Variedad no Hausdorff

En geometría y topología , un axioma habitual de una variedad es que es un espacio de Hausdorff . En topología general , este axioma se relaja y se estudian variedades no Hausdorff : espacios localmente homeomorfos al espacio euclidiano , pero no necesariamente de Hausdorff.

Ejemplos

Línea con dos orígenes

La variedad no hausdorffiana más conocida es la línea con dos orígenes , ^[1] o línea de ojos saltones . Este es el espacio cociente de dos copias de la línea real, y (con ), obtenido al identificar puntos y siempre que ${\displaystyle \mathbb {R} \times \{a\}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \times \{b\}}$ ${\displaystyle a\neq b}$ ${\displaystyle (x,a)}$ ${\displaystyle (x,b)}$ ${\displaystyle x\neq 0.}$

Una descripción equivalente del espacio es tomar la línea real y reemplazar el origen con dos orígenes y El subespacio conserva su topología euclidiana habitual. Y una base local de vecindades abiertas en cada origen está formada por los conjuntos con una vecindad abierta de en ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 0_{a}}$ ${\displaystyle 0_{b}.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}$ ${\displaystyle 0_{i}}$ ${\displaystyle (U\setminus \{0\})\cup \{0_{i}\}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Para cada origen, el subespacio obtenido de al reemplazar con es un entorno abierto de homeomorfo a ^[1] Dado que cada punto tiene un entorno homeomorfo a la línea euclidiana, el espacio es localmente euclidiano . En particular, es localmente Hausdorff , en el sentido de que cada punto tiene un entorno de Hausdorff. Pero el espacio no es Hausdorff, ya que cada entorno de interseca cada entorno de Sin embargo, es un espacio T 1 . ${\displaystyle 0_{i}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 0_{i}}$ ${\displaystyle 0_{i}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle 0_{a}}$ ${\displaystyle 0_{b}.}$

El espacio es segundo contable .

El espacio exhibe varios fenómenos que no ocurren en los espacios de Hausdorff:

• El espacio está conectado por caminos, pero no por arcos . En particular, para obtener un camino desde un origen hasta el otro, uno puede primero moverse hacia la izquierda desde a dentro de la línea que pasa por el primer origen, y luego moverse hacia atrás hacia la derecha desde a dentro de la línea que pasa por el segundo origen. Pero es imposible unir los dos orígenes con un arco, que es un camino inyectivo; intuitivamente, si uno se mueve primero hacia la izquierda, uno tiene que retroceder eventualmente y moverse hacia atrás hacia la derecha. ${\displaystyle 0_{a}}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle 0_{b}}$

• La intersección de dos conjuntos compactos no tiene por qué serlo necesariamente. Por ejemplo, los conjuntos y son compactos, pero su intersección no lo es. ${\displaystyle [-1,0)\cup \{0_{a}\}}$ ${\displaystyle [-1,0)\cup \{0_{b}\}}$ ${\displaystyle [-1,0)}$

• El espacio es localmente compacto en el sentido de que cada punto tiene una base local de vecindades compactas. Pero la línea que pasa por un origen no contiene una vecindad cerrada de ese origen, ya que cualquier vecindad de un origen contiene la del otro origen en su clausura. Por lo tanto, el espacio no es un espacio regular , y aunque cada punto tiene al menos una vecindad cerrada compacta, los puntos de origen no admiten una base local de vecindades cerradas compactas.

El espacio no tiene el tipo de homotopía de un complejo CW ni de ningún espacio de Hausdorff. ^[2]

Línea con múltiples orígenes

La línea con muchos orígenes ^[3] es similar a la línea con dos orígenes, pero con un número arbitrario de orígenes. Se construye tomando un conjunto arbitrario con la topología discreta y tomando el espacio cociente de que identifica los puntos y siempre que De manera equivalente, se puede obtener de reemplazando el origen con muchos orígenes uno para cada Los vecindarios de cada origen se describen como en el caso de dos orígenes. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \times S}$ ${\displaystyle (x,\alpha )}$ ${\displaystyle (x,\beta )}$ ${\displaystyle x\neq 0.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 0_{\alpha },}$ ${\displaystyle \alpha \in S.}$

Si hay infinitos orígenes, el espacio ilustra que el cierre de un conjunto compacto no tiene por qué ser compacto en general. Por ejemplo, el cierre del conjunto compacto es el conjunto obtenido sumando todos los orígenes a , y ese cierre no es compacto. Al ser localmente euclidiano, un espacio de este tipo es localmente compacto en el sentido de que cada punto tiene una base local de vecindades compactas. Pero los puntos de origen no tienen ninguna vecindad compacta cerrada. ${\displaystyle A=[-1,0)\cup \{0_{\alpha }\}\cup (0,1]}$ ${\displaystyle A\cup \{0_{\beta }:\beta \in S\}}$ ${\displaystyle A}$

Línea de ramificación

Similar a la línea con dos orígenes es la línea de ramificación .

Este es el espacio cociente de dos copias de la recta real con la relación de equivalencia $${\displaystyle \mathbb {R} \times \{a\}\quad {\text{ and }}\quad \mathbb {R} \times \{b\}}$$ $${\displaystyle (x,a)\sim (x,b)\quad {\text{ if }}\;x<0.}$$

Este espacio tiene un único punto para cada número real negativo y dos puntos para cada número no negativo: tiene una "bifurcación" en el cero. ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle x_{a},x_{b}}$

Espacio Etale

El espacio étal de un haz , como el haz de funciones reales continuas sobre una variedad, es una variedad que a menudo no es de Hausdorff. (El espacio étal es de Hausdorff si es un haz de funciones con algún tipo de propiedad de continuación analítica ). ^[4]

Propiedades

Debido a que las variedades no Hausdorff son localmente homeomorfas al espacio euclidiano , son localmente metrizables (pero no metrizables en general) y localmente Hausdorff (pero no Hausdorff en general).

Véase también

• Lista de topologías  – Lista de topologías concretas y espacios topológicos
• Espacio Hausdorff local
• Axioma de separación  – Axiomas en topología que definen nociones de “separación”

Notas

1. Munkres 2000, pág. 227.
2. Gabard 2006, Proposición 5.1.
3. Lee 2011, Problema 4-22, pág. 125.
4. Warner, Frank W. (1983). Fundamentos de variedades diferenciables y grupos de Lie . Nueva York: Springer-Verlag. pág. 164. ISBN. 978-0-387-90894-6.

Referencias

• Baillif, Mathieu; Gabard, Alexandre (2008). "Variedades: Hausdorffness versus homogeneidad". Actas de la American Mathematical Society . 136 (3): 1105–1111. arXiv : math/0609098 . doi : 10.1090/S0002-9939-07-09100-9 .
• Gabard, Alexandre (2006), Una variedad separable que no tiene el tipo de homotopía de un complejo CW , arXiv : math.GT/0609665v1 , Bibcode :2006math......9665G
• Lee, John M. (2011). Introducción a las variedades topológicas (Segunda edición). Springer. ISBN 978-1-4419-7939-1.
• Munkres, James R. (2000). Topología (segunda edición). Upper Saddle River, NJ : Prentice Hall, Inc. ISBN 978-0-13-181629-9.OCLC 42683260  .