Álgebra de Kac-Moody

Álgebra de Lie que puede definirse mediante generadores y relaciones a través de una matriz de Cartan generalizada.

En matemáticas , un álgebra de Kac-Moody (llamada así por Victor Kac y Robert Moody , quienes los descubrieron de forma independiente y simultánea en 1968 ^[1] ) es un álgebra de Lie , generalmente de dimensión infinita, que puede definirse mediante generadores y relaciones a través de una generalizada. Matriz de Cartan . Estas álgebras forman una generalización de álgebras de Lie semisimples de dimensión finita , y muchas propiedades relacionadas con la estructura de un álgebra de Lie, como su sistema de raíces , representaciones irreducibles y conexión a variedades de banderas , tienen análogos naturales en el entorno de Kac-Moody.

Una clase de álgebras de Kac-Moody llamadas álgebras de Lie afines es de particular importancia en matemáticas y física teórica , especialmente en la teoría de campos conformes bidimensionales y la teoría de modelos exactamente resolubles . Kac descubrió una elegante prueba de ciertas identidades combinatorias, las identidades de Macdonald , que se basa en la teoría de la representación de álgebras afines de Kac-Moody. Howard Garland y James Lepowsky demostraron que las identidades Rogers-Ramanujan pueden derivarse de manera similar. ^[2]

Historia de las álgebras de Kac-Moody

La construcción inicial por Élie Cartan y Wilhelm Killing de álgebras de Lie simples de dimensión finita a partir de los números enteros de Cartan dependía del tipo. En 1966, Jean-Pierre Serre demostró que las relaciones de Claude Chevalley y Harish-Chandra , ^[3] con simplificaciones de Nathan Jacobson , ^[4] dan una presentación definitoria del álgebra de Lie . ^[5] Así, se podría describir un álgebra de Lie simple en términos de generadores y relaciones utilizando datos de la matriz de números enteros de Cartan, que es naturalmente definida positiva .

"Casi simultáneamente en 1967, Victor Kac en la URSS y Robert Moody en Canadá desarrollaron lo que se convertiría en el álgebra Kac-Moody. Kac y Moody notaron que si las condiciones de Wilhelm Killing eran relajadas, todavía era posible asociar a la matriz de Cartan. un álgebra de Lie que, necesariamente, sería de dimensión infinita." –AJ Coleman ^[6]

En su tesis de 1967, Robert Moody consideró álgebras de Lie cuya matriz de Cartan ya no es definida positiva. ^{[7] [8]} Esto todavía dio lugar a un álgebra de Lie, pero ahora es de dimensión infinita. Simultáneamente, se estudiaban álgebras de Lie con calificación Z en Moscú, donde IL Kantor introdujo y estudió una clase general de álgebras de Lie, incluida lo que finalmente se conoció como álgebras de Kac-Moody. ^[9] Victor Kac también estaba estudiando álgebras de Lie simples o casi simples con crecimiento polinómico. Se desarrolló una rica teoría matemática de álgebras de Lie de dimensión infinita. En (Kac 1990) se ofrece una descripción del tema, que también incluye trabajos de muchos otros. ^[10] Véase también (Seligman 1987). ^[11]

Introducción

Dada una matriz de Cartan generalizada de n × n , se puede construir un álgebra de Lie definida por generadores , y relaciones dadas por: ${\displaystyle C={\begin{pmatrix}C_{ij}\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}'(C)}$ ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle h_{i}}$ ${\displaystyle f_{i}\left(i\in \{1,\ldots ,n\}\right)}$

• ${\displaystyle \left[h_{i},h_{j}\right]=0\ }$para todos ; ${\displaystyle i,j\in \{1,\ldots ,n\}}$
• ${\displaystyle \left[h_{i},e_{j}\right]=c_{ij}e_{j}}$;
• ${\displaystyle \left[h_{i},f_{j}\right]=-c_{ij}f_{j}}$;
• ${\displaystyle \left[e_{i},f_{j}\right]=\delta _{ij}h_{i}}$, ¿dónde está el delta del Kronecker? ${\displaystyle \delta _{ij}}$
• Si (es así ), entonces y , ¿dónde está la representación adjunta de ? ${\displaystyle i\neq j}$ ${\displaystyle c_{ij}\leq 0}$ ${\displaystyle {\textrm {ad}}(e_{i})^{1-c_{ij}}(e_{j})=0}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} (f_{i})^{1-c_{ij}}(f_{j})=0}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} :{\mathfrak {g}}\to \operatorname {End} ({\mathfrak {g}}),\operatorname {ad} (x)(y)=[x,y],}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Bajo un supuesto de "simetrizabilidad", se identifica con la subálgebra derivada del álgebra afín de Kac-Moody definida a continuación. ^[12] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}'(C)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}'(C)=[{\mathfrak {g}}(C),{\mathfrak {g}}(C)]}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}(C)}$

