Variedad topológica

Tipo de espacio topológico

En topología , una rama de las matemáticas , una variedad topológica es un espacio topológico que se asemeja localmente a un espacio euclidiano real de n dimensiones . Las variedades topológicas son una clase importante de espacios topológicos, con aplicaciones en toda la matemática. Todas las variedades son variedades topológicas por definición. Otros tipos de variedades se forman añadiendo estructura a una variedad topológica (por ejemplo, las variedades diferenciables son variedades topológicas equipadas con una estructura diferencial ). Cada variedad tiene una variedad topológica "subyacente", obtenida simplemente "olvidando" la estructura añadida. ^[1] Sin embargo, no todas las variedades topológicas pueden estar dotadas de una estructura adicional particular. Por ejemplo, la variedad E8 es una variedad topológica que no puede estar dotada de una estructura diferenciable.

Definición formal

Un espacio topológico X se llama localmente euclidiano si existe un entero no negativo n tal que cada punto en X tiene un vecindario que es homeomorfo al espacio n real R ⁿ . ^[2]

Una variedad topológica es un espacio localmente euclidiano de Hausdorff . Es habitual imponer requisitos adicionales a las variedades topológicas. En particular, muchos autores las definen como paracompactas ^[3] o contables en segundo lugar ^[2] .

En el resto de este artículo, una variedad significará una variedad topológica. Una variedad n significará una variedad topológica tal que cada punto tiene un vecindario homeomorfo a R ⁿ .

Ejemplos

norte-colectores

• El espacio de coordenadas real R ⁿ es una n -variedad.
• Cualquier espacio discreto es una variedad de dimensión 0.
• Un círculo es una 1-variedad compacta .
• Un toro y una botella de Klein son 2-variedades compactas (o superficies ).
• La esfera n -dimensional S ⁿ es una n -variedad compacta.
• El toro n -dimensional T ⁿ (el producto de n círculos) es una n -variedad compacta .

Variedades proyectivas

• Los espacios proyectivos sobre los reales , complejos o cuaterniones son variedades compactas.
  • El espacio proyectivo real RP ⁿ es una variedad n -dimensional.
  • El espacio proyectivo complejo CP ⁿ es una variedad de 2 n dimensiones.
  • El espacio proyectivo cuaterniónico HP ⁿ es una variedad de 4 n dimensiones.
• Las variedades relacionadas con el espacio proyectivo incluyen las variedades Grassmannianas , las variedades bandera y las variedades Stiefel .

Otros colectores

• Las variedades diferenciables son una clase de variedades topológicas dotadas de una estructura diferencial .
• Los espacios de lentes son una clase de variedades diferenciables que son cocientes de esferas de dimensión impar.
• Los grupos de Lie son una clase de variedades diferenciables equipadas con una estructura de grupo compatible .
• La variedad E8 es una variedad topológica a la que no se le puede dar una estructura diferenciable.

Propiedades

La propiedad de ser localmente euclidiano se conserva mediante homeomorfismos locales . Es decir, si X es localmente euclidiano de dimensión n y f  : Y → X es un homeomorfismo local, entonces Y es localmente euclidiano de dimensión n . En particular, ser localmente euclidiano es una propiedad topológica .

Las variedades heredan muchas de las propiedades locales del espacio euclidiano. En particular, son localmente compactas , localmente conexas , primeramente numerables , localmente contráctiles y localmente metrizables . Al ser espacios de Hausdorff localmente compactos, las variedades son necesariamente espacios de Tichonoff .

La adición de la condición de Hausdorff puede hacer que varias propiedades se vuelvan equivalentes para una variedad. Como ejemplo, podemos mostrar que para una variedad de Hausdorff, las nociones de σ-compacidad y segunda-contabilidad son las mismas. De hecho, una variedad de Hausdorff es un espacio de Hausdorff localmente compacto, por lo tanto es (completamente) regular. ^[4] Supongamos que un espacio de este tipo X es σ-compacto. Entonces es Lindelöf, y como Lindelöf + regular implica paracompacto, X es metrizable. Pero en un espacio metrizable, la segunda-contabilidad coincide con ser Lindelöf, por lo que X es segunda-contable. A la inversa, si X es una variedad de Hausdorff segunda-contable, debe ser σ-compacta. ^[5]

Una variedad no necesita ser conexa, pero cada variedad M es una unión disjunta de variedades conexas. Estas son simplemente los componentes conexos de M , que son conjuntos abiertos ya que las variedades están conexas localmente. Al estar conexa localmente por caminos, una variedad es conexa por caminos si y solo si está conexa. De ello se deduce que los componentes por caminos son los mismos que los componentes.

El axioma de Hausdorff

La propiedad de Hausdorff no es local; por lo tanto, aunque el espacio euclidiano sea de Hausdorff, un espacio euclidiano local no tiene por qué ser necesariamente . Sin embargo, es cierto que todo espacio euclidiano local es T 1 .

