Espacio de la lente

3-variedad que es un cociente de S³ por acciones ℤ/p: (z,w) ↦ (exp(2πi/p)z, exp(2πiq/p)w)

El espacio de la lente L(2;5) consiste en la "lente" entre las paredes roja y amarilla mediante una doble rotación que alinea las rendijas. En la imagen se muestran en total cinco regiones de "lente".

La doble rotación que identifica las paredes del espacio de la lente. En esta vista estereográfica, la doble rotación gira alrededor del eje z y a lo largo de él.

Un espacio lente es un ejemplo de espacio topológico , considerado en matemáticas . El término a menudo se refiere a una clase específica de 3 colectores , pero en general se puede definir para dimensiones superiores.

En el caso de 3 variedades, un espacio de lente se puede visualizar como el resultado de pegar dos toros sólidos mediante un homeomorfismo de sus límites. A menudo, las 3 esferas y , que se pueden obtener como se indicó anteriormente, no se cuentan porque se consideran casos especiales triviales. ${\displaystyle S^{2}\times S^{1}}$

Los espacios de lentes tridimensionales fueron introducidos por Heinrich Tietze en 1908. Fueron los primeros ejemplos conocidos de variedades 3 que no estaban determinadas únicamente por su homología y grupo fundamental , y los ejemplos más simples de variedades cerradas cuyo tipo de homeomorfismo no está determinado por su tipo de homotopía. JW Alexander en 1919 demostró que los espacios de las lentes y no eran homeomórficos a pesar de que tienen grupos fundamentales isomórficos y la misma homología, aunque no tienen el mismo tipo de homotopía. Otros espacios de lentes (como y ) tienen incluso el mismo tipo de homotopía (y, por tanto, homología y grupos fundamentales isomórficos), pero no el mismo tipo de homeomorfismo; por tanto, pueden verse como el nacimiento de la topología geométrica de variedades a diferencia de la topología algebraica . ${\displaystyle L(p;q)}$ ${\displaystyle L(5;1)}$ ${\displaystyle L(5;2)}$ ${\displaystyle L(7;1)}$ ${\displaystyle L(7;2)}$

Existe una clasificación completa de los espacios tridimensionales de lentes, por grupo fundamental y torsión de Reidemeister .

Definición

Los espacios de lentes tridimensionales son cocientes de acciones secundarias. Más precisamente, sean y números enteros coprimos y considérelo como la esfera unitaria en . Entonces la acción generada por el homeomorfismo ${\displaystyle L(p;q)}$ ${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p}$ ${\displaystyle S^{3}}$

${\displaystyle (z_{1},z_{2})\mapsto (e^{2\pi i/p}\cdot z_{1},e^{2\pi iq/p}\cdot z_{2})}$

es gratis. El espacio cociente resultante se llama espacio de lente . ${\displaystyle L(p;q)}$

Esto se puede generalizar a dimensiones superiores de la siguiente manera: Sean números enteros tales que sean coprimos y se consideren como la esfera unitaria en . El espacio de la lente es el cociente de la acción libre generada por ${\displaystyle p,q_{1},\ldots ,q_{n}}$ ${\displaystyle q_{i}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle S^{2n-1}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle L(p;q_{1},\ldots q_{n})}$ ${\displaystyle S^{2n-1}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p}$

${\displaystyle (z_{1},\ldots ,z_{n})\mapsto (e^{2\pi iq_{1}/p}\cdot z_{1},\ldots ,e^{2\pi iq_{n}/p}\cdot z_{n}).}$

En tres dimensiones tenemos ${\displaystyle L(p;q)=L(p;1,q).}$

Propiedades

El grupo fundamental de todos los espacios de la lente es independiente del . ${\displaystyle L(p;q_{1},\ldots ,q_{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle q_{i}}$

Los espacios de lentes son espacios localmente simétricos , pero no (completamente) simétricos, con la excepción de los que son simétricos. (Los espacios localmente simétricos son espacios simétricos que están cocientes por una isometría que no tiene puntos fijos; los espacios de lentes cumplen con esta definición). ${\displaystyle L(2;1)}$

Definiciones alternativas de espacios de lentes tridimensionales

El espacio de la lente tridimensional a menudo se define como una bola sólida con la siguiente identificación: primero marque p puntos equidistantes en el ecuador de la bola sólida, denotéelos y luego, en el límite de la bola, dibuje líneas geodésicas que conecten los puntos. hacia el polo norte y sur. Ahora identifica triángulos esféricos identificando el polo norte con el polo sur y los puntos con y con . El espacio resultante es homeomorfo al espacio de la lente . ${\displaystyle L(p;q)}$ ${\displaystyle a_{0}}$ ${\displaystyle a_{p-1}}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle a_{i+q}}$ ${\displaystyle a_{i+1}}$ ${\displaystyle a_{i+q+1}}$ ${\displaystyle L(p;q)}$

Otra definición relacionada es ver la bola sólida como la siguiente bipirámide sólida : construir un polígono plano regular de lados p . Coloque dos puntos n y s directamente encima y debajo del centro del polígono. Construya la bipirámide uniendo cada punto del polígono regular de lados p con n y s . Rellena la bipirámide para hacerla sólida y dale a los triángulos en el límite la misma identificación que arriba.

