de memoria afirma que la cantidad de tiempo transcurrido desde el evento anterior no tiene ningún efecto en el tiempo futuro hasta que ocurra el siguiente evento.

Distribución exponencial y prueba de falta de memoria.

La única distribución de probabilidad continua sin memoria es la distribución exponencial, que se muestra en la siguiente prueba: ^[9]

Primero, defina , también conocida como función de supervivencia de la distribución . De la propiedad de falta de memoria y la definición de probabilidad condicional , se deduce que $S(t)=\Pr(X>t)$ ${\frac {\Pr(X>t+s)}{\Pr(X>t)}}=\Pr(X>s)$

Esto da la ecuación funcional que implica dónde es un número natural . De manera similar, ¿dónde es un número natural, excluyendo ? Por tanto, todos los números racionales satisfacen Ya que es continuo y el conjunto de los números racionales es denso en el conjunto de los números reales , donde es un número real no negativo. Cuándo y, como resultado, dónde . $S(t+s)=S(t)S(s)$ $S(pt)=S(t)^{p}$ $p$ $S\left({\frac {t}{q}}\right)=S(t)^{\frac {1}{q}}$ $q$ $0$ $a={\tfrac {p}{q}}$ $S(at)=S(t)^{a}$ $S$ $S(xt)=S(t)^{x}$ $x$ $t=1$ $S(x)=S(1)^{x}$ $S(x)=e^{-\lambda x}$ $\lambda =-\ln S(1)\geq 0$

Referencias

^ "Notas sobre variables aleatorias sin memoria" (PDF) .
^ Chattamvelli, Rajan; Shanmugam, Ramalingam (2020). Distribuciones discretas en ingeniería y ciencias aplicadas. Conferencias de síntesis sobre matemáticas y estadística. Cham: Editorial Internacional Springer. pag. 71. doi :10.1007/978-3-031-02425-2. ISBN 978-3-031-01297-6.
^ Dekking, Frederik Michel; Kraaikamp, Cornelis; Lopuhaä, Hendrik Paul; Meester, Ludolf Erwin (2005). Una introducción moderna a la probabilidad y la estadística. Textos de Springer en Estadística. Londres: Springer Londres. pag. 50.doi :10.1007/1-84628-168-7 . ISBN 978-1-85233-896-1.
^ Nagel, Werner; Steyer, Rolf (4 de abril de 2017). Probabilidad y expectativa condicional: fundamentos de las ciencias empíricas. Serie Wiley en probabilidad y estadística (1ª ed.). Wiley. págs. 260–261. doi :10.1002/9781119243496. ISBN 978-1-119-24352-6.
^ Weisstein, Eric W. "Sin memoria". mathworld.wolfram.com . Consultado el 25 de julio de 2024 .
^ Pitman, Jim (1993). Probabilidad. Nueva York, Nueva York: Springer Nueva York. pag. 279. doi :10.1007/978-1-4612-4374-8. ISBN 978-0-387-94594-1.
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^ Bas, Esra (2019). Conceptos básicos de probabilidad y procesos estocásticos. Cham: Editorial Internacional Springer. pag. 74. doi :10.1007/978-3-030-32323-3. ISBN 978-3-030-32322-6.
^ Riposo, Julien (2023). Algunos Fundamentos de Matemáticas de Blockchain. Cham: Springer Nature Suiza. págs. 8–9. doi :10.1007/978-3-031-31323-3. ISBN 978-3-031-31322-6.