Espacio paracompacto

Espacio topológico en el que cada cubierta abierta tiene un refinamiento abierto que es localmente finito

En matemáticas , un espacio paracompacto es un espacio topológico en el que cada cubierta abierta tiene un refinamiento abierto que es localmente finito . Estos espacios fueron introducidos por Dieudonné (1944). Todo espacio compacto es paracompacto. ^{[1] Todo} espacio de Hausdorff paracompacto es normal , y un espacio de Hausdorff es paracompacto si ^[2] y solo si admite particiones de unidad subordinadas a cualquier cubierta abierta. A veces, los espacios paracompactos se definen de modo que siempre sean de Hausdorff.

Todo subespacio cerrado de un espacio paracompacto es paracompacto. Si bien los subconjuntos compactos de los espacios de Hausdorff siempre son cerrados, esto no es cierto para los subconjuntos paracompactos. Un espacio tal que cada subespacio de él es un espacio paracompacto se llama hereditariamente paracompacto . Esto es equivalente a exigir que cada subespacio abierto sea paracompacto.

La noción de espacio paracompacto también se estudia en topología sin sentido , donde se comporta mejor. Por ejemplo, el producto de cualquier número de lugares paracompactos es un lugar paracompacto, pero el producto de dos espacios paracompactos puede no ser paracompacto. ^{[3] [4]} Compárese esto con el teorema de Tichonoff , que establece que el producto de cualquier colección de espacios topológicos compactos es compacto. Sin embargo, el producto de un espacio paracompacto y un espacio compacto es siempre paracompacto.

Todo espacio métrico es paracompacto. Un espacio topológico es metrizable si y sólo si es un espacio de Hausdorff paracompacto y localmente metrizable .

Definición

Una cubierta de un conjunto es una colección de subconjuntos de cuya unión contiene . En símbolos, si es una familia indexada de subconjuntos de , entonces es una cubierta de si ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U=\{U_{\alpha }:\alpha \in A\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle X\subseteq \bigcup _{\alpha \in A}U_{\alpha }.}$

Una cobertura de un espacio topológico es abierta si todos sus miembros son conjuntos abiertos . Un refinamiento de una cobertura de un espacio es una nueva cobertura del mismo espacio tal que cada conjunto en la nueva cobertura es un subconjunto de algún conjunto en la cobertura anterior. En símbolos, la cobertura es un refinamiento de la cobertura si y solo si, para cada en , existe algún en tal que . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V=\{V_{\beta }:\beta \in B\}}$ ${\displaystyle U=\{U_{\alpha }:\alpha \in A\}}$ ${\displaystyle V_{\beta }}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle U_{\alpha }}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V_{\beta }\subseteq U_{\alpha }}$

Una cubierta abierta de un espacio es localmente finita si cada punto del espacio tiene un entorno que interseca solo un número finito de conjuntos en la cubierta. En símbolos, es localmente finito si y solo si, para cualquier conjunto en , existe algún entorno de tal que el conjunto ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U=\{U_{\alpha }:\alpha \in A\}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \left\{\alpha \in A:U_{\alpha }\cap V\neq \varnothing \right\}}$

es finito. Ahora se dice que un espacio topológico es paracompacto si cada cubierta abierta tiene un refinamiento abierto localmente finito. ${\displaystyle X}$

Esta definición se extiende textualmente a las configuraciones regionales, con la excepción de localmente finitas: una cobertura abierta de es localmente finita si y solo si el conjunto de aperturas que intersecan solo una cantidad finita de aperturas en también forman una cobertura de . Nótese que una cobertura abierta en un espacio topológico es localmente finita si y solo si es una cobertura localmente finita de la configuración regional subyacente. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$