Clasificación de espacios de lentes tridimensionales.

Las clasificaciones hasta el homeomorfismo y la equivalencia de homotopía se conocen a continuación. Los espacios tridimensionales y son: ${\displaystyle L(p;q_{1})}$ ${\displaystyle L(p;q_{2})}$

1. equivalente de homotopía si y sólo si para algunos ; ${\displaystyle q_{1}q_{2}\equiv \pm n^{2}{\pmod {p}}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$
2. homeomórfico si y sólo si . ${\displaystyle q_{1}\equiv \pm q_{2}^{\pm 1}{\pmod {p}}}$

En este caso son "obviamente" homeomorfismos, ya que se puede producir fácilmente un homeomorfismo. Es más difícil demostrar que estos son los únicos espacios de lentes homeomórficos.

La invariante que da la clasificación de homotopía de espacios de lentes tridimensionales es la forma de enlace de torsión .

La clasificación del homeomorfismo es más sutil y viene dada por la torsión de Reidemeister . Esto se dio en (Reidemeister 1935) como una clasificación hasta el homeomorfismo PL , pero en (Brody 1960) se demostró que era una clasificación de homeomorfismo. En términos modernos, los espacios del cristalino están determinados por un tipo de homotopía simple y no existen invariantes normales (como clases características ) ni obstrucción quirúrgica .

En (Przytycki y Yasukhara 2003) se ofrece una clasificación teórica de nudos : sea C una curva cerrada en el espacio de la lente que se eleva hasta formar un nudo en la cubierta universal del espacio de la lente. Si el nudo levantado tiene un polinomio de Alexander trivial , calcule la forma de enlace de torsión en el par (C,C); entonces esto dará la clasificación de homeomorfismo.

Otro invariante es el tipo de homotopía de los espacios de configuración (Salvatore y Longoni 2005) mostraron que los espacios de lentes equivalentes de homotopía pero no homeomórficos pueden tener espacios de configuración con diferentes tipos de homotopía, que pueden ser detectados por diferentes productos de Massey .

Ver también

• Esférico de 3 colectores

Referencias

• Glen Bredon , Topología y Geometría , Springer Graduate Texts in Mathematics 139, 1993.
• Brody, EJ (1960), "La clasificación topológica de los espacios de la lente", Annals of Mathematics , 2, 71 (1): 163–184, doi :10.2307/1969884, JSTOR  1969884
• Allen Hatcher , Topología algebraica, Cambridge University Press , 2002.
• Allen Hatcher, Notas sobre topología básica de 3 colectores. (Explica la clasificación de L (p, q) hasta el homeomorfismo).
• Przytycki, Józef H .; Yasukhara, Akira (2003), "Simetría de enlaces y clasificación de espacios de lentes", Geometriae Dedicata , 98 (1): 57–61, doi :10.1023/A:10240, MR  1988423
• Reidemeister, Kurt (1935), "Homotopieringe und Linsenräume", Abh. Matemáticas. Sem. Univ. Hamburgo , 11 (1): 102–109, doi :10.1007/BF02940717
• Salvatore, Paolo; Longoni, Riccardo (2005), "Los espacios de configuración no son invariantes de homotopía", Topología , 44 (2): 375–380, arXiv : math/0401075 , doi :10.1016/j.top.2004.11.002
• Herbert Seifert y William Threlfall , Un libro de texto de topología , Pure and Applied Mathematics 89, traducido de la edición alemana de 1934, Academic Press Inc. Nueva York (1980)
• Heinrich Tietze , Ueber die topologischen Invarianten mehrdimensionaler Mannigfaltigkeiten, Monatsh. fuer Matemáticas. y Phys. 19, 1–118 (1908) ( 20) Traducción al inglés (2008) de John Stillwell . ${\displaystyle \S }$
• Matthew Watkins, "A Short Survey of Lens Spaces" ^{[ enlace muerto ]} (tesis de pregrado de 1990) Archivado el 25 de septiembre de 2006 en Wayback Machine.

enlaces externos

• Espacios de lentes en Manifold Atlas
• Espacios de lentes: una historia en el Manifold Atlas
• Espacios de lentes falsos en Manifold Atlas