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Objeto de grupo

En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , los objetos de grupo son ciertas generalizaciones de grupos que se construyen sobre estructuras más complicadas que los conjuntos . Un ejemplo típico de un objeto de grupo es un grupo topológico , un grupo cuyo conjunto subyacente es un espacio topológico tal que las operaciones del grupo son continuas .

Definición

Formalmente, comenzamos con una categoría C con productos finitos (es decir, C tiene un objeto terminal 1 y dos objetos cualesquiera de C tienen un producto ). Un objeto de grupo en C es un objeto G de C junto con morfismos

de modo que se satisfacen las siguientes propiedades (modeladas sobre los axiomas de grupo; más precisamente, sobre la definición de grupo utilizada en el álgebra universal )

Obsérvese que esto se enuncia en términos de mapas (el producto y el inverso deben ser mapas en la categoría) y sin ninguna referencia a los "elementos" subyacentes del objeto del grupo (las categorías en general no tienen elementos de sus objetos).

Otra forma de expresar lo anterior es decir que G es un objeto de grupo en una categoría C si para cada objeto X en C , existe una estructura de grupo en los morfismos Hom( X , G ) de X a G tal que la asociación de X a Hom( X , G ) es un funtor (contravariante) de C a la categoría de grupos .

Ejemplos

Véase también

Referencias