Ejemplos

• Todo espacio compacto es paracompacto.
• Todo espacio regular de Lindelöf es paracompacto. ^[5] En particular, todo espacio de Hausdorff localmente compacto y de segundo orden es paracompacto.
• La línea de Sorgenfrey es paracompacta, aunque no es compacta, ni localmente compacta, ni contable en segundo lugar, ni metrizable.
• Todo complejo CW es paracompacto. ^[6]
• ( Teorema de AH Stone ) Todo espacio métrico es paracompacto. ^{[7] Las primeras demostraciones fueron algo complicadas, pero} M. E. Rudin encontró una elemental . ^[8] Las demostraciones existentes de esto requieren el axioma de elección para el caso no separable . Se ha demostrado que la teoría ZF no es suficiente para demostrarlo, incluso después de agregar el axioma más débil de elección dependiente . ^[9]

Algunos ejemplos de espacios que no son paracompactos incluyen:

• El contraejemplo más famoso es la línea larga , que es una variedad topológica no paracompacta . (La línea larga es localmente compacta, pero no contable en segundo lugar).
• Otro contraejemplo es un producto de un número incontable de copias de un espacio discreto infinito . Cualquier conjunto infinito que lleve la topología puntual particular no es paracompacto; de hecho, ni siquiera es metacompacto .
• La variedad P de Prüfer es una superficie no paracompacta. (Es fácil encontrar una innumerable cubierta abierta de P sin ningún tipo de refinamiento).
• El teorema de la gaita muestra que hay 2 ^{ℵ ₁} clases de equivalencia topológica de superficies no paracompactas.
• El plano de Sorgenfrey no es paracompacto a pesar de ser producto de dos espacios paracompactos.

Propiedades

La paracompacidad es débilmente hereditaria, es decir, cada subespacio cerrado de un espacio paracompacto es paracompacto. Esto también se puede extender a los subespacios F-sigma . ^[10]

• Un espacio regular es paracompacto si cada cubierta abierta admite un refinamiento localmente finito. (Aquí, no se requiere que el refinamiento sea abierto). En particular, todo espacio regular de Lindelöf es paracompacto.
• ( Teorema de metrización de Smirnov ) Un espacio topológico es metrizable si y sólo si es paracompacto, de Hausdorff y localmente metrizable.
• El teorema de selección de Michael establece que las multifunciones semicontinuas inferiores de X en subconjuntos convexos cerrados no vacíos de espacios de Banach admiten la selección continua solo si X es paracompacto.

Aunque un producto de espacios paracompactos no necesariamente debe ser paracompacto, se cumplen las siguientes condiciones:

• El producto de un espacio paracompacto y un espacio compacto es paracompacto.
• El producto de un espacio metacompacto y un espacio compacto es metacompacto.

Ambos resultados pueden demostrarse mediante el lema del tubo , que se utiliza en la prueba de que un producto de un número finito de espacios compactos es compacto.

Espacios paracompactos de Hausdorff

A veces se requiere que los espacios paracompactos también sean Hausdorff para ampliar sus propiedades.

• ( Teorema de Jean Dieudonné ) Todo espacio de Hausdorff paracompacto es normal .
• Todo espacio de Hausdorff paracompacto es un espacio en contracción , es decir, toda cubierta abierta de un espacio de Hausdorff paracompacto tiene una contracción: otra cubierta abierta indexada por el mismo conjunto tal que el cierre de cada conjunto en la nueva cubierta se encuentra dentro del conjunto correspondiente en la cubierta anterior.
• En los espacios de Hausdorff paracompactos, la cohomología de haces y la cohomología de Čech son iguales. ^[11]

Particiones de la unidad

La característica más importante de los espacios de Hausdorff paracompactos es que admiten particiones de unidad subordinadas a cualquier cobertura abierta. Esto significa lo siguiente: si X es un espacio de Hausdorff paracompacto con una cobertura abierta dada, entonces existe una colección de funciones continuas en X con valores en el intervalo unitario [0, 1] tales que:

• para cada función f :  X  →  R de la colección, existe un conjunto abierto U de la cubierta tal que el soporte de f está contenido en U ;
• para cada punto x en X , existe un entorno V de x tal que todas las funciones en la colección, excepto un número finito, son idénticamente 0 en V y la suma de las funciones distintas de cero es idénticamente 1 en V.