Un ejemplo de un espacio euclidiano local no hausdorffiano es la línea con dos orígenes . Este espacio se crea reemplazando el origen de la línea real por dos puntos, un entorno abierto de cualquiera de los cuales incluye todos los números distintos de cero en algún intervalo abierto centrado en cero. Este espacio no es hausdorffiano porque los dos orígenes no se pueden separar.

Axiomas de compacidad y contabilidad

Una variedad es metrizable si y solo si es paracompacta . La línea larga es un ejemplo de una variedad topológica unidimensional de Hausdorff normal que no es metrizable ni paracompacta. Dado que la metrizabilidad es una propiedad tan deseable para un espacio topológico, es común agregar la paracompacidad a la definición de una variedad. En cualquier caso, las variedades no paracompactas generalmente se consideran patológicas . Un ejemplo de una variedad no paracompacta viene dado por la línea larga . Las variedades paracompactas tienen todas las propiedades topológicas de los espacios métricos. En particular, son espacios de Hausdorff perfectamente normales .

También se exige comúnmente que las variedades sean contables en segundo lugar . Esta es precisamente la condición requerida para garantizar que la variedad se incruste en algún espacio euclidiano de dimensión finita. Para cualquier variedad, las propiedades de ser contable en segundo lugar, Lindelöf y σ-compacta son todas equivalentes.

Toda variedad contable en segundo orden es paracompacta, pero no al revés. Sin embargo, lo inverso es casi cierto: una variedad paracompacta es contable en segundo orden si y solo si tiene un número contable de componentes conexos . En particular, una variedad conexa es paracompacta si y solo si es contable en segundo orden. Toda variedad contable en segundo orden es separable y paracompacta. Además, si una variedad es separable y paracompacta, entonces también es contable en segundo orden.

Toda variedad compacta es contable en segundos y paracompacta.

Dimensionalidad

Por invariancia de dominio , una n- variedad no vacía no puede ser una m -variedad para n ≠ m . ^{[6] La dimensión de una} n -variedad no vacía es n . Ser una n -variedad es una propiedad topológica , lo que significa que cualquier espacio topológico homeomorfo a una n -variedad es también una n -variedad. ^[7]

Gráficos de coordenadas

Por definición, cada punto de un espacio localmente euclidiano tiene un entorno homeomorfo a un subconjunto abierto de . Dichos entornos se denominan entornos euclidianos . De la invariancia del dominio se deduce que los entornos euclidianos son siempre conjuntos abiertos. Siempre se pueden encontrar entornos euclidianos que sean homeomorfos a conjuntos abiertos "agradables" en . De hecho, un espacio M es localmente euclidiano si y solo si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes: ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

• cada punto de M tiene un vecindario homeomorfo a una bola abierta en . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• cada punto de M tiene un vecindario homeomorfo a sí mismo. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Un entorno euclidiano homeomorfo a una esfera abierta se denomina esfera euclidiana . Las esferas euclidianas forman una base para la topología de un espacio euclidiano local. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Para cualquier entorno euclidiano U , un homeomorfismo se denomina gráfico de coordenadas en U (aunque la palabra gráfico se utiliza con frecuencia para referirse al dominio o rango de dicho mapa). Un espacio M es localmente euclidiano si y solo si puede ser cubierto por entornos euclidianos. Un conjunto de entornos euclidianos que cubren M , junto con sus gráficos de coordenadas, se denomina atlas en M . (La terminología proviene de una analogía con la cartografía por la cual un globo esférico puede ser descrito por un atlas de mapas o gráficos planos). ${\displaystyle \phi :U\rightarrow \phi \left(U\right)\subset \mathbb {R} ^{n}}$

Dados dos gráficos y con dominios superpuestos U y V , existe una función de transición ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \psi \phi ^{-1}:\phi \left(U\cap V\right)\rightarrow \psi \left(U\cap V\right)}$

Un mapa de este tipo es un homeomorfismo entre subconjuntos abiertos de . Es decir, los gráficos de coordenadas coinciden en las superposiciones hasta el homeomorfismo. Se pueden definir diferentes tipos de variedades al poner restricciones sobre los tipos de mapas de transición permitidos. Por ejemplo, para variedades diferenciables, se requiere que los mapas de transición sean suaves . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Clasificación de variedades

Espacios discretos (variedad 0)

Una variedad 0 es simplemente un espacio discreto . Un espacio discreto es contable en segundo lugar si y solo si es contable . ^[7]

Curvas (1-variedad)

Toda 1-variedad no vacía, paracompacta y conexa es homeomorfa a R o al círculo . ^[7]

Superficies (2-Variedades)

La esfera es una 2-variedad.

