Álgebra de mentira graduada

En matemáticas , un álgebra de Lie graduada es un álgebra de Lie dotada de una gradación que es compatible con el grupo de Lie . En otras palabras, un álgebra de Lie graduada es un álgebra de Lie que también es un álgebra graduada no asociativa bajo la operación entre corchetes. Una elección de la descomposición de Cartan dota a cualquier álgebra de Lie semisimple con la estructura de un álgebra de Lie graduada. Cualquier álgebra de Lie parabólica también es un álgebra de Lie graduada.

Una superálgebra de Lie graduada ^[1] amplía la noción de álgebra de Lie graduada de tal manera que ya no se supone que el corchete de Lie sea necesariamente anticonmutativo . Éstos surgen en el estudio de derivaciones en álgebras graduadas , en la teoría de la deformación de Murray Gerstenhaber , Kunihiko Kodaira y Donald C. Spencer , y en la teoría de las derivadas de Lie .

Una superálgebra de Lie supergradada ^[2] es una generalización adicional de esta noción a la categoría de superálgebras en las que una superálgebra de Lie graduada está dotada de una supergradación adicional . Estos surgen cuando uno forma una superálgebra de Lie graduada en un entorno clásico (no supersimétrico) y luego tensoriza para obtener el análogo supersimétrico . ^[3] ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

Son posibles generalizaciones aún mayores para las álgebras de Lie sobre una clase de categorías monoidales trenzadas equipadas con un coproducto y alguna noción de gradación compatible con el trenzado de la categoría . Para obtener sugerencias en esta dirección, consulte Superálgebra de Lie#Definición teórica de categorías .

Álgebras de mentira graduadas

En su forma más básica, un álgebra de Lie graduada es un álgebra de Lie ordinaria , junto con una gradación de espacios vectoriales. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\bigoplus _{i\in {\mathbb {Z} }}{\mathfrak {g}}_{i},}$

tal que el corchete de Lie respete esta gradación:

${\displaystyle [{\mathfrak {g}}_{i},{\mathfrak {g}}_{j}]\subseteq {\mathfrak {g}}_{i+j}.}$

El álgebra envolvente universal de un álgebra de Lie graduada hereda la calificación.

Ejemplos

SL(2)

Por ejemplo, los generadores califican el álgebra de Lie de matrices 2 × 2 sin trazas : ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2)}$

${\displaystyle X={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}},\quad Y={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}},\quad {\textrm {and}}\quad H={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.}$

Estos satisfacen las relaciones , , y . Por lo tanto , con , y , la descomposición se presenta como un álgebra de Lie graduada. ${\displaystyle [X,Y]=H}$ ${\displaystyle [H,X]=2X}$ ${\displaystyle [H,Y]=-2Y}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{-1}={\textrm {span}}(X)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}={\textrm {span}}(H)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{1}={\textrm {span}}(Y)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2)={\mathfrak {g}}_{-1}\oplus {\mathfrak {g}}_{0}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2)}$

Álgebra de mentira libre

El álgebra de Lie libre en un conjunto X naturalmente tiene una calificación, dada por el número mínimo de términos necesarios para generar el elemento del grupo. Esto surge, por ejemplo, como el álgebra de Lie graduada asociada a la serie central inferior de un grupo libre .

Generalizaciones

Si es cualquier monoide conmutativo , entonces la noción de álgebra de Lie graduada generaliza la de un álgebra de Lie ordinaria (-) graduada de modo que las relaciones definitorias se mantengan con los números enteros reemplazados por . En particular, cualquier álgebra de Lie semisimple se califica mediante los espacios de raíces de su representación adjunta . ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \Gamma }$

Superálgebras de mentira graduada

Una superálgebra de Lie graduada sobre un campo k (que no tiene la característica 2) consta de un espacio vectorial graduado E sobre k , junto con una operación de paréntesis bilineal

${\displaystyle [-,-]:E\otimes _{k}E\to E}$

tal que se cumplan los siguientes axiomas.

• [-, -] respeta la gradación de E :
  $${\displaystyle [E_{i},E_{j}]\subseteq E_{i+j}.}$$
• ( Simetría ) Para todo x en E _i y y en E _j ,
  $${\displaystyle [x,y]=-(-1)^{ij}\,[y,x]}$$
• ( Identidad de Jacobi ) Para todo x en E _i , y en E _j y z en E _k ,
  $${\displaystyle (-1)^{ik}[x,[y,z]]+(-1)^{ij}[y,[z,x]]+(-1)^{jk}[z,[x,y]]=0.}$$
  (Si k tiene la característica 3, entonces la identidad de Jacobi debe complementarse con la condición para todo x en E _impar ). ${\displaystyle [x,[x,x]]=0}$

Tenga en cuenta, por ejemplo, que cuando E lleva la gradación trivial, una superálgebra de Lie graduada sobre k es simplemente un álgebra de Lie ordinaria. Cuando la gradación de E se concentra en grados pares, se recupera la definición de un álgebra de Lie graduada ( Z -).

