Colector no Hausdorff

En geometría y topología , un axioma habitual de una variedad es ser un espacio de Hausdorff . En topología general , este axioma es relajado y se estudian variedades no Hausdorff : espacios localmente homeomorfos al espacio euclidiano , pero no necesariamente Hausdorff.

Ejemplos

Línea con dos orígenes

La variedad no Hausdorff más familiar es la línea con dos orígenes , ^[1] o línea de ojos saltones . Este es el cociente espacial de dos copias de la recta real y se obtiene identificando puntos y siempre que ${\displaystyle \mathbb {R} \times \{a\}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \times \{b\}}$ ${\displaystyle (x,a)}$ ${\displaystyle (x,b)}$ ${\displaystyle x\neq 0.}$

Una descripción equivalente del espacio es tomar la línea real y reemplazar el origen con dos orígenes y el subespacio conserva su topología euclidiana habitual. Y una base local de vecindades abiertas en cada origen está formada por los conjuntos con vecindad abierta de en ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 0_{a}}$ ${\displaystyle 0_{b}.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}$ ${\displaystyle 0_{i}}$ ${\displaystyle (U\setminus \{0\})\cup \{0_{i}\}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Para cada origen, el subespacio obtenido al reemplazar con es una vecindad abierta de homeomorfa a ^[1] Dado que cada punto tiene una vecindad homeomorfa a la línea euclidiana, el espacio es localmente euclidiano . En particular, es localmente Hausdorff , en el sentido de que cada punto tiene un barrio Hausdorff. Pero el espacio no es Hausdorff, ya que cada vecindad de intersección con cada vecindad de Sin embargo, es un espacio T 1 . ${\displaystyle 0_{i}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 0_{i}}$ ${\displaystyle 0_{i}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle 0_{a}}$ ${\displaystyle 0_{b}.}$

El espacio es el segundo contable .

El espacio exhibe varios fenómenos que no ocurren en los espacios de Hausdorff:

• El espacio está conectado por un camino pero no por un arco . En particular, para obtener una ruta de un origen a otro, primero se puede mover hacia la izquierda desde dentro de la línea que pasa por el primer origen, y luego retroceder hacia la derecha desde dentro de la línea que pasa por el segundo origen. Pero es imposible unir los dos orígenes con un arco, que es un camino inyectivo; Intuitivamente, si uno se mueve primero hacia la izquierda, eventualmente tendrá que retroceder y retroceder hacia la derecha. ${\displaystyle 0_{a}}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle 0_{b}}$

• La intersección de dos conjuntos compactos no tiene por qué ser compacta. Por ejemplo, los conjuntos y son compactos, pero su intersección no lo es. ${\displaystyle [-1,0)\cup \{0_{a}\}}$ ${\displaystyle [-1,0)\cup \{0_{b}\}}$ ${\displaystyle [-1,0)}$

• El espacio es localmente compacto en el sentido de que cada punto tiene una base local de barrios compactos. Pero la línea que pasa por un origen no contiene una vecindad cerrada de ese origen, ya que cualquier vecindad de un origen contiene el otro origen en su cierre. Entonces el espacio no es un espacio regular , y aunque cada punto tiene al menos una vecindad compacta cerrada, los puntos origen no admiten una base local de vecindades compactas cerradas.

El espacio no tiene el tipo de homotopía de un complejo CW , ni de ningún espacio de Hausdorff. ^[2]

Línea con muchos orígenes

La línea con muchos orígenes ^[3] es similar a la línea con dos orígenes, pero con un número arbitrario de orígenes. Se construye tomando un conjunto arbitrario con topología discreta y tomando el espacio cociente de que identifica puntos y siempre . De manera equivalente, se puede obtener reemplazando el origen con muchos orígenes, uno para cada. Las vecindades de cada origen se describen como en la Caso de dos orígenes. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \times S}$ ${\displaystyle (x,\alpha )}$ ${\displaystyle (x,\beta )}$ ${\displaystyle x\neq 0.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 0_{\alpha },}$ ${\displaystyle \alpha \in S.}$

Si hay infinitos orígenes, el espacio ilustra que el cierre de un conjunto compacto no tiene por qué ser compacto en general. Por ejemplo, el cierre del conjunto compacto es el conjunto que se obtiene sumando todos los orígenes a , y ese cierre no es compacto. De ser localmente euclidiano, dicho espacio es localmente compacto en el sentido de que cada punto tiene una base local de vecindades compactas. Pero los puntos de origen no tienen ninguna vecindad compacta cerrada. ${\displaystyle A=[-1,0)\cup \{0_{\alpha }\}\cup (0,1]}$ ${\displaystyle A\cup \{0_{\beta }:\beta \in S\}}$ ${\displaystyle A}$

Línea de ramificación

Similar a la línea con dos orígenes es la línea bifurcada .

Este es el espacio cociente de dos copias de la recta real.

$${\displaystyle \mathbb {R} \times \{a\}\quad {\text{ and }}\quad \mathbb {R} \times \{b\}}$$

relación de equivalencia

$${\displaystyle (x,a)\sim (x,b)\quad {\text{ if }}\;x<0.}$$

Este espacio tiene un único punto por cada número real negativo y dos puntos por cada número no negativo: tiene una "bifurcación" en el cero. ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle x_{a},x_{b}}$

espacio etale

El espacio etale de una gavilla , como la gavilla de funciones reales continuas sobre una variedad, es una variedad que a menudo no es de Hausdorff. (El espacio etale es Hausdorff si es un conjunto de funciones con algún tipo de propiedad de continuación analítica ). ^[4]

Propiedades

Debido a que las variedades que no son de Hausdorff son localmente homeomórficas con respecto al espacio euclidiano , son localmente metrizables (pero no metrizables en general) y localmente Hausdorff (pero no Hausdorff en general).

Ver también

• Lista de topologías  - Lista de topologías concretas y espacios topológicos
• Espacio localmente Hausdorff
• Axioma de separación  : axiomas en topología que definen nociones de "separación"

Notas

1. Munkres 2000, pag. 227.
2. Gabard 2006, Proposición 5.1.
3. Lee 2011, Problema 4-22, pág. 125.
4. Warner, Frank W. (1983). Fundamentos de variedades diferenciables y grupos de mentiras . Nueva York: Springer-Verlag. pag. 164.ISBN​ 978-0-387-90894-6.

Referencias

• Baillif, Mathieu; Gabard, Alexandre (2008). "Múltiples: Hausdorffness versus homogeneidad". Actas de la Sociedad Matemática Estadounidense . 136 (3): 1105-1111. arXiv : matemáticas/0609098 . doi : 10.1090/S0002-9939-07-09100-9 .
• Gabard, Alexandre (2006), Una variedad separable que no tiene el tipo de homotopía de un complejo CW , arXiv : math.GT/0609665v1 , Bibcode : 2006math......9665G
• Lee, John M. (2011). Introducción a las variedades topológicas (Segunda ed.). Saltador. ISBN 978-1-4419-7939-1.
• Munkres, James R. (2000). Topología (Segunda ed.). Upper Saddle River, Nueva Jersey : Prentice Hall, Inc. ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC  42683260.