En matemáticas , una topología de orden es una topología específica que puede definirse sobre cualquier conjunto totalmente ordenado . Es una generalización natural de la topología de los números reales a conjuntos arbitrarios totalmente ordenados.
Si X es un conjunto totalmente ordenado, la topología de orden en X es generada por la subbase de "rayos abiertos"
para todo a, b en X . Siempre que X tenga al menos dos elementos, esto equivale a decir que los intervalos abiertos
Junto con los rayos anteriores forman una base para la topología del orden. Los conjuntos abiertos en X son los conjuntos que son una unión de (posiblemente infinitos) tales intervalos y rayos abiertos.
Un espacio topológico X se llama ordenable o ordenable linealmente [1] si existe un orden total en sus elementos tal que la topología de orden inducida por ese orden y la topología dada en X coincidan. La topología de orden convierte a X en un espacio de Hausdorff completamente normal .
Las topologías estándar en R , Q , Z y N son las topologías de orden.
Si Y es un subconjunto de X , X es un conjunto totalmente ordenado, entonces Y hereda un orden total de X. Por tanto, el conjunto Y tiene una topología de orden, la topología de orden inducida . Como subconjunto de X , Y también tiene una topología subespacial . La topología subespacial es siempre al menos tan fina como la topología de orden inducido, pero en general no son iguales.
Por ejemplo, considere el subconjunto Y = {−1} ∪ {1/ n } n ∈ N de los racionales . Bajo la topología subespacial, el conjunto singleton {−1} está abierto en Y , pero bajo la topología de orden inducido, cualquier conjunto abierto que contenga −1 debe contener todos menos un número finito de miembros del espacio.
Aunque se muestra que la topología subespacial de Y = {−1} ∪ {1/ n } n ∈ N en la sección anterior no es generada por el orden inducido en Y , no deja de ser una topología de orden en Y ; de hecho, en la topología subespacial cada punto está aislado (es decir, singleton { y } está abierto en Y para cada y en Y ), por lo que la topología subespacial es la topología discreta en Y (la topología en la que cada subconjunto de Y está abierto) , y la topología discreta en cualquier conjunto es una topología de orden. Para definir un orden total en Y que genere la topología discreta en Y , simplemente modifique el orden inducido en Y definiendo −1 como el elemento mayor de Y y manteniendo el mismo orden para los otros puntos, de modo que en este nuevo orden (llámelo, digamos < 1 ) tenemos 1/ n < 1 −1 para todo n ∈ N . Luego, en la topología de orden en Y generada por < 1 , cada punto de Y está aislado en Y .
Deseamos definir aquí un subconjunto Z de un espacio topológico linealmente ordenado X tal que ningún orden total en Z genere la topología subespacial en Z , de modo que la topología subespacial no será una topología de orden aunque sea la topología subespacial de un espacio. cuya topología es una topología de orden.
Dejemos entrar la línea real . El mismo argumento anterior muestra que la topología subespacial en Z no es igual a la topología de orden inducida en Z , pero se puede demostrar que la topología subespacial en Z no puede ser igual a ninguna topología de orden en Z.
Sigue un argumento. Supongamos a modo de contradicción que existe un orden total estricto < en Z tal que la topología de orden generada por < es igual a la topología subespacial en Z (tenga en cuenta que no estamos asumiendo que < sea el orden inducido en Z , sino más bien un orden total dado arbitrariamente en Z que genera la topología subespacial).
Sea M = Z \ {−1} = (0,1), entonces M está conectado , por lo que M es denso en sí mismo y no tiene espacios, con respecto a <. Si −1 no es el elemento más pequeño ni el más grande de Z , entonces y separa M , una contradicción. Supongamos sin pérdida de generalidad que −1 es el elemento más pequeño de Z. Como {−1} está abierto en Z , hay algún punto p en M tal que el intervalo (−1, p ) está vacío , por lo que p es el mínimo de M. Entonces M \ { p } = (0, p ) ∪ ( p ,1) no es conexo con respecto a la topología subespacial heredada de R . Por otro lado, la topología subespacial de M \ { p } heredada de la topología de orden de Z coincide con la topología de orden de M \ { p } inducida por <, la cual es conexa ya que no hay espacios en M \ { p } y es denso. Esto es una contradicción.
Se pueden dar varias variantes de la topología del orden:
Las topologías de orden izquierdo y derecho se pueden utilizar para dar contraejemplos en topología general. Por ejemplo, la topología de orden izquierdo o derecho en un conjunto acotado proporciona un ejemplo de un espacio compacto que no es Hausdorff.
La topología de orden izquierdo es la topología estándar utilizada para muchos propósitos de teoría de conjuntos en un álgebra de Boole . [ se necesita aclaración ]
Para cualquier número ordinal λ se pueden considerar los espacios de números ordinales
junto con la topología de orden natural. Estos espacios se llaman espacios ordinales . (Tenga en cuenta que en la construcción habitual de la teoría de conjuntos de números ordinales tenemos λ = [0, λ ) y λ + 1 = [0, λ ]). Obviamente, estos espacios son de mayor interés cuando λ es un ordinal infinito; para ordinales finitos, la topología de orden es simplemente la topología discreta .
Cuando λ = ω (el primer ordinal infinito), el espacio [0,ω) es simplemente N con la topología habitual (aún discreta), mientras que [0,ω] es la compactación de un punto de N.
