Espacio normal de colección

Propiedad de los espacios topológicos más fuertes que la normalidad.

En matemáticas, un espacio topológico se llama colección normal si para cada familia discreta F _i ( i ∈ I ) de subconjuntos cerrados de existe una familia disjunta por pares de conjuntos abiertos U _i ( i ∈ I ), tal que F _i ⊆ U _i . Aquí una familia de subconjuntos de se llama discreta cuando cada punto de tiene una vecindad que interseca como máximo a uno de los conjuntos de . Una definición equivalente ^[1] de normal a nivel de colección exige que los U _i ( i ∈ I ) anteriores formen una familia discreta, que es más fuerte que los disjuntos por pares. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Algunos autores suponen que también es un espacio T 1 como parte de la definición, pero aquí no se hace tal suposición. ${\displaystyle X}$

La propiedad tiene una fuerza intermedia entre la paracompacidad y la normalidad , y ocurre en los teoremas de metrización .

Propiedades

• Un espacio normal a nivel de colección es Hausdorff a nivel de colección .
• Un espacio normal a nivel de colección es normal .
• Un espacio paracompacto de Hausdorff es normal en términos de colección. ^[2] En particular, todo espacio metrizable es normal en términos de colección. Nota: La condición de Hausdorff es necesaria aquí, ya que, por ejemplo, un conjunto infinito con topología cofinita es compacto , por lo tanto paracompacto, y T ₁ , pero ni siquiera es normal.
  
• Todo espacio compacto numerable normal (por lo tanto, todo espacio compacto normal) es normal en términos de colección.
  Prueba : utilice el hecho de que en un espacio contablemente compacto cualquier familia discreta de subconjuntos no vacíos es finita.
• Un conjunto F σ en un espacio normal de colección también es normal de colección en la topología del subespacio . En particular, esto es válido para subconjuntos cerrados.
• ElEl teorema de metrización de Moore establece que unespacio de Mooreesmetrizable.

Espacio normal hereditariamente recopilatorio

Un espacio topológico X se llama hereditariamente normal a nivel de colección si cada subespacio de X con la topología de subespacio es normal a nivel de colección.

De la misma manera que los espacios hereditariamente normales pueden caracterizarse en términos de conjuntos separados , existe una caracterización equivalente para los espacios hereditariamente normales a nivel de colección. Una familia de subconjuntos de X se llama familia separada si para cada i tenemos , donde cl denota el operador de cierre en X , en otras palabras, si la familia de es discreta en su unión. Las siguientes condiciones son equivalentes: ^[3] ${\displaystyle F_{i}(i\in I)}$ ${\textstyle F_{i}\cap \operatorname {cl} (\bigcup _{j\neq i}F_{j})=\emptyset }$ ${\displaystyle F_{i}}$

1. X es hereditariamente normal en cuanto a colección.
2. Todo subespacio abierto de X es normal en términos de colección.
3. Para cada familia separada de subconjuntos de X , existe una familia disjunta por pares de conjuntos abiertos , tal que . ${\displaystyle F_{i}}$ ${\displaystyle U_{i}(i\in I)}$ ${\displaystyle F_{i}\subseteq U_{i}}$

Ejemplos de espacios normales hereditariamente coleccionables

• Todo espacio topológico linealmente ordenado (LOTES) ^[4]
• Todo espacio ordenado generalizado (espacio GO)
• Todo espacio metrizable . Esto se desprende del hecho de que los espacios metrizables son normales en términos de colección y ser metrizables es una propiedad hereditaria.
• Cada espacio monótonamente normal ^[5]

Notas

1. Engelking, Teorema 5.1.17, muestra la equivalencia entre las dos definiciones (bajo el supuesto de T ₁ , pero la prueba no utiliza la propiedad T ₁ ).
2. Engelking 1989, Teorema 5.1.18.
3. Engelking 1989, Problema 5.5.1.
4. Steen, Lynn A. (1970). "Una prueba directa de que un espacio ordenado linealmente es hereditariamente normal en cuanto a colección". Proc. América. Matemáticas. Soc. 24 : 727–728. doi : 10.1090/S0002-9939-1970-0257985-7 .
5. Brezo, RW; Lutzer, DJ; Zenor, PL (abril de 1973). "Espacios monótonamente normales" (PDF) . Transacciones de la Sociedad Matemática Estadounidense . 178 : 481–493. doi : 10.2307/1996713 . JSTOR  1996713.

Referencias

• Engelking, Ryszard (1989). Topología general . Heldermann Verlag, Berlín. ISBN 3-88538-006-4.