Definición

_{Supongamos que} tenemos una matriz de Cartan generalizada C = ( cij ) de rango r . Para cada uno de estos , existe una realización única hasta el isomorfismo de , es decir, un triple donde es un espacio vectorial complejo, es un subconjunto de elementos de y es un subconjunto del espacio dual que satisface las tres condiciones siguientes: ^[13] ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle ({\mathfrak {h}},\{\alpha _{i}\}_{i=1}^{n},\{\alpha _{i}^{\vee }\}_{i=1}^{n},}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle \{\alpha _{i}^{\vee }\}_{i=1}^{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle \{\alpha _{i}\}_{i=1}^{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}$

1. El espacio vectorial tiene dimensión 2 n  −  r ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$
2. Los conjuntos y son linealmente independientes y ${\displaystyle \{\alpha _{i}\}_{i=1}^{n}}$ ${\displaystyle \{\alpha _{i}^{\vee }\}_{i=1}^{n}}$
3. Para cada . ${\displaystyle 1\leq i,j\leq n,\alpha _{i}\left(\alpha _{j}^{\vee }\right)=C_{ji}}$

Son análogas a las raíces simples de un álgebra de Lie semisimple y a las raíces simples. ${\displaystyle \alpha _{i}}$ ${\displaystyle \alpha _{i}^{\vee }}$

Luego definimos el álgebra de Kac-Moody asociada a como el álgebra de Lie definida por generadores y y los elementos de y relaciones ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}:={\mathfrak {g}}(C)}$ ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle f_{i}\left(i\in \{1,\ldots ,n\}\right)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

• ${\displaystyle \left[h,h'\right]=0\ }$para ; ${\displaystyle h,h'\in {\mathfrak {h}}}$
• ${\displaystyle \left[h,e_{i}\right]=\alpha _{i}(h)e_{i}}$, para ; ${\displaystyle h\in {\mathfrak {h}}}$
• ${\displaystyle \left[h,f_{i}\right]=-\alpha _{i}(h)f_{i}}$, para ; ${\displaystyle h\in {\mathfrak {h}}}$
• ${\displaystyle \left[e_{i},f_{j}\right]=\delta _{ij}\alpha _{i}^{\vee }}$, ¿dónde está el delta del Kronecker? ${\displaystyle \delta _{ij}}$
• Si (es así ), entonces y , ¿dónde está la representación adjunta de ? ${\displaystyle i\neq j}$ ${\displaystyle c_{ij}\leq 0}$ ${\displaystyle {\textrm {ad}}(e_{i})^{1-c_{ij}}(e_{j})=0}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} (f_{i})^{1-c_{ij}}(f_{j})=0}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} :{\mathfrak {g}}\to \operatorname {End} ({\mathfrak {g}}),\operatorname {ad} (x)(y)=[x,y],}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Un álgebra de Lie real (posiblemente de dimensión infinita) también se considera un álgebra de Kac-Moody si su complejización es un álgebra de Kac-Moody.

Descomposición del espacio raíz de un álgebra de Kac-Moody

${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$es el análogo de una subálgebra de Cartan para el álgebra de Kac-Moody . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Si es un elemento de tal que ${\displaystyle x\neq 0}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \forall h\in {\mathfrak {h}},[h,x]=\lambda (h)x}$

para algunos , entonces se llama vector raíz y es raíz de . (El funcional cero no se considera una raíz por convención). El conjunto de todas las raíces de a menudo se denota por y a veces por . Para una raíz dada , se denota por el espacio de raíz de ; eso es, ${\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}\backslash \{0\}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\lambda }}$ ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\lambda }=\{x\in {\mathfrak {g}}:\forall h\in {\mathfrak {h}},[h,x]=\lambda (h)x\}}$.

