Espacio considerablemente compacto

En matemáticas , un espacio topológico se llama contablemente compacto si cada cubierta abierta contable tiene una subcubierta finita.

Definiciones equivalentes

Un espacio topológico X se llama contablemente compacto si satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes: ^{[1] [2]}

(1) Cada cubierta abierta contable de X tiene una subcubierta finita.

(2) Todo conjunto infinito A en X tiene un punto de acumulación ω en X.

(3) Cada secuencia en X tiene un punto de acumulación en X.

(4) Cada familia contable de subconjuntos cerrados de X con una intersección vacía tiene una subfamilia finita con una intersección vacía.

Ejemplos

• El primer ordinal incontable (con la topología de orden ) es un ejemplo de un espacio contablemente compacto que no es compacto. ^[3]

Propiedades

• Todo espacio compacto es contablemente compacto.
• Un espacio contablemente compacto es compacto si y sólo si es Lindelöf .
• Todo espacio compacto numerable es compacto de punto límite .
• Para espacios T1 , la compacidad contable y la compacidad del punto límite son equivalentes.
• Todo espacio secuencialmente compacto es contablemente compacto. ^[4] Lo contrario no se cumple. Por ejemplo, el producto del continuo -muchos intervalos cerrados con la topología del producto es compacto y, por tanto, contablemente compacto; pero no es secuencialmente compacto. ^[5] ${\displaystyle [0,1]}$
• Para los primeros espacios contables , la compacidad contable y la compacidad secuencial son equivalentes. ^[6] De manera más general, lo mismo se aplica a los espacios secuenciales . ^[7]
• Para espacios metrizables , la compacidad contable, la compacidad secuencial, la compacidad del punto límite y la compacidad son todas equivalentes.
• El ejemplo del conjunto de todos los números reales con la topología estándar muestra que ni la compacidad local ni la compacidad σ ni la paracompacidad implican compacidad contable.
• Los subespacios cerrados de un espacio contablemente compacto son contablemente compactos. ^[8]
• La imagen continua de un espacio contablemente compacto es contablemente compacto. ^[9]
• Todo espacio contablemente compacto es pseudocompacto .
• En un espacio contablemente compacto, toda familia localmente finita de subconjuntos no vacíos es finita. ^[10]
• Todo espacio paracompacto contablemente compacto es compacto. ^[10]
• Todo primer espacio contable contablemente compacto de Hausdorff es regular . ^{[11] [12]}
• Todo espacio compacto numerable normal es normal en cuanto a colección .
• El producto de un espacio compacto y un espacio contablemente compacto es contablemente compacto. ^{[13] [14]}
• El producto de dos espacios contablemente compactos no tiene por qué ser contablemente compacto. ^[15]

Ver también

• Espacio secuencialmente compacto
• Espacio compacto
• Punto límite compacto
• Espacio Lindelöf

Notas

1. Steen y Seebach, pag. 19
2. "Topología general: ¿la compacidad secuencial implica compacidad contable?".
3. Steen y Seebach 1995, ejemplo 42, p. 68.
4. Steen y Seebach, pag. 20
5. Steen y Seebach, ejemplo 105, pág. 125
6. Willard, problema 17G, pág. 125
7. Kremsater, Terry Philip (1972), Métodos espaciales secuenciales (Tesis), Universidad de Columbia Británica, doi :10.14288/1.0080490, Teorema 1.20
8. Willard, problema 17F, pág. 125
9. Willard, problema 17F, pág. 125
10. "Topología general: el espacio paracompacto contablemente compacto es compacto".
11. Steen y Seebach, Figura 7, pág. 25
12. "Topología general: demuestre que un primer espacio T2 contable compacto y contable es regular".
13. Willard, problema 17F, pág. 125
14. "Topología general: ¿el producto de un espacio compacto y un espacio contablemente compacto es contablemente compacto?".
15. Engelking, ejemplo 3.10.19, p. 205

Referencias

• Engelking, Ryszard (1989). Topología general . Heldermann Verlag, Berlín. ISBN 3-88538-006-4.
• James Munkres (1999). Topología (2ª ed.). Prentice Hall . ISBN 0-13-181629-2.
• Steen, Lynn Arturo ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978]. Contraejemplos en topología ( reimpresión de Dover de 1978 ed.). Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-486-68735-3.
• Willard, Stephen (2004) [1970], Topología general ( reimpresión de Dover de 1970 ed.), Addison-Wesley