Forma diferencial valorada del álgebra de Lie

En geometría diferencial, una forma valorada en álgebra de Lie es una forma diferencial con valores en un álgebra de Lie . Tales formas tienen aplicaciones importantes en la teoría de las conexiones en un paquete principal , así como en la teoría de las conexiones de Cartan .

Definicion formal

Una forma diferencial valorada en álgebra de Lie en una variedad, es una sección suave del paquete , donde es un álgebra de Lie , es el paquete cotangente de y denota la potencia exterior . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle ({\mathfrak {g}}\times M)\otimes \wedge ^{k}T^{*}M}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle T^{*}M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \wedge ^{k}}$ ${\displaystyle k^{\text{th}}}$

Producto de cuña

El producto cuña de formas diferenciales ordinarias de valores reales se define mediante la multiplicación de números reales. Para un par de formas diferenciales valoradas en álgebra de Lie, el producto de cuña se puede definir de manera similar, pero sustituyendo la operación bilineal entre corchetes de Lie , para obtener otra forma valorada en álgebra de Lie. Para una forma valorada y una forma valorada , su producto de cuña viene dado por ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle [\omega \wedge \eta ]}$

${\displaystyle [\omega \wedge \eta ](v_{1},\dotsc ,v_{p+q})={1 \over p!q!}\sum _{\sigma }\operatorname {sgn} (\sigma )[\omega (v_{\sigma (1)},\dotsc ,v_{\sigma (p)}),\eta (v_{\sigma (p+1)},\dotsc ,v_{\sigma (p+q)})],}$

donde los 's son vectores tangentes. La notación pretende indicar ambas operaciones involucradas. Por ejemplo, si y se forman valores de álgebra de Lie, entonces se tiene ${\displaystyle v_{i}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \eta }$

${\displaystyle [\omega \wedge \eta ](v_{1},v_{2})=[\omega (v_{1}),\eta (v_{2})]-[\omega (v_{2}),\eta (v_{1})].}$

La operación también se puede definir como la operación bilineal al satisfacer ${\displaystyle [\omega \wedge \eta ]}$ ${\displaystyle \Omega (M,{\mathfrak {g}})}$

${\displaystyle [(g\otimes \alpha )\wedge (h\otimes \beta )]=[g,h]\otimes (\alpha \wedge \beta )}$

para todos y . ${\displaystyle g,h\in {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \Omega (M,\mathbb {R} )}$

Algunos autores han utilizado la notación en lugar de . La notación , que se asemeja a un conmutador , se justifica por el hecho de que si el álgebra de Lie es un álgebra matricial entonces no es más que el conmutador graduado de y , es decir, si y entonces ${\displaystyle [\omega ,\eta ]}$ ${\displaystyle [\omega \wedge \eta ]}$ ${\displaystyle [\omega ,\eta ]}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle [\omega \wedge \eta ]}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \omega \in \Omega ^{p}(M,{\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle \eta \in \Omega ^{q}(M,{\mathfrak {g}})}$

${\displaystyle [\omega \wedge \eta ]=\omega \wedge \eta -(-1)^{pq}\eta \wedge \omega ,}$

donde se forman los productos de cuña mediante la multiplicación de matrices en . ${\displaystyle \omega \wedge \eta ,\ \eta \wedge \omega \in \Omega ^{p+q}(M,{\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Operaciones

Sea un homomorfismo del álgebra de Lie . Si es una forma valorada en una variedad, entonces es una forma valorada en la misma variedad obtenida aplicando a los valores de : . ${\displaystyle f:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle f(\varphi )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle f(\varphi )(v_{1},\dotsc ,v_{k})=f(\varphi (v_{1},\dotsc ,v_{k}))}$

De manera similar, si hay un funcional multilineal en , entonces se pone ^[1] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \textstyle \prod _{1}^{k}{\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle f(\varphi _{1},\dotsc ,\varphi _{k})(v_{1},\dotsc ,v_{q})={1 \over q!}\sum _{\sigma }\operatorname {sgn} (\sigma )f(\varphi _{1}(v_{\sigma (1)},\dotsc ,v_{\sigma (q_{1})}),\dotsc ,\varphi _{k}(v_{\sigma (q-q_{k}+1)},\dotsc ,v_{\sigma (q)}))}$

donde y son -formas valoradas . Además, dado un espacio vectorial , se puede utilizar la misma fórmula para definir la forma valorada cuando ${\displaystyle q=q_{1}+\ldots +q_{k}}$ ${\displaystyle \varphi _{i}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle q_{i}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle f(\varphi ,\eta )}$