De hecho, un espacio T ₁ es Hausdorff y paracompacto si y sólo si admite particiones de unidad subordinadas a cualquier recubrimiento abierto (ver más abajo). Esta propiedad se utiliza a veces para definir espacios paracompactos (al menos en el caso de Hausdorff).

Las particiones de la unidad son útiles porque a menudo permiten extender las construcciones locales a todo el espacio. Por ejemplo, la integral de formas diferenciales en variedades paracompactas se define primero localmente (donde la variedad se parece al espacio euclidiano y la integral es bien conocida), y luego esta definición se extiende a todo el espacio mediante una partición de la unidad.

Prueba de que los espacios de Hausdorff paracompactos admiten particiones de unidad

(Haga clic en "mostrar" a la derecha para ver la prueba o en "ocultar" para ocultarla).

Un espacio de Hausdorff es paracompacto si y solo si cada cubierta abierta admite una partición subordinada de unidad. La dirección if es sencilla. Ahora, para la dirección only if , lo haremos en unas pocas etapas. ${\displaystyle X\,}$

Lema 1: Si es una cubierta abierta localmente finita, entonces existen conjuntos abiertos para cada , tales que cada y es un refinamiento localmente finito. ${\displaystyle {\mathcal {O}}\,}$ ${\displaystyle W_{U}\,}$ ${\displaystyle U\in {\mathcal {O}}\,}$ ${\displaystyle {\bar {W_{U}}}\subseteq U\,}$ ${\displaystyle \{W_{U}:U\in {\mathcal {O}}\}\,}$

Lema 2: Si es una cubierta abierta localmente finita, entonces hay funciones continuas tales que y tal que es una función continua que es siempre distinta de cero y finita. ${\displaystyle {\mathcal {O}}\,}$ ${\displaystyle f_{U}:X\to [0,1]\,}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} ~f_{U}\subseteq U\,}$ ${\displaystyle f:=\sum _{U\in {\mathcal {O}}}f_{U}\,}$

Teorema: En un espacio de Hausdorff paracompacto , si es una cubierta abierta, entonces existe una partición de la unidad subordinada a ella. ${\displaystyle X\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}\,}$

Prueba (Lema 1):

Sea la colección de conjuntos abiertos que solo reúne un número finito de conjuntos en , y cuyo cierre está contenido en un conjunto en . Se puede comprobar como ejercicio que esto proporciona un refinamiento abierto, ya que los espacios de Hausdorff paracompactos son regulares, y ya que es localmente finito. Ahora reemplace por un refinamiento abierto localmente finito. Se puede comprobar fácilmente que cada conjunto en este refinamiento tiene la misma propiedad que la que caracterizaba a la cubierta original. ${\displaystyle {\mathcal {V}}\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}\,}$

Ahora definimos . La propiedad de garantiza que cada está contenido en algún . Por lo tanto es un refinamiento abierto de . Como tenemos , esta cobertura es inmediatamente localmente finita. ${\displaystyle W_{U}=\bigcup \{A\in {\mathcal {V}}:{\bar {A}}\subseteq U\}\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}\,}$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {V}}}$ ${\displaystyle W_{U}}$ ${\displaystyle \{W_{U}:U\in {\mathcal {O}}\}\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}\,}$ ${\displaystyle W_{U}\subseteq U}$