De particular interés es el caso cuando λ = ω 1 , el conjunto de todos los ordinales contables y el primer ordinal incontable . El elemento ω 1 es un punto límite del subconjunto [0,ω 1 ) aunque ninguna secuencia de elementos en [0,ω 1 ) tiene el elemento ω 1 como límite. En particular, [0,ω 1 ] no es contable en primer lugar . Sin embargo , el subespacio [0,ω 1 ) es primero contable, ya que el único punto en [0,ω 1 ] sin una base local contable es ω 1 . Algunas propiedades adicionales incluyen
Cualquier número ordinal puede convertirse en un espacio topológico dotándolo de la topología de orden (ya que, al estar bien ordenado , un ordinal está en particular totalmente ordenado ): salvo indicación en contrario, siempre es esa topología de orden la que se entiende cuando se piensa en un ordinal como un espacio topológico. (Tenga en cuenta que si estamos dispuestos a aceptar una clase adecuada como espacio topológico, entonces la clase de todos los ordinales también es un espacio topológico para la topología de orden).
El conjunto de puntos límite de un ordinal α es precisamente el conjunto de ordinales límite menores que α . Los ordinales sucesores (y cero) menores que α son puntos aislados en α . En particular, los ordinales finitos y ω son espacios topológicos discretos , y ningún ordinal más allá de eso es discreto. El ordinal α es compacto como espacio topológico si y sólo si α es un ordinal sucesor o cero.
Los conjuntos cerrados de un ordinal límite α son simplemente los conjuntos cerrados en el sentido que ya hemos definido, es decir, aquellos que contienen un ordinal límite siempre que contengan todos los ordinales suficientemente grandes debajo de él.
Cualquier ordinal es, por supuesto, un subconjunto abierto de cualquier ordinal mayor. También podemos definir la topología sobre los ordinales de la siguiente manera inductiva : 0 es el espacio topológico vacío, α +1 se obtiene tomando la compactación de un punto de α , y para δ un ordinal límite, δ está equipado con el inductivo topología límite . Tenga en cuenta que si α es un ordinal sucesor, entonces α es compacto, en cuyo caso su compactación de un punto α +1 es la unión disjunta de α y un punto.
Como espacios topológicos, todos los ordinales son de Hausdorff e incluso normales . También están totalmente desconectados (los componentes conectados son puntos), dispersos (cada subespacio no vacío tiene un punto aislado; en este caso, simplemente tome el elemento más pequeño), de dimensión cero (la topología tiene una base abierta : aquí, escriba un intervalo abierto ( β , γ ) como la unión de los intervalos abiertos ( β , γ '+1) = [ β +1, γ '] para γ '< γ ). Sin embargo, en general no están extremadamente desconectados (hay conjuntos abiertos, por ejemplo los números pares de ω, cuya clausura no es abierta).
Los espacios topológicos ω 1 y su sucesor ω 1 +1 se utilizan con frecuencia como ejemplos de libros de texto de espacios topológicos no contables. Por ejemplo, en el espacio topológico ω 1 +1, el elemento ω 1 está en el cierre del subconjunto ω 1 aunque ninguna secuencia de elementos en ω 1 tiene el elemento ω 1 como límite: un elemento en ω 1 es un conjunto contable; para cualquier secuencia de tales conjuntos, la unión de estos conjuntos es la unión de muchos conjuntos contables, por lo que siguen siendo contables; esta unión es un límite superior de los elementos de la secuencia, y por tanto del límite de la secuencia, si la tiene.
El espacio ω 1 es contable en primer lugar pero no en segundo contable , y ω 1 +1 no tiene ninguna de estas dos propiedades, a pesar de ser compacto . También es digno de mención que cualquier función continua desde ω 1 hasta R (la línea real ) es finalmente constante: por lo tanto, la compactación de Stone-Čech de ω 1 es ω 1 +1, al igual que su compactificación en un punto (en marcado contraste a ω, cuya compactación de Stone-Čech es mucho mayor que ω).
Si α es un ordinal límite y X es un conjunto, una secuencia de elementos de X indexada por α simplemente significa una función de α a X. Este concepto, secuencia transfinita o secuencia indexada ordinal , es una generalización del concepto de secuencia . Una secuencia ordinaria corresponde al caso α = ω.
Si X es un espacio topológico, decimos que una secuencia de elementos de X indexada en α converge a un límite x cuando converge como una red ; en otras palabras, cuando dada cualquier vecindad U de x hay un ordinal β < α tal que x ι está en U para todo ι ≥ β .
Las secuencias indexadas por ordinales son más poderosas que las secuencias ordinarias (indexadas por ω) para determinar límites en topología: por ejemplo, ω 1 es un punto límite de ω 1 +1 (porque es un ordinal límite) y, de hecho, es el límite de la secuencia indexada ω 1 que asigna cualquier ordinal menor que ω 1 a sí mismo: sin embargo, no es el límite de cualquier secuencia ordinaria (indexada ω) en ω 1 , ya que dicho límite es menor o igual a la unión de sus elementos, que es una unión contable de conjuntos contables, por lo tanto contable en sí misma.
Sin embargo, las secuencias indexadas ordinales no son lo suficientemente poderosas para reemplazar redes (o filtros ) en general: por ejemplo, en la tabla de Tychonoff (el espacio del producto ), el punto de la esquina es un punto límite (está en el cierre) de lo abierto. subconjunto , pero no es el límite de una secuencia indexada ordinal.
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![{\displaystyle [0,\lambda ]=\{\alpha \mid \alpha \leq \lambda \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e469e57aa87041df20c6275a3b21c0795321ce7)