${\displaystyle f:{\mathfrak {g}}\times V\to V}$

es un mapa multilineal, es una forma valorada y es una forma valorada. Tenga en cuenta que, cuando ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle f([x,y],z)=f(x,f(y,z))-f(y,f(x,z)){,}\qquad (*)}$

dar equivale a dar una acción de on ; es decir, determina la representación ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \rho :{\mathfrak {g}}\to V,\rho (x)y=f(x,y)}$

y, a la inversa, toda representación determina con la condición . Por ejemplo, si (el corchete de ), entonces recuperamos la definición de dada anteriormente, con , la representación adjunta . (Tenga en cuenta que la relación entre y arriba es, por tanto, como la relación entre un corchete y .) ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (*)}$ ${\displaystyle f(x,y)=[x,y]}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle [\cdot \wedge \cdot ]}$ ${\displaystyle \rho =\operatorname {ad} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \operatorname {ad} }$

En general, si es una forma valorada y es una forma valorada , entonces uno escribe más comúnmente cuando . Explícitamente, ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \alpha \cdot \varphi =f(\alpha ,\varphi )}$ ${\displaystyle f(T,x)=Tx}$

${\displaystyle (\alpha \cdot \phi )(v_{1},\dotsc ,v_{p+q})={1 \over (p+q)!}\sum _{\sigma }\operatorname {sgn} (\sigma )\alpha (v_{\sigma (1)},\dotsc ,v_{\sigma (p)})\phi (v_{\sigma (p+1)},\dotsc ,v_{\sigma (p+q)}).}$

Con esta notación se tiene por ejemplo:

${\displaystyle \operatorname {ad} (\alpha )\cdot \phi =[\alpha \wedge \phi ]}$.

Ejemplo: si es una forma de un valor (por ejemplo, una forma de conexión ), una representación de en un espacio vectorial y una forma de valor cero, entonces ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle \rho ([\omega \wedge \omega ])\cdot \varphi =2\rho (\omega )\cdot (\rho (\omega )\cdot \varphi ).}$^[2]

Formularios con valores en un paquete adjunto

Sea un paquete principal suave con grupo de estructura y . actúa a través de representación adjunta y por lo tanto se puede formar el paquete asociado: ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\operatorname {Lie} (G)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{P}=P\times _{\operatorname {Ad} }{\mathfrak {g}}.}$

Cualquier forma valorada en el espacio base de está en una correspondencia natural uno a uno con cualquier forma tensorial de tipo adjunto. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{P}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$

Ver también

• Forma Maurer-Cartan
• paquete adjunto

Notas

1. S. Kobayashi, K. Nomizu. Fundamentos de la geometría diferencial (Biblioteca Wiley Classics) Volumen 1, 2. Capítulo XII, § 1.}}
2. Desde entonces tenemos eso ${\displaystyle \rho ([\omega \wedge \omega ])(v,w)=\rho ([\omega \wedge \omega ](v,w))=\rho ([\omega (v),\omega (w)])=\rho (\omega (v))\rho (\omega (w))-\rho (\omega (w))\rho (\omega (v))}$

   ${\displaystyle (\rho ([\omega \wedge \omega ])\cdot \varphi )(v,w)={1 \over 2}(\rho ([\omega \wedge \omega ])(v,w)\varphi -\rho ([\omega \wedge \omega ])(w,v)\phi )}$

   es ${\displaystyle \rho (\omega (v))\rho (\omega (w))\varphi -\rho (\omega (w))\rho (\omega (v))\phi =2(\rho (\omega )\cdot (\rho (\omega )\cdot \phi ))(v,w).}$

Referencias

• S. Kobayashi, K. Nomizu. Fundamentos de la geometría diferencial (Biblioteca Wiley Classics) Volumen 1, 2.

enlaces externos

• Producto de cuña del álgebra de mentira valorado de forma única
• grupoide de formas valoradas en álgebra de Lie en el n Lab