Ahora queremos demostrar que cada . Para cada , probaremos que . Como elegimos ser localmente finitos, hay un entorno de tal que solo un número finito de conjuntos en tienen intersección no vacía con , y anotamos aquellos en la definición de . Por lo tanto, podemos descomponer en dos partes: que intersecan a , y el resto que no lo hacen, lo que significa que están contenidos en el conjunto cerrado . Ahora tenemos . Como y , tenemos para cada . Y como es el complemento de un entorno de , tampoco está en . Por lo tanto, tenemos . ${\displaystyle {\bar {W_{U}}}\subseteq U\,}$ ${\displaystyle x\notin U}$ ${\displaystyle x\notin {\bar {W_{U}}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ ${\displaystyle V[x]}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ ${\displaystyle V[x]}$ ${\displaystyle A_{1},...,A_{n},...\in {\mathcal {V}}}$ ${\displaystyle W_{U}}$ ${\displaystyle W_{U}}$ ${\displaystyle A_{1},...,A_{n}\in {\mathcal {V}}}$ ${\displaystyle V[x]}$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {V}}}$ ${\displaystyle C:=X\setminus V[x]}$ ${\displaystyle {\bar {W_{U}}}\subseteq {\bar {A_{1}}}\cup ...\cup {\bar {A_{n}}}\cup C}$ ${\displaystyle {\bar {A_{i}}}\subseteq U}$ ${\displaystyle x\notin U}$ ${\displaystyle x\notin {\bar {A_{i}}}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle x\notin {\bar {W_{U}}}}$

Prueba (Lema 2):

Aplicando el Lema 1, sean aplicaciones continuas con y (por el lema de Urysohn para conjuntos cerrados disjuntos en espacios normales, que es un espacio de Hausdorff paracompacto). Nótese que por el soporte de una función, aquí nos referimos a los puntos que no se aplican a cero (y no a la clausura de este conjunto). Para mostrar que es siempre finito y distinto de cero, tomemos , y sea un vecindario de que se encuentra solo con un número finito de conjuntos en ; por lo tanto , pertenece solo a un número finito de conjuntos en ; por lo tanto, para todos excepto un número finito de ; además, para algunos , por lo tanto ; por lo tanto es finito y . Para establecer la continuidad, tomemos como antes, y sea , que es finito; luego , que es una función continua; por lo tanto, la preimagen bajo de un vecindario de será un vecindario de . ${\displaystyle f_{U}:X\to [0,1]\,}$ ${\displaystyle f_{U}\upharpoonright {\bar {W}}_{U}=1\,}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} ~f_{U}\subseteq U\,}$ ${\displaystyle f=\sum _{U\in {\mathcal {O}}}f_{U}\,}$ ${\displaystyle x\in X\,}$ ${\displaystyle N\,}$ ${\displaystyle x\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}\,}$ ${\displaystyle x\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}\,}$ ${\displaystyle f_{U}(x)=0\,}$ ${\displaystyle U\,}$ ${\displaystyle x\in W_{U}\,}$ ${\displaystyle U\,}$ ${\displaystyle f_{U}(x)=1\,}$ ${\displaystyle f(x)\,}$ ${\displaystyle \geq 1\,}$ ${\displaystyle x,N\,}$ ${\displaystyle S=\{U\in {\mathcal {O}}:N{\text{ meets }}U\}\,}$ ${\displaystyle f\upharpoonright N=\sum _{U\in S}f_{U}\upharpoonright N\,}$ ${\displaystyle f\,}$ ${\displaystyle f(x)\,}$ ${\displaystyle x\,}$

Prueba (Teorema):

Tomemos una subcubierta localmente finita de la cubierta de refinamiento: . Aplicando el Lema 2, obtenemos funciones continuas con (por lo tanto, la versión cerrada habitual del soporte está contenida en algunos , para cada ; para lo cual su suma constituye una función continua que siempre es finita distinta de cero (por lo tanto, es continua positiva, de valor finito). Entonces, reemplazando cada por , ahora tenemos —permaneciendo todo igual— que su suma es en todas partes . Finalmente , para , siendo un vecindario de encuentro solo finitos conjuntos en , tenemos para todos excepto finitos ya que cada . Por lo tanto, tenemos una partición de la unidad subordinada a la cubierta abierta original. ${\displaystyle {\mathcal {O}}^{*}\,}$ ${\displaystyle \{V{\text{ open }}:(\exists {U\in {\mathcal {O}}}){\bar {V}}\subseteq U\}\,}$ ${\displaystyle f_{W}:X\to [0,1]\,}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} ~f_{W}\subseteq W\,}$ ${\displaystyle U\in {\mathcal {O}}\,}$ ${\displaystyle W\in {\mathcal {O}}^{*}\,}$ ${\displaystyle 1/f\,}$ ${\displaystyle f_{W}\,}$ ${\displaystyle f_{W}/f\,}$ ${\displaystyle 1\,}$ ${\displaystyle x\in X\,}$ ${\displaystyle N\,}$ ${\displaystyle x\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}^{*}\,}$ ${\displaystyle f_{W}\upharpoonright N=0\,}$ ${\displaystyle W\in {\mathcal {O}}^{*}\,}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} ~f_{W}\subseteq W\,}$