Ejemplos y aplicaciones

El ejemplo más básico de superálgebra de Lie graduada se produce en el estudio de derivaciones de álgebras graduadas. Si A es una k -álgebra graduada con gradación

${\displaystyle A=\bigoplus _{i\in \mathbb {Z} }A_{i},}$

entonces una k -derivación d graduada en A de grado l se define por

1. ${\displaystyle dx=0}$para , ${\displaystyle x\in k}$
2. ${\displaystyle d\colon A_{i}\to A_{i+l}}$, y
3. ${\displaystyle d(xy)=(dx)y+(-1)^{il}x(dy)}$para . ${\displaystyle x\in A_{i}}$

El espacio de todas las derivaciones graduadas de grado l se denota por , y la suma directa de estos espacios, ${\displaystyle \operatorname {Der} _{l}(A)}$

${\displaystyle \operatorname {Der} (A)=\bigoplus _{l}\operatorname {Der} _{l}(A),}$

Lleva la estructura de un módulo A. Esto generaliza la noción de derivación de álgebras conmutativas a la categoría graduada.

En Der( A ), se puede definir un corchete mediante:

[ d , δ  ] = dδ − (−1) ^ij δd , para d ∈ Der _i ( A ) y δ ∈ Der _j ( A ).

Equipado con esta estructura, Der( A ) hereda la estructura de una superálgebra de Lie graduada sobre k .

Más ejemplos:

• El corchete de Frölicher-Nijenhuis es un ejemplo de álgebra de Lie graduada que surge naturalmente en el estudio de conexiones en geometría diferencial .
• El corchete de Nijenhuis-Richardson surge en relación con las deformaciones de las álgebras de Lie.

Generalizaciones

La noción de superálgebra de Lie graduada se puede generalizar para que su calificación no sea solo de números enteros. Específicamente, un semianillo con signo consta de un par , donde es un semianillo y es un homomorfismo de grupos aditivos . Entonces, una supalgebra de Lie graduada sobre un semianillo con signo consta de un espacio vectorial E graduado con respecto a la estructura aditiva en y un corchete bilineal [-, -] que respeta la clasificación en E y además satisface: ${\displaystyle (\Gamma ,\epsilon )}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \epsilon \colon \Gamma \to \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \Gamma }$

1. ${\displaystyle [x,y]=-(-1)^{\epsilon (\deg x)\epsilon (\deg y)}[y,x]}$para todos los elementos homogéneos x e y , y
2. ${\displaystyle (-1)^{\epsilon (\deg x)\epsilon (\deg z)}[x,[y,z]]+(-1)^{\epsilon (\deg y)\epsilon (\deg x)}[y,[z,x]]+(-1)^{\epsilon (\deg z)\epsilon (\deg y)}[z,[x,y]]=0.}$

Más ejemplos:

• Una superálgebra de Lie es una superálgebra de Lie graduada sobre el semianillo con signo , donde está el mapa de identidad de la estructura aditiva en el anillo . ${\displaystyle (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ,\epsilon )}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

Notas

1. El prefijo "súper" para esto no es del todo estándar, y algunos autores pueden optar por omitirlo por completo a favor de llamar a una superálgebra de Lie graduada simplemente álgebra de Lie graduada . Esta evasión no carece totalmente de fundamento, ya que las superálgebras graduadas de Lie pueden no tener nada que ver con las álgebras de la supersimetría . Sólo son súper en la medida en que llevan una gradación. Esta gradación se produce de forma natural y no debido a ningún superespacio subyacente. Por lo tanto, en el sentido de la teoría de categorías , se los considera propiamente como no superobjetos ordinarios. ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$
2. En relación con la supersimetría , a menudo se les llama superálgebras de Lie recién graduadas , pero esto entra en conflicto con la definición anterior de este artículo.
3. Así, las superálgebras de Lie supergradadas llevan un par de gradaciones: una de las cuales es supersimétrica y la otra es clásica. Pierre Deligne llama a la supersimétrica supergradación y a la clásica gradación cohomológica . Estas dos gradaciones deben ser compatibles y a menudo hay desacuerdo sobre cómo deben considerarse. Véase la discusión de Deligne sobre esta dificultad. ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

Referencias

• Nijenhuis, Albert ; Richardson Jr., Roger W. (1966). "Cohomología y deformaciones en álgebras de Lie graduadas". Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense . 72 (1): 1–29. doi : 10.1090/s0002-9904-1966-11401-5 . SEÑOR  0195995.

Ver también

• Álgebra de Lie diferencial graduada
• Calificado (matemáticas)
• Forma valorada en álgebra de mentira