Toro sólido

En matemáticas , un toro sólido es el espacio topológico formado al hacer girar un disco alrededor de un círculo . ^[1] Es homeomorfo al producto cartesiano del disco y el círculo, ^[2] dotado de la topología del producto . $S^{1}\times D^{2}$

Una forma estándar de visualizar un toro sólido es como un toroide , incrustado en 3 espacios . Sin embargo, debe distinguirse de un toroide , que tiene la misma apariencia visual: el toroide es el espacio bidimensional en el límite de un toroide, mientras que el toro sólido incluye también el espacio interior compacto encerrado por el toroide.

Un toro sólido es un toro más el volumen dentro del toro. Los objetos del mundo real que se aproximan a un toro sólido incluyen juntas tóricas , aros salvavidas no inflables , donuts con aros y bagels .

Propiedades topológicas

El toro sólido es una variedad tridimensional conectada , compacta y orientable con límite. El límite es homeomorfo al toro ordinario . $S^{1}\times S^{1}$

Dado que el disco es contráctil , el toro sólido tiene el tipo de homotopía de un círculo ,. ^[3] Por tanto, el grupo fundamental y los grupos de homología son isomorfos a los del círculo: $D^{2}$ $S^{1}$

{\begin{aligned}\pi _{1}\left(S^{1}\times D^{2}\right)&\cong \pi _{1}\left(S^{1} \right)\cong \mathbb {Z} ,\\H_{k}\left(S^{1}\times D^{2}\right)&\cong H_{k}\left(S^{1} \right)\cong {\begin{casos}\mathbb {Z} &{\text{if }}k=0,1,\\0&{\text{de lo contrario}}.\end{casos}}\end{ alineado}}

Ver también

Referencias

^ Falconer, Kenneth (2004), Geometría fractal: fundamentos y aplicaciones matemáticas (2ª ed.), John Wiley & Sons , p. 198, ISBN 9780470871355.
^ Matsumoto, Yukio (2002), Introducción a la teoría Morse, Traducciones de monografías matemáticas, vol. 208, Sociedad Matemática Estadounidense , pág. 188, ISBN 9780821810224.
^ Ravenel, Douglas C. (1992), Nilpotencia y periodicidad en la teoría de la homotopía estable, Anales de estudios matemáticos, vol. 128, Prensa de la Universidad de Princeton , pág. 2, ISBN 9780691025728.