Relación con la compacidad

Existe una similitud entre las definiciones de compacidad y paracompacidad: en el caso de la paracompacidad, se reemplaza "subcobertura" por "refinamiento abierto" y "finito" por "localmente finito". Ambos cambios son significativos: si tomamos la definición de paracompacto y cambiamos "refinamiento abierto" por "subcobertura", o "localmente finito" por "finito", obtenemos espacios compactos en ambos casos.

La paracompacidad tiene poco que ver con la noción de compacidad, sino más bien con la división de entidades espaciales topológicas en piezas manejables.

Comparación de propiedades con compacidad

La paracompacidad es similar a la compacidad en los siguientes aspectos:

• Todo subconjunto cerrado de un espacio paracompacto es paracompacto.
• Todo espacio de Hausdorff paracompacto es normal . ^[10]

Es diferente en estos aspectos:

• Un subconjunto paracompacto de un espacio de Hausdorff no necesita ser cerrado. De hecho, en el caso de los espacios métricos, todos los subconjuntos son paracompactos.
• Un producto de espacios paracompactos no tiene por qué ser paracompacto. El cuadrado de la línea real R en la topología del límite inferior es un ejemplo clásico de esto.

Variaciones

Existen diversas variantes del concepto de paracompacidad. Para definirlas, primero debemos ampliar la lista de términos anterior:

Un espacio topológico es:

• metacompacto si cada cubierta abierta tiene un refinamiento punto-finito abierto.
• ortocompacto si cada cubierta abierta tiene un refinamiento abierto tal que la intersección de todos los conjuntos abiertos alrededor de cualquier punto en este refinamiento es abierta.
• completamente normal si cada cubierta abierta tiene un refinamiento de estrella abierto , y completamente T ₄ si es completamente normal y T 1 (ver axiomas de separación ).

El adverbio " contablemente " se puede agregar a cualquiera de los adjetivos "paracompacto", "metacompacto" y "completamente normal" para que el requisito se aplique solo a las cubiertas abiertas contables .

Todo espacio paracompacto es metacompacto, y todo espacio metacompacto es ortocompacto.

Definición de términos relevantes para las variaciones

• Dados una cubierta y un punto, la estrella del punto en la cubierta es la unión de todos los conjuntos en la cubierta que contienen el punto. En símbolos, la estrella de x en U = { U _α  : α en A } es

${\displaystyle \mathbf {U} ^{*}(x):=\bigcup _{U_{\alpha }\ni x}U_{\alpha }.}$

La notación de la estrella no está estandarizada en la literatura y esta es sólo una posibilidad.

• Un refinamiento en estrella de una cubierta de un espacio X es una cubierta del mismo espacio tal que, dado cualquier punto en el espacio, la estrella del punto en la nueva cubierta es un subconjunto de algún conjunto en la cubierta anterior. En símbolos, V es un refinamiento en estrella de U = { U _α  : α en A } si para cualquier x en X , existe un U _α en U tal que V ^* ( x ) está contenido en U _α .
• Una cubierta de un espacio X es puntualmente finita (o puntualmente finita ) si cada punto del espacio pertenece a un número finito de conjuntos en la cubierta. En símbolos, U es puntualmente finito si para cualquier x en X , el conjunto es finito. ${\displaystyle \left\{\alpha \in A:x\in U_{\alpha }\right\}}$

Como lo indican los nombres, un espacio completamente normal es normal y un espacio completamente T _{4 es T 4} . Todo espacio completamente T ₄ es paracompacto. De hecho, para los espacios de Hausdorff, la paracompacidad y la normalidad completa son equivalentes. Por lo tanto, un espacio completamente T ₄ es lo mismo que un espacio de Hausdorff paracompacto.

