Acción grupal continua

En topología , una acción de grupo continua en un espacio topológico X es una acción de grupo de un grupo topológico G que es continua: es decir,

${\displaystyle G\times X\to X,\quad (g,x)\mapsto g\cdot x}$

es una función continua. Junto con la acción de grupo, X se denomina G -espacio .

Si es un homomorfismo de grupos topológicos continuo y si X es un G -espacio, entonces H puede actuar sobre X por restricción : , haciendo de X un H -espacio. A menudo f es una inclusión o una función cociente. En particular, cualquier espacio topológico puede considerarse un G -espacio a través de (y G actuaría de manera trivial). ${\displaystyle f:H\to G}$ ${\displaystyle h\cdot x=f(h)x}$ ${\displaystyle G\to 1}$

Dos operaciones básicas son la de tomar el espacio de puntos fijados por un subgrupo H y la de formar un cociente por H . Escribimos para el conjunto de todos los x en X tales que . Por ejemplo, si escribimos para el conjunto de funciones continuas de un G -espacio X a otro G -espacio Y , entonces, con la acción , consiste en f tal que ; es decir, f es una función equivariante . Escribimos . Nótese, por ejemplo, para un G -espacio X y un subgrupo cerrado H , . ${\displaystyle X^{H}}$ ${\displaystyle hx=x}$ ${\displaystyle F(X,Y)}$ ${\displaystyle (g\cdot f)(x)=gf(g^{-1}x)}$ ${\displaystyle F(X,Y)^{G}}$ ${\displaystyle f(gx)=gf(x)}$ ${\displaystyle F_{G}(X,Y)=F(X,Y)^{G}}$ ${\displaystyle F_{G}(G/H,X)=X^{H}}$

Referencias

• Greenlees, John; May, Peter (1995). "8. Teoría de homotopía estable equivariante" (PDF) . En James, IM (ed.). Manual de topología algebraica . Elsevier. págs. 277–323. ISBN. 978-0-08-053298-1.

Véase también

• Acción grupal de mentiras