En topología y ramas relacionadas de las matemáticas , un espacio normal es un espacio topológico X que satisface el axioma T 4 : cada dos conjuntos cerrados disjuntos de X tienen vecindades abiertas disjuntas . Un espacio normal de Hausdorff también se llama espacio T 4 . Estas condiciones son ejemplos de axiomas de separación y sus refuerzos adicionales definen espacios de Hausdorff completamente normales , o espacios T 5 , y espacios de Hausdorff perfectamente normales , o espacios T 6 .
Un espacio topológico X es un espacio normal si, dados conjuntos cerrados disjuntos E y F , hay vecindades U de E y V de F que también son disjuntas. De manera más intuitiva, esta condición dice que E y F pueden estar separados por vecindades .
Un espacio T 4 es un espacio T 1 X que es normal; esto equivale a que X sea normal y Hausdorff .
Un espacio completamente normal , oespacio hereditariamente normal , es un espacio topológicoXtal que todosubespaciodeXes un espacio normal. Resulta queXes completamente normal si y sólo si cada dosconjuntos separadospueden separarse por vecindades. Además,Xes completamente normal si y sólo si cada subconjunto abierto deXes normal con la topología subespacial.
Un espacio T 5 , o un espacio completamente T 4 , es un espacio T 1 X completamente normal , lo que implica que X es Hausdorff; de manera equivalente, cada subespacio de X debe ser un espacio T 4 .
Un espacio perfectamente normal es un espacio topológico en el que cada dos conjuntos cerrados disjuntos y pueden separarse con precisión mediante una función , en el sentido de que existe una función continua desde hasta el intervalo tal que y . [1] Esta es una propiedad de separación más fuerte que la normalidad, ya que según el lema de Urysohn los conjuntos cerrados disjuntos en un espacio normal pueden separarse mediante una función , en el sentido de y , pero no separados con precisión en general. Resulta que X es perfectamente normal si y sólo si X es normal y todo conjunto cerrado es un conjunto G δ . De manera equivalente, X es perfectamente normal si y sólo si todo conjunto cerrado es el conjunto cero de una función continua . La equivalencia entre estas tres caracterizaciones se denomina teorema de Vedenissoff . [2] [3] Todo espacio perfectamente normal es completamente normal, porque la normalidad perfecta es una propiedad hereditaria . [4] [5]
Un espacio T 6 , o perfectamente espacio T 4 , es un espacio de Hausdorff perfectamente normal.
Tenga en cuenta que los términos "espacio normal" y "T 4 " y los conceptos derivados ocasionalmente tienen un significado diferente. (Sin embargo, "T 5 " siempre significa lo mismo que "completamente T 4 ", sea lo que sea). Las definiciones que se dan aquí son las que se utilizan habitualmente en la actualidad. Para más información sobre este tema, véase Historia de los axiomas de separación .
Términos como " espacio regular normal " y "espacio normal de Hausdorff" también aparecen en la literatura; simplemente significan que el espacio es normal y satisface la otra condición mencionada. En particular, un espacio de Hausdorff normal es lo mismo que un espacio T 4 . Dada la confusión histórica del significado de los términos, resultan útiles las descripciones verbales, cuando corresponda, es decir, "Hausdorff normal" en lugar de "T 4 ", o "Hausdorff completamente normal" en lugar de "T 5 ".
Los espacios completamente normales y los espacios completamente T 4 se analizan en otra parte; están relacionados con la paracompacidad .
Un espacio localmente normal es un espacio topológico donde cada punto tiene una vecindad abierta que es normal. Todo espacio normal es localmente normal, pero lo contrario no es cierto. Un ejemplo clásico de un espacio localmente normal completamente regular que no es normal es el plano de Nemytskii .
La mayoría de los espacios que se encuentran en el análisis matemático son espacios normales de Hausdorff, o al menos espacios regulares normales:
Además, todos los espacios completamente normales son normales (aunque no sean regulares). El espacio de Sierpiński es un ejemplo de espacio normal que no es regular.