Sin la propiedad de Hausdorff, los espacios paracompactos no son necesariamente completamente normales. Cualquier espacio compacto que no sea regular constituye un ejemplo.

Nota histórica: los espacios completamente normales fueron definidos antes que los espacios paracompactos, en 1940, por John W. Tukey . ^[12] La prueba de que todos los espacios metrizables son completamente normales es fácil. Cuando AH Stone demostró que para los espacios de Hausdorff la normalidad completa y la paracompacidad son equivalentes, demostró implícitamente que todos los espacios metrizables son paracompactos. Más tarde, Ernest Michael dio una prueba directa de este último hecho y ME Rudin dio otra prueba elemental.

Véase también

• espacio a-paracompacto
• Espacio paranormal

Notas

1. Munkres 2000, págs. 252.
2. Dugundji 1966, págs. 170, Teorema 4.2.
3. Johnstone, Peter T. (1983). "El sentido de la topología sin sentido" (PDF) . Boletín de la American Mathematical Society . 8 (1): 41–53. doi :10.1090/S0273-0979-1983-15080-2.
4. Dugundji 1966, págs. 165 Teorema 2.4.
5. Michael, Ernest (1953). "Una nota sobre espacios paracompactos" (PDF) . Actas de la American Mathematical Society . 4 (5): 831–838. doi : 10.1090/S0002-9939-1953-0056905-8 . ISSN  0002-9939. Archivado (PDF) desde el original el 27 de agosto de 2017.
6. Hatcher, Allen , Fibras vectoriales y teoría K , versión preliminar disponible en la página de inicio del autor
7. Stone, AH Paracompacidad y espacios de productos. Bull. Amer. Math. Soc. 54 (1948), 977–982
8. Rudin, Mary Ellen (febrero de 1969). "Una nueva prueba de que los espacios métricos son paracompactos". Actas de la American Mathematical Society . 20 (2): 603. doi : 10.1090/S0002-9939-1969-0236876-3 .
9. Good, C.; Tree, IJ; Watson, WS (abril de 1998). "Sobre el teorema de Stone y el axioma de elección". Actas de la American Mathematical Society . 126 (4): 1211–1218. doi : 10.1090/S0002-9939-98-04163-X .
10. Dugundji 1966, págs. 165, Teorema 2.2.
11. Brylinski, Jean-Luc (2007), Espacios de bucles, clases características y cuantificación geométrica, Progress in Mathematics, vol. 107, Springer, pág. 32, ISBN 9780817647308.
12. Tukey, John W. (1940). Convergencia y uniformidad en topología . Anales de estudios matemáticos. Vol. 2. Princeton University Press, Princeton, NJ, págs. ix+90. MR  0002515.

Referencias

• Dieudonné, Jean (1944), "Une généralisation des espaces compacts", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées , Neuvième Série, 23 : 65–76, ISSN  0021-7824, SEÑOR  0013297
• Dugundji, James (1966). Topología . Boston: Allyn and Bacon. ISBN 978-0-697-06889-7.OCLC 395340485  .
• Lynn Arthur Steen y J. Arthur Seebach, Jr. , Contraejemplos en topología (2.ª edición) , Springer Verlag , 1978, ISBN 3-540-90312-7 . Pág. 23. 
• Munkres, James R. (2000). Topología (segunda edición). Upper Saddle River, NJ : Prentice Hall, Inc. ISBN 978-0-13-181629-9.OCLC 42683260  .
• Willard, Stephen (1970). Topología general . Reading, Massachusetts: Addison-Wesley. ISBN 0-486-43479-6.
• Mathew, Akhil. "Topología/Paracompacidad".

Enlaces externos

• "Espacio paracompacto", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]