Se deduce de las relaciones definitorias de eso y . Además, si y , entonces por la identidad de Jacobi . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle e_{i}\in {\mathfrak {g}}_{\alpha _{i}}}$ ${\displaystyle f_{i}\in {\mathfrak {g}}_{-\alpha _{i}}}$ ${\displaystyle x_{1}\in {\mathfrak {g}}_{\lambda _{1}}}$ ${\displaystyle x_{2}\in {\mathfrak {g}}_{\lambda _{2}}}$ ${\displaystyle \left[x_{1},x_{2}\right]\in {\mathfrak {g}}_{\lambda _{1}+\lambda _{2}}}$

Un resultado fundamental de la teoría es que cualquier álgebra de Kac-Moody se puede descomponer en la suma directa de y sus espacios raíz, es decir ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}\oplus \bigoplus _{\lambda \in \Delta }{\mathfrak {g}}_{\lambda }}$,

y que cada raíz puede escribirse como todos los ser números enteros del mismo signo . ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda =\sum _{i=1}^{n}z_{i}\alpha _{i}}$ ${\displaystyle z_{i}}$

Tipos de álgebras de Kac-Moody

Las propiedades de un álgebra de Kac-Moody están controladas por las propiedades algebraicas de su matriz de Cartan generalizada C. Para clasificar las álgebras de Kac-Moody basta considerar el caso de una matriz indescomponible C , es decir, suponer que no hay descomposición del conjunto de índices I en una unión disjunta de subconjuntos no vacíos I ₁ e I ₂ tal que C _ij = 0 para todo i en I ₁ y j en I ₂ . Cualquier descomposición de la matriz de Cartan generalizada conduce a la descomposición por suma directa del correspondiente álgebra de Kac-Moody:

${\displaystyle {\mathfrak {g}}(C)\simeq {\mathfrak {g}}\left(C_{1}\right)\oplus {\mathfrak {g}}\left(C_{2}\right),}$

donde las dos álgebras de Kac-Moody en el lado derecho están asociadas con las submatrices de C correspondientes a los conjuntos de índices I ₁ e I ₂ .

Una subclase importante de las álgebras de Kac-Moody corresponde a las matrices de Cartan generalizadas simetrizables C , que pueden descomponerse como DS , donde D es una matriz diagonal con entradas enteras positivas y S es una matriz simétrica . Bajo el supuesto de que C es simetrizable e indescomponible, las álgebras de Kac-Moody se dividen en tres clases:

• Una matriz definida positiva S da lugar a un álgebra de Lie simple de dimensión finita .
• Una matriz semidefinida positiva S da lugar a un álgebra de Kac-Moody de dimensión infinita de tipo afín , o un álgebra de Lie afín .
• Una matriz indefinida S da lugar a un álgebra de Kac-Moody de tipo indefinido .
• Dado que las entradas diagonales de C y S son positivas, S no puede ser definida negativa o semidefinida negativa.

Se han clasificado completamente las matrices de Cartan generalizadas, simetrizables e indescomponibles, de tipo finito y afín. Corresponden a diagramas de Dynkin y diagramas de Dynkin afines . Poco se sabe acerca de las álgebras de Kac-Moody de tipo indefinido, aunque Jacques Tetas construyó los grupos correspondientes a estas álgebras de Kac-Moody sobre campos arbitrarios. ^[14]

Entre las álgebras de Kac-Moody de tipo indefinido, la mayor parte del trabajo se ha centrado en aquellas de tipo hiperbólico , para las cuales la matriz S es indefinida, pero para cada subconjunto propio de I , la submatriz correspondiente es definida positiva o semidefinida positiva. Las álgebras hiperbólicas de Kac-Moody tienen un rango como máximo de 10 y han sido completamente clasificadas. ^[15] Hay infinitos de rango 2, y 238 de rangos entre 3 y 10 .

