Espacio metrizable

Espacio topológico que es homeomorfo a un espacio métrico.

En topología y áreas relacionadas de las matemáticas , un espacio metrizable es un espacio topológico que es homeomorfo a un espacio métrico . Es decir, se dice que un espacio topológico es metrizable si existe una métrica tal que la topología inducida por es ^{[1] [2]} Los teoremas de metrización son teoremas que dan condiciones suficientes para que un espacio topológico sea metrizable. ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle d:X\times X\to [0,\infty )}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \tau .}$

Propiedades

Los espacios metrizables heredan todas las propiedades topológicas de los espacios métricos. Por ejemplo, son espacios paracompactos de Hausdorff (y por tanto normales y Tychonoff ) y primeros contables . Sin embargo, no se puede decir que algunas propiedades de la métrica, como la integridad , sean heredadas. Esto también se aplica a otras estructuras vinculadas a la métrica. Un espacio uniforme metrizable , por ejemplo, puede tener un conjunto diferente de mapas de contracción que un espacio métrico al que es homeomorfo.

Teoremas de metrización

Uno de los primeros teoremas de metrización ampliamente reconocidos fueTeorema de metrización de Urysohn . Esto establece que cadasegundo espacio regulares metrizable. Entonces, por ejemplo, cada segundavariedades metrizable. (Nota histórica: la forma del teorema que se muestra aquí fue de hecho demostrada porTikhonoven 1926. Lo queUrysohnhabía demostrado, en un artículo publicado póstumamente en 1925, era que cada segundo espacio normal contable de Hausdorff es metrizable). Lo contrario no se cumple: existen espacios métricos que no son contables en segundo lugar, por ejemplo, un conjunto incontable dotado de la métrica discreta.^[3]Elteorema de metrización de Nagata-Smirnov, que se describe a continuación, proporciona un teorema más específico donde se cumple lo contrario.

Varios otros teoremas de metrización siguen como corolarios simples del teorema de Urysohn. Por ejemplo, un espacio compacto de Hausdorff es metrizable si y sólo si es contable en segundos.

El teorema de Urysohn se puede reformular como: Un espacio topológico es separable y metrizable si y sólo si es regular, de Hausdorff y contable en segundos. El teorema de metrización de Nagata-Smirnov extiende esto al caso no separable. Afirma que un espacio topológico es metrizable si y sólo si es regular, Hausdorff y tiene una base σ-localmente finita. Una base σ-localmente finita es una base que es una unión de un número contable de colecciones localmente finitas de conjuntos abiertos. Para conocer un teorema estrechamente relacionado, consulte el teorema de metrización de Bing .

Los espacios metrizables separables también se pueden caracterizar como aquellos espacios que son homeomorfos a un subespacio del cubo de Hilbert, es decir, el producto contablemente infinito del intervalo unitario (con su topología subespacial natural de los reales) consigo mismo, dotado de la topología del producto . ${\displaystyle \lbrack 0,1\rbrack ^{\mathbb {N} },}$

Se dice que un espacio es localmente metrizable si cada punto tiene una vecindad metrizable . Smirnov demostró que un espacio localmente metrizable es metrizable si y sólo si es Hausdorff y paracompacto . En particular, una variedad es metrizable si y sólo si es paracompacta.

Ejemplos

El grupo de operadores unitarios en un espacio de Hilbert separable dotado de la topología de operador fuerte es metrizable (ver Proposición II.1 en ^[4] ). ${\displaystyle \mathbb {U} ({\mathcal {H}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

Ejemplos de espacios no metrizables

Los espacios anormales no pueden ser metrizables; ejemplos importantes incluyen

• la topología de Zariski sobre una variedad algebraica o sobre el espectro de un anillo , utilizada en geometría algebraica ,
• el espacio vectorial topológico de todas las funciones desde la recta real hasta sí misma, con la topología de convergencia puntual . ${\displaystyle \mathbb {R} }$

La línea real con la topología de límite inferior no es metrizable. La función de distancia habitual no es una métrica en este espacio porque la topología que determina es la topología habitual, no la topología del límite inferior. Este espacio es Hausdorff, paracompacto y primero contable.

Localmente metrizable pero no metrizable

La línea con dos orígenes , también llamada línea de ojos saltones, es una variedad que no es de Hausdorff (y por lo tanto no puede ser metrizable). Como todas las variedades, es localmente homeomórfica con respecto al espacio euclidiano y, por tanto, localmente metrizable (pero no metrizable) y localmente Hausdorff (pero no Hausdorff ). También es un espacio T 1 localmente regular pero no un espacio semirregular .

La línea larga es metrizable localmente pero no metrizable; en cierto sentido es "demasiado largo".

Ver también

• Métrica apolínea  - matemático y poeta rumano
• Teorema de metrización de Bing  : caracteriza cuándo un espacio topológico es metrizable
• Espacio vectorial topológico metrizable  : un espacio vectorial topológico cuya topología puede definirse mediante una métrica.
• Espacio de Moore (topología)  : espacio de Hausdorff regular desarrollablePáginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa
• Teorema de metrización de Nagata-Smirnov  : caracteriza cuándo un espacio topológico es metrizable
• Uniformizabilidad  : espacio topológico cuya topología es generada por una estructura uniforme Páginas que muestran descripciones breves de los objetivos de redireccionamiento, la propiedad de un espacio topológico de ser homeomorfo a un espacio uniforme o, de manera equivalente, la topología está definida por una familia de pseudometría.

Referencias

1. Simón, Jonatán. "Teoremas de metrización" (PDF) . Consultado el 16 de junio de 2016 .
2. Munkres, James (1999). Topología (segunda ed.). Pearson . pag. 119.
3. "Copia archivada" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 25 de septiembre de 2011 . Consultado el 8 de agosto de 2012 .{{cite web}}: Mantenimiento CS1: copia archivada como título ( enlace )
4. Neeb, Karl-Hermann, Sobre un teorema de S. Banach. J. Teoría de la mentira 7 (1997), no. 2, 293–300.

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