Un ejemplo importante de topología no normal lo da la topología de Zariski en una variedad algebraica o en el espectro de un anillo , que se utiliza en geometría algebraica .
Un espacio no normal de cierta relevancia para el análisis es el espacio vectorial topológico de todas las funciones desde la línea real R hasta sí misma, con la topología de convergencia puntual . De manera más general, un teorema de Arthur Harold Stone establece que el producto de incontables espacios métricos no compactos nunca es normal.
Todo subconjunto cerrado de un espacio normal es normal. Es normal la imagen continua y cerrada de un espacio normal. [6]
La principal importancia de los espacios normales radica en el hecho de que admiten "suficientes" funciones continuas de valores reales , como lo expresan los siguientes teoremas válidos para cualquier espacio normal X.
Lema de Urysohn : Si A y B son dos subconjuntos cerrados disjuntos de X , entonces existe una función continua f desde X hasta la recta real R tal que f ( x ) = 0 para todo x en A y f ( x ) = 1 para todo x en B . De hecho, podemos tomar los valores de f completamente dentro del intervalo unitario [0,1]. En términos más elegantes, los conjuntos cerrados disjuntos no sólo están separados por vecindades, sino también por una función .
De manera más general, el teorema de extensión de Tietze : si A es un subconjunto cerrado de X y f es una función continua de A a R , entonces existe una función continua F : X → R que extiende f en el sentido de que F ( x ) = f ( x ) para todo x en A .
El mapa tiene la propiedad de elevación con respecto a un mapa desde un determinado espacio topológico finito con cinco puntos (dos abiertos y tres cerrados) hasta el espacio con un punto abierto y dos cerrados. [7]
Si U es una cubierta abierta localmente finita de un espacio normal X , entonces hay una partición de unidad precisamente subordinada a U. Esto muestra la relación de los espacios normales con la paracompacidad .
De hecho, cualquier espacio que satisfaga cualquiera de estas tres condiciones debe ser normal.
Un producto de espacios normales no es necesariamente normal. Este hecho fue demostrado por primera vez por Robert Sorgenfrey . Un ejemplo de este fenómeno es el avión de Sorgenfrey . De hecho, dado que existen espacios que son Dowker , un producto de un espacio normal y [0, 1] no tienen por qué ser normales. Además, un subconjunto de un espacio normal no tiene por qué ser normal (es decir, no todo espacio de Hausdorff normal es un espacio de Hausdorff completamente normal), ya que cada espacio de Tychonoff es un subconjunto de su compactificación de Stone-Čech (que es Hausdorff normal). Un ejemplo más explícito es la tabla de Tychonoff . La única clase grande de espacios producto de espacios normales que se sabe que son normales son los productos de espacios compactos de Hausdorff, ya que tanto la compacidad ( teorema de Tychonoff ) como el axioma T 2 se conservan bajo productos arbitrarios. [8]
Si un espacio normal es R 0 , entonces es completamente regular . Por lo tanto, cualquier cosa desde "normal R 0 " hasta "normal completamente regular" es lo mismo que solemos llamar normal regular . Tomando los cocientes de Kolmogorov , vemos que todos los espacios T 1 normales son Tychonoff . Son los que solemos llamar espacios normales de Hausdorff .
Se dice que un espacio topológico es pseudonormal si, dados en él dos conjuntos cerrados disjuntos, uno de los cuales es contable, hay conjuntos abiertos disjuntos que los contienen. Todo espacio normal es pseudonormal, pero no al revés.
En las listas anteriores se pueden encontrar contraejemplos de algunas variaciones de estas afirmaciones. Específicamente, el espacio de Sierpiński es normal pero no regular, mientras que el espacio de funciones de R a sí mismo es Tychonoff pero no normal.
![{\displaystyle [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/738f7d23bb2d9642bab520020873cccbef49768d)