Toda 2-variedad (o superficie ) no vacía, compacta y conexa es homeomorfa a la esfera , una suma conexa de toros o una suma conexa de planos proyectivos . ^[8]

Volúmenes (3-Variedades)

Una clasificación de las 3-variedades resulta de la conjetura de geometrización de Thurston , probada por Grigori Perelman en 2003. Más específicamente, los resultados de Perelman proporcionan un algoritmo para decidir si dos 3-variedades son homeomorfas entre sí. ^[9]

Generalnorte-colector

Se sabe que la clasificación completa de n -variedades para n mayor que tres es imposible; es al menos tan difícil como el problema verbal en la teoría de grupos , que se sabe que es algorítmicamente indecidible . ^[10]

De hecho, no existe un algoritmo para decidir si una variedad dada es simplemente conexa . Sin embargo, existe una clasificación de variedades simplemente conexas de dimensión ≥ 5. ^{[11] [12]}

Variedades con borde

A veces resulta útil un concepto un poco más general. Una variedad topológica con borde es un espacio de Hausdorff en el que cada punto tiene un entorno homeomorfo a un subconjunto abierto del semiespacio euclidiano (para un n fijo ):

${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{n}=\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}:x_{n}\geq 0\}.}$

Toda variedad topológica es una variedad topológica con borde, pero no viceversa. ^[7]

Construcciones

Existen varios métodos para crear colectores a partir de otros colectores.

Colectores de productos

Si M es una m -variedad y N es una n -variedad, el producto cartesiano M × N es una ( m + n )-variedad cuando se da la topología del producto . ^[13]

Unión disjunta

La unión disjunta de una familia contable de n -variedades es una n -variedad (las partes deben tener todas la misma dimensión). ^[7]

Suma conectada

La suma conexa de dos n -variedades se define quitando una bola abierta de cada variedad y tomando el cociente de la unión disjunta de las variedades resultantes con borde, con el cociente tomado con respecto a un homeomorfismo entre las esferas de borde de las bolas eliminadas. Esto da como resultado otra n -variedad. ^[7]

Subvariedad

Cualquier subconjunto abierto de una n -variedad es una n -variedad con la topología de subespacio . ^[13]

Notas al pie

1. Rajendra Bhatia (6 de junio de 2011). Actas del Congreso Internacional de Matemáticos: Hyderabad, 19-27 de agosto de 2010. World Scientific. pp. 477–. ISBN 978-981-4324-35-9.
2. John M. Lee (6 de abril de 2006). Introducción a las variedades topológicas. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-22727-6.
3. Thierry Aubin (2001). Un curso de geometría diferencial. American Mathematical Soc., pp. 25–. ISBN 978-0-8218-7214-7.
4. Subwiki de Topospaces, Hausdorff localmente compacto implica completamente regular
5. Stack Exchange, Hausdorff localmente compacto y el segundo contable es sigma-compacto
6. Tammo tom Dieck (2008). Topología algebraica. Sociedad Matemática Europea. pp. 249–. ISBN 978-3-03719-048-7.
7. John Lee (25 de diciembre de 2010). Introducción a las variedades topológicas. Springer Science & Business Media. pp. 64–. ISBN 978-1-4419-7940-7.
8. Jean Gallier; Dianna Xu (5 de febrero de 2013). Una guía para el teorema de clasificación de superficies compactas . Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-34364-3.
9. Geometrización de 3-variedades. Sociedad Matemática Europea. 2010. ISBN 978-3-03719-082-1.
10. Lawrence Conlon (17 de abril de 2013). Variedades diferenciables: un primer curso. Springer Science & Business Media. pp. 90–. ISBN 978-1-4757-2284-0.
11. Žubr AV (1988) Clasificación de variedades topológicas de 6 elementos simplemente conexas. En: Viro OY, Vershik AM (eds) Topología y geometría: Seminario Rohlin. Apuntes de clase sobre matemáticas, vol. 1346. Springer, Berlín, Heidelberg
12. Barden, D. "Variedades de cinco elementos conexas simples". Annals of Mathematics, vol. 82, núm. 3, 1965, págs. 365–385. JSTOR, www.jstor.org/stable/1970702.
13. Jeffrey Lee; Jeffrey Marc Lee (2009). Variedades y geometría diferencial. American Mathematical Soc. pp. 7–. ISBN 978-0-8218-4815-9.

Referencias

• Gauld, DB (1974). "Propiedades topológicas de variedades". The American Mathematical Monthly . 81 (6). Asociación Matemática de América: 633–636. doi :10.2307/2319220. JSTOR  2319220.
• Kirby, Robion C. ; Siebenmann, Laurence C. (1977). Ensayos fundamentales sobre variedades topológicas. Suavizamientos y triangulaciones (PDF) . Princeton: Princeton University Press. ISBN 0-691-08191-3.
• Lee, John M. (2000). Introducción a las variedades topológicas. Textos de posgrado en matemáticas 202. Nueva York: Springer. ISBN 0-387-98759-2.

Enlaces externos

• Medios relacionados con Variedades matemáticas en Wikimedia Commons