En topología , un espacio segundo-contable , también llamado espacio completamente separable , es un espacio topológico cuya topología tiene una base contable . Más explícitamente, un espacio topológico es segundo-contable si existe alguna colección contable de subconjuntos abiertos de tal que cualquier subconjunto abierto de puede escribirse como una unión de elementos de alguna subfamilia de . Se dice que un espacio segundo-contable satisface el segundo axioma de contabilidad . Al igual que otros axiomas de contabilidad , la propiedad de ser segundo-contable restringe el número de conjuntos abiertos que un espacio puede tener.
Muchos espacios " de buen comportamiento " en matemáticas son contables en segundo lugar. Por ejemplo, el espacio euclidiano ( R n ) con su topología habitual es contable en segundo lugar. Aunque la base habitual de bolas abiertas es incontable , se puede restringir a la colección de todas las bolas abiertas con radios racionales y cuyos centros tienen coordenadas racionales. Este conjunto restringido es contable y aún forma una base.
La segunda-contabilidad es una noción más fuerte que la primera-contabilidad . Un espacio es primero-contable si cada punto tiene una base local contable . Dada una base para una topología y un punto x , el conjunto de todos los conjuntos de bases que contienen a x forma una base local en x . Por lo tanto, si uno tiene una base contable para una topología, entonces uno tiene una base local contable en cada punto, y por lo tanto cada espacio segundo-contable es también un espacio primer-contable. Sin embargo, cualquier espacio discreto incontable es primero-contable pero no segundo-contable.
La segunda-contabilidad implica ciertas otras propiedades topológicas. Específicamente, cada espacio de segunda-contabilidad es separable (tiene un subconjunto denso contable) y Lindelöf (cada cobertura abierta tiene una subcobertura contable). Las implicaciones inversas no se cumplen. Por ejemplo, la topología del límite inferior en la línea real es de primera-contabilidad, separable y Lindelöf, pero no de segunda-contabilidad. Para los espacios métricos , sin embargo, las propiedades de ser de segunda-contabilidad, separable y Lindelöf son todas equivalentes. [1] Por lo tanto, la topología del límite inferior en la línea real no es metrizable.
En espacios contables de segundo orden (como en espacios métricos), la compacidad , la compacidad secuencial y la compacidad contable son todas propiedades equivalentes.
El teorema de metrización de Urysohn establece que todo espacio regular de Hausdorff , que sea segundo-contable, es metrizable . De ello se deduce que cada uno de esos espacios es completamente normal y paracompacto . Por lo tanto, la segunda-contabilidad es una propiedad bastante restrictiva en un espacio topológico, que solo requiere un axioma de separación para implicar metrizabilidad.
![{\displaystyle X=[0,1]\cup [2,3]\cup [4,5]\cup \puntos \cup [2k,2k+1]\cup \puntosb }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/420c3ddd8b98f0aeda00bd0116fd172b1c4b803e)