Ver también

• Fórmula de caracteres de Weyl-Kac
• Álgebra generalizada de Kac-Moody
• Módulo integrable
• Luz de luna monstruosa

Citas

1. Zhe-xian 1991, Prefacio.
2. (?) Guirnalda, H.; Lepowsky, J. (1976). "Homología del álgebra de mentiras y fórmulas de Macdonald-Kac". Inventar. Matemáticas. 34 (1): 37–76. Código Bib : 1976 InMat..34...37G. doi :10.1007/BF01418970. S2CID  122385055.
3. Harish-Chandra (1951). "Sobre algunas aplicaciones del álgebra envolvente universal de un álgebra de Lie semisimple". Trans. América. Matemáticas. Soc. 70 (1): 28–96. doi : 10.1090/S0002-9947-1951-0044515-0 . JSTOR  1990524.
4. Jacobson, N. (1962). Álgebras de mentira . Tratados intercientíficos en matemáticas puras y aplicadas. vol. 10. Nueva York-Londres: Interscience Publishers (una división de John Wiley & Sons).
5. Serre, J.-P. (1966). Complejos semisimples de Algèbres de Lie (en francés). Nueva York-Ámsterdam: WA Benjamin.
6. Coleman, A. John, "El mejor artículo matemático de todos los tiempos", The Mathematical Intelligencer, vol. 11, núm. 3, págs. 29–38.
7. Moody, RV (1967). "Álgebras de mentira asociadas a matrices de Cartan generalizadas" (PDF) . Toro. América. Matemáticas. Soc . 73 (2): 217–222. doi : 10.1090/S0002-9904-1967-11688-4 .
8. Moody 1968, Una nueva clase de álgebras de Lie
9. Kantor, IL (1970). "Álgebras de mentira graduadas". Trudy Sem. Vector. Tenzor. Anal. (en ruso). 15 : 227–266.
10. Kac, 1990
11. Seligman, George B. (1987). "Reseña del libro: Álgebras de mentira de dimensión infinita". Toro. América. Matemáticas. Soc . NS 16 (1): 144-150. doi : 10.1090/S0273-0979-1987-15492-9 .
12. Kac 1990, Álgebras de mentira de dimensión infinita, tercera edición
13. Kac 1990, Álgebras de Lie de dimensión infinita , Proposición 1.1
14. Tetas, J. (1987). "Singularidad y presentación de los grupos Kac-Moody sobre campos". Revista de Álgebra . 105 (2): 542–573. doi : 10.1016/0021-8693(87)90214-6 .
15. Carbone, L.; Chung, S.; Cobbs, C.; McRae, R.; Nandi, D.; Naqvi, Y.; Penta, D. (2010). "Clasificación de diagramas hiperbólicos de Dynkin, longitudes de raíces y órbitas del grupo Weyl". J. Física. R: Matemáticas. Teor. 43 (15): 155-209. arXiv : 1003.0564 . Código Bib : 2010JPhA...43o5209C. doi :10.1088/1751-8113/43/15/155209. S2CID  16946456.

Referencias

• Berman, Stephen; Parshall, Karen Hunger (13 de enero de 2002). "Victor Kac y Robert Moody: sus caminos hacia las álgebras de mentira de Kac-Moody". El inteligente matemático . 24 : 50–60. doi :10.1007/BF03025312. S2CID  120670625.
• Robert V. Moody , Una nueva clase de álgebras de Lie , Journal of Algebra , 10 (1968), 211–230. doi :10.1016/0021-8693(68)90096-3 SEÑOR 0229687
• Victor Kac , Álgebras de mentira de dimensión infinita , tercera edición, Cambridge University Press (1990) ISBN 0-521-46693-8 [1] 
• Antony Wassermann , Apuntes de conferencias sobre las álgebras de Kac-Moody y Virasoro
• "Álgebra de Kac-Moody", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Victor G. Kac, Álgebras de Lie graduadas simples irreducibles de matemáticas de crecimiento finito. URSS Izv., 2 (1968) págs. 1271-1311, Izv. Akád. Nauk URSS Ser. Mat., 32 (1968) págs. 1923-1967
• Sthanumoorthy, N.; Misra, Kailash C., eds. (2004). Álgebras de mentira de Kac-Moody y temas relacionados . AMS . ISBN 0-8218-3337-5.
• Shrawan Kumar , Grupos Kac-Moody, sus variedades de banderas y teoría de la representación , 1.ª edición, Birkhäuser (2002). ISBN 3-7643-4227-7 . 
• Zhe-xian, Wan (1991). Introducción al álgebra de Kac-Moody . Científico Mundial . ISBN 981-02-0224-5.

enlaces externos

• SIGMA: Número especial sobre álgebras y aplicaciones de Kac-Moody